圆中常用的作辅助线的八种方法.ppt

阶段方法技巧训练（一）,专训2圆中常用的作辅助线的八种方法,在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等,1,方法,作半径，巧用同圆的半径相等,1如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上若小正方形的边长为4cm，求该半圆的半径,如图，连接OA，OF.设OAOFrcm，ABacm.在RtOAB中，r2a2，在RtOEF中，r242，a216164a.解得a18，a24(舍去)r28280.r14，r24(舍去)即该半圆的半径为4cm.,解：,在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题,2,方法,连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等,2如图，圆内接三角形ABC的外角ACM的平分线与圆交于D点，DPAC，垂足是P，DHBM，垂足为H.求证：APBH.,如图，连接AD，BD.DAC、DBC是DC所对的圆周角DACDBC.CD平分ACM，DPAC，DHCM，DPDH.在ADP和BDH中，ADPBDH.APBH.,证明：,本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到DACDBC，为证两三角形全等创造了条件,3,作直径，巧用直径所对的圆周角是直角,方法,3如图，O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2BC24R2；,(1)如图，过点D作O的直径DE，连接AE，EC，AC.DE是O的直径，ECDEAD90.又CDAB，ECAB.BACACE.BCAE.BCAE.在RtAED中，AD2AE2DE2，AD2BC24R2.,证明：,(2)若弦AD，BC的长是方程x26x50的两个根(ADBC)，求O的半径及点O到AD的距离,(2)如图，过点O作OFAD于点F.弦AD，BC的长是方程x26x50的两个根(ADBC)，AD5，BC1.,解：,由(1)知，AD2BC24R2，52124R2.R.EAD90，OFAD，OFEA.又O为DE的中点，OFAEBC.即点O到AD的距离为.,本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便,4,证切线时辅助线作法的应用,方法,4如图，ABC内接于O，CACB，CDAB且与OA的延长线交于点D.判断CD与O的位置关系，并说明理由,CD与O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE.CE是直径，EAC90.EACE90.CACB，BCAB.ABCD，ACDCAB.BACD.又BE，ACDE.ACEACD90，即OCDC.又OC为O的半径，CD与O相切,解：,5,遇弦加弦心距或半径,方法,5如图所示，在半径为5的O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且ABCD8，则OP的长为()A3B4C3D4,C,6【中考贵港】如图所示，AB是O的弦，OHAB于点H，点P是优弧上一点，若AB2，OH1，则APB的度数是_,6,遇直径巧加直径所对的圆周角,方法,7如图，在ABC中，ABBC2，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点,(1)求证：ABC为等边三角形,(1)如图，连接AD，AB是O的直径，ADB90.点D是BC的中点，AD是线段BC的垂直平分线ABAC.ABBC，ABBCAC，ABC为等边三角形,证明：,(2)求DE的长,(2)如图，连接BE.AB是直径，AEB90，BEAC.ABC是等边三角形，AEEC，即E为AC的中点D是BC的中点，故DE为ABC的中位线DEAB21.,解：,7,遇切线巧作过切点的半径,方法,8如图，O是RtABC的外接圆，ABC90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB.,(1)求证：PB是O的切线；,(1)如图，连接OB，OAOB，OABOBA.PAPB，PABPBA.OABPABOBAPBA.即PAOPBO.又PA是O的切线，PAO90.PBO90.OBPB.又OB是O的半径，PB是O的切线,证明：,(2)已知PA，ACB60，求O的半径,(2)如图，连接OP，PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上OAOB，点O在线段AB的垂直平分线上OP为线段AB的垂直平分线,解：,又BCAB，POBC.AOPACB60.由(1)知PAO90.APO30.PO2AO.在RtAPO中，AO2PA2PO2，AO23(2AO)2.又AO0，AO1，O的半径为1.,8,巧添辅助线计算阴影部分的面积,方法,9【中考自贡】如图所示，点B，C，D都在O上，过点C作ACBD交OB的延长线于点A，连接CD，且CDBOBD30，DB6cm.,(1)求证：AC是O的切线；,(1)如图，连接CO，交DB于点E，O2CDB60.又OBE30，BEO180603090.ACBD，ACOBEO90.即OCAC.又点C在O上，AC是O的切线,证明：,(2)求由弦CD，BD与BC所围成的阴影部分的面积(结果保留),(2)OEDB，EBDB3cm.在RtEOB中，OBD30，OEOB.EB3cm，由勾股定理可求得OB6cm.,解：,又CDBDBO，DEBE，CEDOEB，CDEOBE.SCDESOBE.S阴影S扇形OCB626(cm2),