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函数及其性质,1.函数(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x),2.函数的三要素函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊映射.,3.函数的表示法：解析式法、列表法、图象法.,(2)近代定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应f叫做集合A到集合B的函数，,单,奇偶,下一张,4.映射设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.给定一个集合A到B的映射，且aA,bB.如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象,5.一一映射设f:AB是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射.,6.反函数.设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.如果用y表示x，得到x=(y)，且对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有惟一确定的值和它对应.那么就称函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数.记作x=f-1(y)一般改写为y=f-1(x),返回,下一张,.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.求函数的定义域的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.,.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.,.已知f(x)的定义域为A，求函数fg(x)的定义域，实际上是已知中间变量u=g(x)的取值范围，即uA，即g(x)A，求自变量x的取值范围.,函数的定义域,返回,下一张,1.函数的定义域为()(A)2，+(B)(-，1)(C)(1，2)(D)(1，2,D,2函数的定义域是_,(-，-1,3.已知函数f(x)的定义域为a，b，则f(2x-1)的定义域为,4.已知f(x2)的定义域为-1，1，则f(2x)的定义域为,返回,下一张,.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.,.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.,.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等.,函数的值域,返回,下一张,1.定义域为R的函数y=f(x)的值域为a，b，则函数y=f(x+a)的值域为()(A)2a，a+b(B)0，b-a(C)a，b(D)-a，a+b,C,5.若函数的值域是-1，1，则函数f-1(x)的值域是()(A)(B)(C)(D),A,返回,下一张,2求下列函数的值域：(1);(2);(4)y=x2-6x+5,(5)y=x2-6x+5x（-2，4,返回,下一张,2（1）已知，求f(x),（2）已知f(x)是一次函数，且满足，求f(x),（3）已知f(x)满足，求f(x),（4）已知，求f(x),（5）.已知二次函数f（x）的图象过点A(1,1)、B（-2,0）C（4,0）,求f(x)的表达式,1.已知函数f(x)=-3x+2,求f(2)、f(x-1).,返回,下一张,.函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2，当x0，+时是增函数，当x(-，0)时是减函数.,返回,下一张,.单调区间如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.,.用定义证明函数单调性的步骤证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：(1)取值：对任意x1,x2M，且x1x2；(2)作差：f(x1)-f(x2)；(3)判定差的正负；(4)根据判定的结果作出相应的结论.,返回,下一张,.复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：,注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,返回,下一张,1.下列函数中，在区间(-，0)上是增函数的是()(A)f(x)=x2-4x+8(B)g(x)=ax+3(a0)(C)h(x)=(D)s(x)=log(-x),2.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，那么实数a的取值范围是()(A)(-，-3)(B)(-，-3)(C)(-3，+)(D)(-，3),D,3.函数的减区间是_；函数的减区间是_,B,(-，-1)，(-1，+),(-1，1,返回,下一张,4.是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解方程（2）解不等式（3）求适合的的取值范围,5.判断函数在定义域上的单调性.,(1)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性,.函数的奇偶性,一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数,.具有奇偶性的函数图象特点,下一张,(2)利用定理，借助函数的图象判定,.函数奇偶性的判定方法,(1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，若对称再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=1,(3)性质法判定.在定义域的公共部分内两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)；.偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同.,下一张,1.已知函数f(x)=ax2+bx+c(2a-3x3)是偶函数，则a_，b_，c_,2.函数的奇偶性是()(A)奇函数(B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶,D,3.判断下列函数的奇偶性：,返回,下一张,(1)f(x)=x3-5x,3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+lg(x+1),求f(x)在R上的表达式,
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