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电大小抄微积分初步一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）函数 的定义域是xf51)( , 1 xsinlm已知 ，则 =xf2)()(f若 ，则cFdf)3()(1微分方程的阶数yxyxesin4是3函数 的定义域是)2l(f,1),( 2 xsilm0 de2微分方程 的特解)0(,y为 .x函数 ，则f1(2 )曲线 在点 处的y),(切线方程是 x若 ，则cf2sind)( 4微分方程的阶数xyyo)(7)5(3为 5 函数 的定义域是241xf),(若 sdinCcos6. 函数 ，2xf则 x2 -2 )(7 . 若函数 ,0,13sikf在 处连续，则 1 08. 曲线 在点 处的切xy),(线斜率是 29. d)cos(in1310. 微分方程的阶数为 xyyi4)653）（5 6. 函数 ，则2)1(fx2 + 1 9. sinx + csdin函数 的定义域 )l(f是 ),3(2函数 的间断 1xy点是 曲线 在 点)(f),0(的斜率是 2若 ，则cxfosd= )(4微分方程 的阶 0)(3y数是2函数 ，则xf21)(x函数 在0,sinkf处连续，则 =20 4xd)53(1微分方程 sin(3y的阶数是2 3函数 2)lxf的定义域是 ,1(,4函数 ， 7(2f则 )65函数 ，则 0exf2 )0(6. 函数 ，则f12x7函数 的间断点 3y是9若 ，则 2 sin4lm0kx10若 ，则31曲线 在 1)(f),(点的斜率是 2fk2曲线 在 点的xe,0切线方程是 y3曲线 在点 处的21),(切线方程是 即：x0yx4 )(xx2ln15若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) = 6 6已知 ，则f3)(ln277已知 ，则xfln)(218若 ，则xfe)0(9函数 的单调增y32)加区间是 ,110函数 在区间(axf内单调增加，则 a 应满),足 01若 的一个原函数为 ，(f2ln则 )x2lc2若 的一个原函数为，则e)(fx3若 ，cxed则 )(f14若 ，2sin则 =xco5若 ，cxfld)(则 16若 ，f2os)(则 x4cx7 de28 )(sini9若 ，则Ff(x312c10若 ，则f)d(21. 3)cosin1xx2 2 d4(53已知曲线 在任意)(fy点 处切线的斜率为 ，xx且曲线过 ，则该曲线5,的方程是 312y4若 4 dx)(135由定积分的几何意义知， a026 0 e1)ln(dx7 = x028微分方程 1)(,y的特解为 xe9微分方程 的通 03解为 xcey310微分方程sin4)(7)(的阶数为 4 阶 二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）设函数 ，则该函2exy数是（B）A 奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数设函数 ，则该函2exy数是（A）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数下列结论中（ C ）正确 A 在 处连续，)(xf0则一定在 处可微.B函数的极值点一定发生在其驻点上. C 在 处不连续，)(xf0则一定在 处不可导. D函数的极值点一定发生在不 可导点上.如果等式 ，cxf1ed)(则 （ D ）A. B. 12C. D. x下列函数在指定区间 (,)上单调减少的是（D ） A B sinxeC D23设函数 ，则该函yi数 是（B）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数下列函数在指定区间 上单调减少的是(,)（B） A B C D xcos52x2 设 ，则 cflnd)(（ C ）A. B. xlC. D. 22l下列微分方程中，（A ）是 线性微分方程 A xyxylnesiB 2C 电大小抄D yxln2满足方程 的点一 定是0)(f函数 的（ C ）。A极值点B最值点 C驻点 D 间断点微分方程 的通解 1y是（B）A. ； B. ； exexC. ； D.2函数 的 f5)ln(定义域是（D ） A（2，+） B（2，5C（2，3）（3，5） D（2，3）（3，5下列函数在指定区间（-，+ ）上单调减少的是（ B ）A B C Dxsin2xe函数 的定义域 )l(f是（C ） A（-2，+） B（-1，+）C（-2，-1）（-1，+） D（-1，0）（0，+）下列微分方程中为可分离变量方程的是（C ） A. ； B. yxd)(xyC. ； D. sin2、若函数 ，则f2i)(（A ） .lim0xA B0 C1 D不存在下列无穷积分收敛的是（B）A B0dinxs02exC D11微分方程 的通解是y（D）A. B. cx2cx2C. D.ee函数 的定义域312y（D）A B xxC 且 0D 且若函数 ，则f1sin)(（C ） .limxA0 B C 1 D不存2在函数 在区间74y是（C ）)5,(A单调增加 B单调减少 C先减后增 D先增后减下列无穷积分收敛的是（A）A B 12dx13dxC