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函数的微分,前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念微分。,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,二、微分的定义,定义,(微分的实质),由定义知:,三、可微的条件,定理,四、微分的几何意义,几何意义:(如图),M,）,N,五、微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2.函数和、差、积、商的微分法则,例1,解,例2,解,六、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例3,解,例4,解,例5,解一,两边同时求微分得,解二,两边取对数得,两边对x求导，有,由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法在本质上并没有区别，因此把两者统称为微分法,七、微分在近似计算中的应用,1.计算函数的近似值,2.常用近似公式,证明,八、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,导数的概念,函数的增量问题,微分的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,近似计算的基本公式,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,习题25（P91P93）：1，2（2），（4），（6），4，5（2），（4），（6），（7）；6（1）；7；8（1），9（1）；10（2），（4）,
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