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第四节中值定理洛必达法则一、中值定理二、洛必达法则,一、中值定理定理2-1（罗尔(Rolle)中值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点(ab),使得f()=0成立。证明（1）若函数f(x)在闭区间a,b上为常数，则f(x)=0，因而，(a,b)内任何一点都可取作。（2）若函数f(x)在a,b上不是常数,必存在最大值M和最小值m，且M与m至少有一个不等于f(a)。,x,y,o,a,1,b,C,y=f(x),不妨设Mf(a),则在(a,b)内至少存在一点,使得f()=M。由于(a,b),故f()存在。而f()=M，所以，当x足够小时，f(+x)-f()0,若若二者又相等，所以f()=0成立。,罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线y=f(x)除端点外，处处有不垂直于x轴的切线（即可导），且在两个端点处的纵坐标相等（即f(a)=f(b)），则在该段曲线上至少有一点(,f()的切线与x轴平行。例2-26已知f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)。不求导，判断方程f(x)=0的实根个数和范围。解f(x)的连续性和可导性是明显的，且f(1)=f(2)=f(3)=0，故在区间1，2、2，3上均满足罗尔中值定理的条件，则在（1，2）内至少存在一点1，使得f(1)=0；在（2，3）内至少存在一点2，使得f(2)=0。而f(x)=0是一元二次方程，最多有两个实根，分别在开区间（1，2）、（2，3）内。,拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了分析力学一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。,定理（拉格朗日(Lagrange)中值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点(ax0。由条件（1）知，函数f(x)、g(x)在区间x,x0上满足柯西中值定理的条件（若在x0点不连续，则补充定义f(x0)=0,g(x0)=0），则至少存在一点(x0,x)，使得当xx0时，必有x0，所以,将xx0改为x，结论仍成立。因为，设，则当x时，t0。故将条件（2）改为，即为型不定式，结论也成立。,例2-28求解设f(x)=e2x-1,g(x)=3x。两个函数满足洛必达法则中条件（1）、（2），且f(x)=2e2x,g(x)=3。由于所以，根据洛必达法则，,例2-29求解注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用，但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。例2-30求解,型未定式解法方法：把它们转化成或型后，再用洛必达法则求极限。型例2-31求解,方法,注意：此题若变形为，则转化成型但，不利于求极限。因此，把型不定式转化成型还是型应根据所给函数而定。总的原则是分子、分母求导越方便，求导以后的新函数求极限越方便为宜。,-型例2-32求解,方法,型例2-33求解设，则所以,方法,例2-34求解设，则所以,例2-35求解设，则所以,其他不定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,作业:习题二34-40,
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