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能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,第8课时正弦定理、余弦定理的应用,1利用正弦定理，余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2高考题型主要考查与距离、角度、高度、几何等有关的实际问题近几年主要是以解答题形式出现，难度不高，所以，在备考中，重在熟练对正、余弦定理的运用,【命题预测】,1解与三角形有关的实际问题时，要注意对仰角、俯角、方位角、方向角、铅直平面等术语的理解与角度有关的实际问题，除了仍要合理应用正、余弦定理和三角形知识外，还要注意弄清仰角、俯角、方向角、方位角等有关术语解决这类问题的基本步骤：(1)弄清题意，作出示意图，标明相关角度和长度；(2)选用正确的定理或三角公式求解；(3)作答,【应试对策】,2解决与高度有关的实际问题的基本步骤：(1)准确理解题意和相关名词、术语；(2)画出示意图，标出已知条件；(3)分析与问题有关的一个或几个三角形，结合直角三角形的知识和正、余弦定理正确求解射影定理：在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB.,【知识拓展】,1实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图),上方,下方,2ABC的面积公式有(1)Saha(ha表示a边上的高)；(2)SabsinC(R为外接圆半径)；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径),1在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积S_.解析：由余弦定理BC2AB2AC22ABACcos120，解得AC3，因此ABC的面积SABACsin120.答案：,2如图，A、B两点间隔有一小山，现选定能直接到达点A、B的C点，并测得AC60m，BC160m，ACB60，则A、B两点间的距离为_m.解析：AB140(m)答案：140,3(2010济宁一中调研)某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30角的直线上，1分钟后，他看这宝塔在与火车前进方向成45角的直线上，设火车的速度是100km/h，则宝塔到铁路线的垂直距离等于_km.,解析：如图，BCA=4530=15，AB=(km)，AC=sinABC=(km)，所以宝塔到铁路线的垂直距离=ACsin30=(km)答案：,4某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的大小关系为_解析：由正弦定理，在BCP中，在DCP中，由于，BCPDCP，/得，又PBPD，d1d2.答案：d13，所以此时没有触礁的危险,(2)要使船没有触礁的危险，只要使d3，即3成立即可00，tantan，所以当与满足0tantanAC，C60或120.当C60时，SABCACABsinA22sin902；当C120时，SABCACABsinA22sin30.,4如图，ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为_解析：作CE平面ABD于E，则CDE是太阳光线与地面所成的角，即CDE=40.延长DE交直线AB于F，连结CF，则CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为.要使SABD最大，只需DF最大在CFD中，CF为定值，当=50时，DF最大答案：50,1正弦定理、余弦定理在实际生活中，有着广泛的应用，常见题型有距离问题、高度问题、角度问题以及平面图形的面积问题等2解实际应用问题，要准确找出仰角、俯角、方位角，同时要注意与平面几何结合，运用正弦定理、余弦定理发挥题目的隐含条件，从而顺利解决问题3解实际问题时，要注意题目中给出的精确度，合理取近似值.,【规律方法总结】,【例5】(2009北京卷)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B，cosA，b.(1)求sinC的值；(2)求ABC的面积,【高考真题】,分析：(1)根据三角形内角和定理，ACB，即CA，只要再根据cosA求出sinA的值，根据两角差的正弦公式即可求出sinC的值；(2)相当于知道了三角形三个内角以及一条边长，只要再求出一条边长就可以根据三角形面积公式求出ABC的面积,规范解答：(1)因为角A，B，C为ABC的内角，且B，cosA，所以CA，sinA.于是sinCsin(2)由(1)知sinA，sinC又因为B，b，所以在ABC中，由正弦定理得a于是ABC的面积SabsinC,本题初看像是一道纯粹的解三角形的题目，实际上是以考查三角恒等变换为主的一道试题，我们在求出第(1)问后就可以根据正弦定理和三角形面积公式解决问题了【知识链接】三角形内角间的三角函数关系在ABC中，sinAsin(BC)，cosAcos(BC)，我们在解题时，要注意这些关系在解决三角形问题中的应用,【命题探究】,【全解密】,在三角形中，当已知两个内角的大小或是已知两个内角的三角函数值时，一定能根据三角形内角和定理与两角和的正弦公式、余弦公式求出第三个内角的大小或其三角函数值,【方法探究】,本题第(1)问也可以根据sinCsin(AB)求解，由于cosA，sinA，B，所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB第(2)问也可以根据正弦定理2R(R为ABC的外接圆半径)，得R1，SabsinC2RsinA2RsinBsinCsinAsinBsinC，只要将第(1)问的结果代入即可.,【发散思维】,1在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，证明分析：此题主要考查正、余弦定理在证明恒等式中的应用，由等号左边的a2，b2，c2，运用余弦定理进行转化，由等号右边的正弦值，想到运用正弦定理进行转化,证明：由余弦定理，知a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，两式相减，得a2b2b2a22bccosA2cacosB，.由正弦定理，知,2如图，在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是边BC上一点，DC2BD，则_.分析：利用余弦定理求出BC边的长，再利用其变式求出角B的余弦值，结合向量的数量积求值,解：由余弦定理得BC222122217，可得BC.又因为cosB,
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