D下列微分方程中为一阶线性微 分方程的是（B）A. B. yxexsinC. i2设函数 ，则该函 2数是（ A）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数3函数 的图形 2)(xf是关于（ D）对称A B 轴yC 轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是(C)A B xsinxlnC D)1l225函数 的5l(4xy定义域为（ D ）A B C 且 0D 且5x6函数 的定义域)1ln(f（D）A B,)(C D20,7设 ，则1)(xf（ C ） A B C2D )2()(8下列各函数对中，（D）中的两个函数相等A ， 2)(xfxg(B ， C ， lnlnD ，3)(f)(9当 时，下列变量中为0x无穷小量的是（ C ） A B C1xsinD)ln(210当 （B）时，函数k，在 处连0,12xf续.A0 B1 C D11当 （D）时，函数k在0,2)(xef处连续.A0 B1 C2 D3 12函数 的间3)(xf断点是（ A ）A B 2,1xC D无间断点1函数 在区间2)(y是（ D ）,A单调增加B单调减少C先增后减 D先减后增2满足方程 的点一0)(xf定是函数 的（ C y）.A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点3若 ，则xfcose)(=（C ） 0A. 2 B. 1 C. -1 D. -24设 ，则 （ylgdyB ） A B xxln0C Dln105设 是可微函数，)(fy则 （ D ） 2cosdxA B fdin)(C D xsc6曲线 在 处1e2xy切线的斜率是（ C ） A B 4C D7若 ，则xfcos)(（ C ） A xsincoB C 2D i8若 ，其中 3s)(axf是常数，则 （ a)(fC ） A B2coC x6sinxsinD9下列结论中（ B ）不正确 A 在 处连续，)(xf0则 一定在 处可微. B 在 处不连续，则一定在 处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若 在a，b内恒有)(xf，则在a，b内函数是0单调下降的.10若函数 f (x)在点 x0 处可导，则( B )是错误的 A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B ，但lim0fC函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 11下列函数在指定区间上单调增加的是（ ,B ） Asinx Be x Cx 2 D3 - x12.下列结论正确的有（A ） Ax 0 是 f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有 (x0) f= 0 Bx 0 是 f (x)的极值点，则 x0 必是 f (x) 的驻点C若 (x0) = 0，则 x0 必是 f (x)的极值点 D使 不存在的点 x0，f一 定是 f (x)的极值点1下列等式成立的是（ A）A )(dffB )(xC )(ff电大小抄D )(dxf2若 ，cf2e则 （ A ）.)(A. B. C. 1exxD. 223若 ，则)0()(f（ A ）.dA. B. cxcx2C. 32D. 14以下计算正确的是（ A ）A B3lndx)1(2C Dx)d(l5 （ A ）fA. cfB. x)(C. 21D. cf6 =（ C ） xadA BCln2D c27如果等式，则xf11ed)(（ B ）A. B. 2C. D. x11在切线斜率为 2x 的积分曲线 族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ）Ay = x2 + 3 By = x 2 + 4 C D12若 = 2，则 k = （ 0d)(A ） A1 B-1 C0 D 13下列定积分中积分值为 0 的是（ A ） A Bxd2e1Cx1D)cos(3xdin24设 是连续的奇函数，则)(f定积分 （ D ）a-A B02xfC -d)(aaf0d)(D 05 （ D ）xsin2-A0 B C D26下列无穷积分收敛的是（B ）A B0dex0dexC D 117下列无穷积分收敛的是（B ）A B0dinxs02dexC D118下列微分方程中，（D）是线 性微分方程 A yyxln2B xeC D lsi9微分方程 的通解为（ 0yC ） A BxC D 0y10下列微分方程中为可分离变 量方程的是（B ）A. ；B. ； xdyxC. D. ysin)(D. ta三、计算题（本题共 44 分，每小题 11 分）设 ，求 .xy2eyd解： 213exyd)(d计算不定积分 xsin解： = iCcos2ds2计算定积分 xe10解： x2d2e10计算极限 95lim3x解： 24)(li3x设 ，求 .xycoslnyd解： ta2)i(121dxytan3计算不定积分 )(9解： =21(9cxx10)-计算极限 63lim2解： 2x51li)(1li2x设 ，求 .ycosyd解： lnixx)2l(d设 ，求 .y3cos5iny解：)i(2xx2ss计算不定积分 d1解： = x)(2C3)(计算定积分 0dsin解： 2x2si1cos10011. 