解析函数平面向量场应用.pptx

解析函数在平面向量场的应用,12-4班牛悦安天浩指导教师：王培,发生物理现象的空间部分称为场，场是物理量的空间函数，其中物理量是失量的称为矢量场，比如力场，电磁场等。能用一个二维向量充分表示的场叫二维向量场，又称为平面向量场。在平面向量场中，取定一个直角坐标系xOy，场中每一个向量都可以用A=Ax（x,y）i+Ay(x,y)j来表示，Ax(x,y)与Ay(x,y)是向量在x轴与y轴上的分量。由于平面中所有的点都可以用复数z=x+iy来表示，所以平面矢量场A就可以由复变函数A(z)=Ax（x,y）+Ay(x,y)i来表示。,在稳定平面向量场D内任取一条简单曲线C，以C为准线，做一个高为1的柱面，则单位时间内通过这个柱面流向它某一侧的流量，即流体的质量，称为通过C流向这一侧的流量。既是流量的物理意义。设流体的密度为1，C是一条简单闭曲线，取定法线方向总指向C的右侧。设在A处的速度向量为v，而vn为v在法线方向上的投影。则在单位时间内通过ds流向法线侧的流量为,在复平面上对应的设v的实部为Vx=Vx(x,y)以及虚部为Vy=Vy(x,y)，于是v可以表示为v=Vx(x,y)+iVy(x,y)。流过C的流量为同时由格林公式，可将Qc整理为当沿C正向流量Qc=0时，流出与流入相等净流量为0，则称流速场V无源。,称之为流速场在z0=x0+iy0点的散度。当散度为0时，称这个流量场为无源场。在复变函数中，可以看出，若流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，上述条件即可表示为对D内的每一点(x,y)D有柯西黎曼方程之一成立，则流体的流动是无源的。,再定义流体通过曲线的环量,对D内任一条简单闭曲线C上取一点P,流速在P切线上分量为Vt,它沿曲线积分就是流体在单位时间内沿曲线C的环量，记为。根据格林公式如下。,与散度同理，将在z0=x0+iy0处的值称为在这一点的旋度当rotV=0，即时，将流量场称为无旋场。故在复变函数中，若流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，对D内的每一点(x,y)D有柯西黎曼方程另一个条件成立，则流体的流动无旋。,由上述分析，我们就可以看出，流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，对D内的每一点(x,y)D满足柯西-黎曼方程，那么这个平面流体流动是即无源又无旋的。可以说当一个函数能用无源无旋的二维向量场表示时,它是一个单连通域内的解析函数反之，解析函数也可以表示二维向量场。,我们将这个解析函数记为称为能表示它的平面流速场的复势(x,y)是向量场的势函数，(x,y)是向量场的流函数。,解析函数在车流计算中的应用首先,把单向车流V=P(x,y)+iQ(x,y)看作是一个不可压缩的、定常的理想流体流速场,它是一个无源场和无旋场,则其散度和旋度分别等于零,亦即,由（1）式可知-Qdx+Pdy是某一个二元函数(x,y)的全微分，d(x,y)=-Qdx+Pdy，/x=-Q，/y=P(3)由（2）式知Pdx+dQy也是某一个二元函数(x,y)的全微分d(x,y)=Pdx+dQy，/x=P，/y=Q（4）,由（3），（4）得：/x=/y，/y=-/x，满足柯西黎曼方程故做一个解析函数w=f(z)=(x,y)+i(x,y)，这个解析函数就是平面流速场的复势函数，其中，(x,y)称为势函数，(x,y)称为流函数。车流速度为：现在转入计算单向车流这一实际问题。首先将其数学化。,假定有一条宽10m左右，长度无限且不存在岔道，无超车现象的公路，选择公路上某一点为坐标原点，需要研究的位置为流动点（x，y）。,车流方向为为X轴正方向，设在任意时刻t，据单位时间内通过（x，y）点的车辆数和堵车而在（x，y）点附近单位长的公路上单流方向停留的车辆建立流函数(x,y)和密度函数(x,y)，并计算其势函数,做解析函数f(z)=(x,y)+i(x,y)，用公式（5）求复值速度函数=/y+i/y再引入灵敏系数（表示因司机反应造成的误差）其中q为流量,p为车辆密度,pm,为堵塞时的车辆密度。,按上述方法计算得车流速度,即公路上任一点(x,y)处在任意时刻t的任一辆车的速度为用解析函数计算车流问题简便易行.在过去的计算方法中假设车流是一条直线,事实上,车流并非一条直线,应用解析函数的方法,将车流速度摆在平面流速场中计算,其科学性、实用性都较强。,谢谢！,以流速场为例，在流动中，垂直于某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同，且与指定平面平行成为流体的平面流动，而个质点的速度仅与位置有关而不随时间变化称为平面稳定流动。在平面稳定流动中取平面z，如果在Z上某一区域D内的每一点都有一个大小和方向都不随时间变化的向量与它对应，则在D内确定了一个稳定平面向量场。,若沿D内的任一简单必曲线的环量是0，则称这个流体的流动是无旋的。在区域D内，由格林公式可知，,同理，我们也可以将其他的二维无源无旋场表示为对应复平面解析函数的形式，直接根据解析函数的计算法则求解相应问题。以解析函数形式的势函数来表示平面向量场，可以将复变函数的微分与积分等运算同实际物理场中的复杂问题联系起来，可以简化计算过程，统一研究该场的分布和变化情况。,