解析函数的级数表示.ppt

2019/12/18,1,第四章解析函数的级数表示,4.1复数项级数4.2复变函数项级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数,2019/12/18,2,4.1复数项级数,1.复数序列的极限,2019/12/18,3,2019/12/18,4,2.复数项级数,2019/12/18,5,2019/12/18,6,定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.,2019/12/18,7,2019/12/18,8,解1)因发散;收敛,故原级数发散.,2019/12/18,9,2019/12/18,10,2019/12/18,11,(1)发散;(2)绝对收敛;(3)收敛,条件收敛;(4)绝对收敛;(5)绝对收敛.,2019/12/18,12,4.2复变函数项级数,1.复变函数项级数,2019/12/18,13,2019/12/18,14,2.幂级数,(阿贝尔定理),2019/12/18,15,2019/12/18,16,2019/12/18,17,2019/12/18,18,2019/12/18,19,2019/12/18,20,2019/12/18,21,4.幂级数的运算和性质象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设,2019/12/18,22,这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.,2019/12/18,23,2019/12/18,24,3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即,2019/12/18,25,4.3泰勒级数,2019/12/18,26,利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:,把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法,例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,.)，故有,因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.,2019/12/18,27,同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:,除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:,2019/12/18,28,解由于函数有一奇点z=-1,而在|z|1内处处解析,所以可在|z|1内展开成z的幂级数.,因为,例1把函数展开成z的幂级数.,2019/12/18,29,例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.,解ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|1展开为z的幂级数.,2019/12/18,30,推论1:,推论2：,推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛),2019/12/18,31,推论4：,例如：,它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.,1-z2+z4-,如复变函数,2019/12/18,32,2019/12/18,33,2019/12/18,34,4.4洛朗级数,2019/12/18,35,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.,根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.,2019/12/18,36,解：函数f(z)在圆环域i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,应把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,2019/12/18,37,先把f(z)用部分分式表示:,ii)在1|z|2内：,2019/12/18,38,iii)在2|z|+内:,2019/12/18,39,例2把函数,解因有,2019/12/18,40,