计算极限 9152lim3x解： 2x 4li)(li33x2. 设 ，求ycosyd解： ，2， x3in1ddy)s(12. 设 ，求xily解： xy1cos)(1cos2= dx13. 计算不定积分 s2解： =xd1cos2cin)(14. 计算定积分 e1l解： = exd1l)(42n212e 计算极限 3limx解 2li)(li112xx 设 ，求 .cosn3y解: i2xta13计算不定积分 de5解 cxxx2)(de5 计算极限 86lim1解 l2x 32)(4li)(i2x 设 ，求 . y3n5cosy解 xx223lsi)(li)(l 计算定积分 0d电大小抄解 20dcosx12sini0计算极限 43lm2x解： i21li)(1l2xx2计算极限 65解： li21x271lim)(x3 39li2x解： 2461li)(li33xx4计算极限 5824解： limx31li)(144x5计算极限 6582x解： li23li)(2xx6计算极限 1m0解： xli )(li)(100xx2li0x7计算极限 x4sin1m解： xli0)1(six84inl)nl00x8计算极限 2mx解： sil0)4(nixx162li)2sil00 smxx设 ，求 xy12ey解： xxe121)(e)(2设 ，求 . y3cos4iny解： xxi23设 ，求 . y1ey解： 2x4设 ，求cosln. y解： xxta23csi35设 是由方程)(y确定的隐函数，42求 .d解：两边微分：0)(xdyyx2d26设 是由方程)(xy确定的隐函数，1求 . 解：两边对求导，得：2xy0)(，)(1ydxd7设 是由方程)(确定的隐函4e2yx数，求 .解：两边微分，得： 0xddyyxeex)2(， y8设 ，1)cos(求 yd解：两边对求导，e)(yx得： 0siny0)sin()si(yexyyi dxyedy)sn(1 xi3解： dxdsincxo32ln2 )1(0解： dcx100)2(c1)(23 xdsin解：i2cx1os)(sin4 xd解： 2i)cos(1cosxxin45 ed解： xcex)(1 xxde22ln0解： )(l3198)2ln02ln0xx2 dl5e1解： xee x11 )ln5(ln)(2605223 xed10解： 1)(1010exx4 d2sinx解： 002cos)(idxx002cos42sin)(40d5 2six解: 0 )cos(os202xd1in0x6求微分方程满足初始条件2y的特解47)(解：通解为 )()( cdxeqeypdxp， ， ，1(12代入 )4cxy， 代入得 。即：7(特解为 )124x7求微分方程 xysin的通解。解：通解为 )()( cdxeqypdxp， ，1，代入得通2sin)(解为 )coxy四、应用题（本题 16 分）1、用钢板焊接一个容积为 4的底为正方形的无盖水3m箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设边长 ，高 ，表面积xh，且S24,162x电大小抄令 ，216)(xS 0)(S得 ， 所以，当 时水箱的,h面积最小. 最低总费（元）1604)(3、欲做一个底为正方形，容积为108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为 ，x高为 ，用材料为 ，hy由已知 22108,xxy434令 ，解得32x是唯一驻点， 6所以 是函数的极小值点，即当 ， 时用料最3108h省. 5. 欲做一个底为正方形，容积为32 立方米的长方体开口容器，怎样做 法用料最省？解：设底边的边长为 ，高为 h，x用材料为 y，由已 32得 ，则23hx1842令 ，解得 x = 4018y是唯一驻点，易知 x = 4 是函数的极小值点，此时有 = 23h2，所以当 x = 4， h = 2 时用料最省。6、欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为 ，高为 ，xh容器的表面积为 ，y由已知 ， ，5.62h2.xxy04，令 ，得20y是唯一驻点5即有 ，所以当.62h， 时用料最省x1.设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设长为 厘米，另一边长为x厘米，60得： ，即：)(2V326xV，10dx令 ，得： （不合题意，舍去），4206x即：当矩形的边长为 、4时，圆柱体的体积最大。2.欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设长为 米，宽为 米，x216得 ，即L32648，令 ，2xd0dL（取正值）， 12即：当矩形的长为 米，宽为8米时，所用建筑材料最省。五、证明题（本题 5 分）1、函数 在（xef)(是单调增加的0,证明：因为 ，当1（ 时，x)所以函数xef(在（ 是)0,单调增加的1、证明等式 aa xfxf0)()(dd证明： aaafff0考虑积分 ，令0)(x，则 ，从而txdtaaa xfffd000 )()(所以 aafxff0)(d00 )()(
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