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1第八章 常微分方程初值问题的数值解法（1）00(,),dyfxxb （1）的解：解析解 函数 00(),(,),()Nxdyyxfxxy 常微分方程课程中讨论了（1）的解的存在性，唯一性条件例如 ，且 满足对 的 Lipchitz 条件：0(,),;fCb(,)fy12120(,)(,),nfxyfLyx 则（1）的解存在，唯一以后我们总设 (,)ip()Lfx解析解不易求得，或太复杂。实际问题中归结出的方程主要用数值解，即求 在一系列离散点上的近似值，这些点是()y01011,.nnxhxh 诸 可以不同，为方便计算，设i ,1,2.ii 方法：据常微分方程理论，已知 ，则（1）在 上的解满足 ()kyx,kxb2(,)kyfx提示我们从 出发，一步一步向前跨，得到0 (),0,1.iiyxn 初值问题： Taylor 展式法(数值积分法) Euler 折线法 分点 00,12.k bxxhknh 给定（1） ，在 处将 展成 Taylor 展式k()yx2()(kyx一般 很小，略去 项，得：h210021(,)yfxy 一般地， 11(,)1,2.,kkyhfxykn 分段线性函() kkx x数（Euler 折线法名称的由来）如果 （没有误差） 用 Euler 折线法求得()kky1ky则 局部截断误差 21 1():kkkhxT3221()kkhTyxo主 项Euler 折线法算法简单，自开始，但精度差(P.281，表 9-1)，几乎不单独用。向后的 Euler 公式：11(,)kkyhfxyTaylor 展开可得， ， 主项21()khT2()khyx隐式， 可迭代求解，精度也不高。1ky梯形公式（向前、向后 Euler 法，取算术平均）1 1(,)(,)(2)2kkkhyfxyfy 平均斜率 消去截断误差中的 项。提高精度 1 2 2 31kTOh隐式，迭代方法 (0)1() ()1(,),(3)2kkn nkyhfxyfxy 迭代有限步，或迭代至收敛（收敛吗？下证）(2)-(3) (1) ()11(,),n nkkkhyfxyfxyLipchitz 条件 ()()12nkL4当 充分小，即 时，方法收敛，缺点迭代次数无法控制。h12L如果只迭代一次，得到改进的 Euler 公式 211 31(,)()(,2kkkkyfxyTOhhfxy 预估校正法 (,)kkyfx1 31112(,)(),()kkkkkyhfxyTOhf预 估校 正 说明：231 31()2(,)(kkkkkkhyyOfx 31()kTOh优点： 预估与校正精度相同；不需迭代，精度较高。问题： 已知 才可起步，要用其它方法做“表头”01,yEuler 法的整体误差5， 受第 1，2，第 n 步截断误差的影响()nneyx记 ，则1(,)nhfxy11111()(,)(,)(),(nnnn nnnneyTxhfyxhfxyyfLe 反复应用上式，又由 得000 112,0()().()1max|2()1nnnkbknhLbxeThhLTyCe = 一般， 比 低一阶neTRunge-Kutta 方法(RK 法)Taylor 展开法（构造公式的基本方法，用于构造任意阶的公式）方法要点6例： 微分两边2yx222(4)222()4()3)6(358yxyxyxyx 在 这一点上，补充 可求得 的值。k()k()jkyx一般地 (,)(,)(,),xyxyyffffxy(3) 222xyf 算子 ()Dfxy. (D)()(1),jjyf 2()112(1)11()() ()!nnkkkkknxyxhxyxhofff 是以 代入(D) 式得到的值。()jkf,kxy令 ，可以构造任意阶的公式。(1)211!nkkfhffh7称为 阶精度的公式。111()()pkkyxOh精度高，但太繁琐，常用于求“表头”R-K 法为避免 Taylor 展开法的繁琐计算，试图不计算 ，而用多计算几个()jkff(x,y)在不同点上的值来代替 12221333321,112(,), )(, .).kkkrkrkrrrKfxyhKf hfxyKK 其中 与 无关。,fh1kkyh选择常数，使 h 的 Taylor 展式与 顺次有尽可能2.kff多的项重合。一般导致非线性方程组，有时不推最高可能阶数，而常要求系数对称，简明易记. （非常繁琐，一次推得，一般情况通用）例 二阶的 RK 方法推导用二元 Taylor 展式812221 2212(,)(,)(,)(,)(,)(, kkkxkykkxkyKfxyhKffhfxKhff O 1xy21212 (y=f)2 (f+)(,)(,(,)kkxkyKffxhf 只须二阶，自由系数12/12210, 我们得到了二阶 R-K 法 （也称为变形 Euler 公式）：Un二阶的方法，用多算一次函数值来避免算 .y如果取 ， 我们又一次得到改进1/212 的 Euler 公式，同时回答了前面改进的 Euler 公式是二阶的问题。