回归分析的基本思想及其初步应用.ppt

新学期我们怀揣大学梦想，只要我们相信自己，刻苦努力每一天，就一定能考进北京大学,第一章统计案例,1.1回归分析的基本思想及其初步应用,a.比数学3中“回归”增加的内容,数学统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程ybxa用回归直线方程解决应用问题,选修-统计案例引入线性回归模型ybxae了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果,必修3(第二章统计)知识结构,收集数据(随机抽样),整理、分析数据估计、推断,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体数字特征,线性回归分析,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是,问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否-有一个确定性的关系？,例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：,复习:变量之间的两种关系,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。,1、定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,1、两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？,相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。,思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种理想的关系模型相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况,问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？,2、最小二乘估计,最小二乘估计下的线性回归方程：,我们回忆一下,最小二乘法:,样本点的中心:,回归方程:,3、回归分析的基本步骤:,画散点图,求回归方程,用回归直线方程预报、决策,这种方法称为回归分析.,回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.,2、现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等,探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,根据最小二乘法估计和就是未知参数a和b的最好估计，,所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为,探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。,60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生平均体重的预测值。,1.用相关系数r来衡量,2.公式：,求出线性相关方程后，说明身高x每增加一个单位,体重y就增加0.849个单位,这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢?,、当时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。、当时，表示x与y存在着一定的线性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。,3.性质：,例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。,我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。,思考P3产生随机误差项e的原因是什么？,思考产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y的因素不只是身高x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、是否喜欢运动、生长环境、度量误差等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高x的观测误差。,我们回忆一下,最小二乘法:,样本点的中心:在回归直线上,回归方程:,3、回归分析的基本步骤:,画散点图,求回归方程,用回归直线方程预报、决策,这种方法称为回归分析.,回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化。,在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。,随机误差,e的估计量,样本点：,相应的随机误差为：,随机误差的估计值为：,称为相应于点的残差.,残差图的制作和作用：制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误.横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地.作用：判断模型的适用性：若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.,误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。残差与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,使用公式计算残差,残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明：第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,例1的R20.64，解释变量对总效应约贡献了64%，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量x，哪个变量是预报变量y。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,我们回忆一下,最小二乘法:,样本点的中心:在回归直线上,回归方程:,以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。,例1的R20.64，解释变量对总效应约贡献了64%，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。,使用公式计算残差,随机误差的估计值为：,称为相应于点的残差.,例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：,（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,产卵数,气温,在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.,利用线性回归模型研究y和x之间的非线性回归方程.,当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为非线性回归方程.,根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线的周围，其中c1和c2是待定参数.,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a的周围.,产卵数,气温,变换y=bx+a非线性关系线性关系,对数,方法一：指数函数模型,由计算器得：z关于x的线性回归方程相关指数因此y关于x的非线性回归方程为,当x=28时，y44，指数回归模型中温度解释了98%的产卵数的变化,方法三：一元函数模型,最好的模型是哪个?,显然，指数函数模型最好！,利用残差计算公式：,由残差平方和：,故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.,或由条件R2分别为0.98和0.80，同样可得它们的效果.,课堂知识延伸,我们知道，刑警如果能在案发现场提取到罪犯的脚印，即将获得一条重要的破案线索，其原因之一是人类的脚掌长度和身高存在着相关关系，可以根据一个人的脚掌长度来来预测他的身高我们还知道，在统计史上，很早就有人收集过人们的身高、前臂长度等数据，试图寻找这些数据之间的规律在上述两个小故事的启发下，全班同学请分成一些小组，每组4-6名同学，在老师的指导下，开展一次数学建模活动，来亲自体验回归分析的思想方法，提高自己的实践能力。数学建模的题目是：收集一些周围人们的脚掌长度、前臂长度中的一个数据及其身高，来作为两个变量画散点图，如果这两个变量之间具有线性相关关系，就求出回归直线方程，另选一个人的这两个变量的数据，作一次预测，并分析预测结果。最后以小组写出数学建模报告，报告要求过程清晰，结论明确，有关数学论述准确，以下两个问题需要注意：（1）如果脚掌长度不方便，可改量脚印的长度。（2）数据尽量取得分散一些。,怎样使用函数计算器求线性回归方程？,比数学3中“回归”增加的内容,数学统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程ybxa用回归直线方程解决应用问题,选修1-2统计案例引入线性回归模型ybxae了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果,回归分析知识结构图,