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1,三、用函数的零点判断极点的类型,2,1、函数的零点,例,定义,若函数,定义,若函数,在点,的某个邻域,内解,析，,；且除了点,外，在,内，,处处不为零，则称,为,孤立零点,.,在点解析，并且,3,4,m级零点的判别方法,零点的充要条件是：,定理1如果,在,解析,那末,为,的,级,证明：对于在点解析函数来说，它在该点的邻域内的Taylor级数展开式的系数是唯一的，并且有，从而根据函数零点的定义：前m项为零，有,5,定理2,其中,在点,解析，且,为,的,m级零点的充要条件为,另外，我们有,我们下面仅证明其必要性。充分性自己思考。,6,证明：如果是函数的m级零点，则,此处展开式的前m项系数都为零。,若记,则有,其中：在处解析，并且,7,8,9,10,推论：,设,在区域,D,内解析，,(,n,=1,2,),是,在,D,内的一列零点，且,，,当,则在中必恒为零。,11,12,练习,求,的奇点,如果是极点,指出它的,级数.,答案,13,推论1点为的级极点的充要条件为是的级零点。,推论2若点为函数的级零点，则z0为函数的级零点；当时，z0为函数的级极点。,14,推论3(LHospital法则)设函数不恒为零，若为函数和的零点(极点)，则当时，函数的极限一定存在或为，且有,注意：若函数在点解析，则当为函数的级零点或级极点时，也分别是函数的级零点或级极点。,15,(1)由于,练习,是五级零点,是二级零点.,解,(2)由于,答案,16,解,这些奇点是,孤立奇点.,推论1为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.,17,例3求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数（2）解：显然和是函数的孤立奇点，分别取和,则可见和分别是的二级极点和三级极点。,18,（4）解：点为的一级零点;函数的零点为，且在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数的一级零点。由定理2的推论2，为函数的二级零点，又由推论1及其注意，它为的二级极点，而为的简单极点。,
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