四阶（标准）RK 法（常用）911223431124(,)(,)()6kkkkkKfxyKhfxyhy 变步长 RK 法要点：取一个 算： 11(),/2nybh 2 2()nyy?再 算 判 断 线性多步法单步法只用 ，线性多步法用了若干个点上1,(,)kkkxyfxy的信息，限于线性组合，一般的1010.(.)(1)kkrkkhfff . 显式， 隐式。11局部截断误差的计算：设 ()kikiyx0,1.r， 是用（1）式算出的值。11:()kkkTyx方程等阶于11()(,)nxnfydx10未知，但： (),()Fxfyx()(,)niniiniFxfyf以 作插值多项式， 代 积1.,kkkrff (rpx)F分，求出诸 和 得到 Adams 外推法，插值区间 不包含ii,kr，所以 得 4 阶显式公式：1(,)kx10123(5979)24kkkkhyfff以 作插值1 1(,),).,(,knrrxfxx 多项式 代 积分得 和 ，此时 ，有 4 阶隐式公式iQ(Fii10111295)24kkkkhyfff一般利用 Taylor 展开方程例如： 1012101().(2)kkkkkyyhff Taylor 展开(),()iiiixfxnx 在 处kikiy.21()()().(3)kkkkhxyx 21()()().kkkkyyx代入（2）式得到：111012101212 331(4)121()()(496(602k kkkyyxyxhyxh (5)6() kyxOh据 的 Taylor 展式，上式中 的系数应为 ，列出相应的1ky ()jjkyxh1!j线性方程组，从中解出 ，局部截断误差 .考虑稳定性和系数i, 6()O形式简单，也可少解几个方程，有自由未知数。 e.g. 令 ，代入可解得02Simpson 公式111(4)3kkkhyff局部截断误差 6)O当然也有另外的公式。 Harmming 做了多次检验,发现当 时稳定10性好。得 Harmming 公式 512113(9)(2)()88kkkkhyyffOh 用数值积分法可推出的公式必可用 Taylor 法推出。反之不然 (如12Harmming)一般来说，隐式的公式稳定性较好，解决隐式的方法： 迭代 1用其他公式预报。 2 1kyHarmming 预估校正系统隐式的四阶 Harmming 公式12115()613(9)2)88(40kkkkkkkkhyyffTxxOhHarmming 公式是隐式的，需要一个显式四阶线性多步法公式求的初值。(2)1ky设： 0123012()kkkkkyyhff可推六阶显式只推四阶 ，得 Miline 公式0113125()6142)()(kkkkhyffxyxOh 不 够 稳 定Harmming 的预测- 校正系统（隐式，不迭代）表头 n=1,2,31. 用 Miline 公式预报 13(0)13124(2)nnnnhypyff2. 改进 (1)1()nnnmpc3. 用 Harmming 公式校正(2)12113(9)(2)88nnnnhycymf4. 改进 (3)119()()nncnTpc第 2、4 两步的依据如果只考虑局部截断误差的主项，我们有 5() 5()5()5() 1(5)1 ()412)403603636(22)49()(20nnnnpnccpyxhyxhyhyhccpTyhc 实际上第 2、4 两步是从近似值中减去误差主项，当然不能消除误差，但可以提高近似的精确度。高阶方程与一阶方程组14初值问题() (1)00,.,nnyfxyxy引入中间函数 (1)12,n ., 上述等价于： 1012321 (1)10()(,.)n nnyxyyfxyxy 一阶方程组的初值问题：一般地 10(,.,)1,2.,)iiniiodfxyin 写成向量形式 视为 的算子，向量值函数。,nA fnA12()().()Tnfxfx按算子的求导法 10,.,(,)Tndffdxxfyx 向 量 形 式15与前述初值问题有完全相同的形式。单步法的公式也有完全相同的形式。例：改进的 Euler 折线法 11 1(,)(,)(,)2k kkk khyhfxyyfxyfy 四阶 RK 法1213243 234(,)(,),(,),)6kk kk kk hfxyfxyfxyhh
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