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,第三章机械能守恒,与机械运动相关的能量是机械能（动能、势能）。机械能是物质运动状态的客观反映，是运动状态的函数。力对空间的积累效果是功。在质点动力学中，动能和势能的变化及相互转化是通过做功来完成的，因此功是质点能量变化的量度。,主要内容：,（1）功和功率；,（2）动能和动能定理；,（3）保守力和势能；,（4）功能原理和机械能守恒定律。,3-1变力所做的功、功率：,设质点在变力的作用下沿曲线由A运动到B。,1、功：,对微小的位移（元位移），定义：,质点从A运动到B时，力对质点所做的总功为：,国际单位制中，功的单位为：Nm，称为焦耳（J）。,功是力对空间的积累效应。,2、功率：,功率用来表征力对质点做功的快慢，即单位时间所做的功。,平均功率：,瞬时功率：,由功的定义：,由功率求功：,例题3-2,方向不变的作用力F=6t(SI)，作用在一质量为2kg的物体上，物体从静止开始运动，求此作用力的瞬时功率和前2s内做的功。,由题意，物体将从静止开始作方向不变的直线运动。,此作用力F在前2s内所做的功：,3-2动能、动能定理：,当一个物体具有对其它物体做功的能力时，则称该物体具有一定的能量。能量是物体运动状态的函数。,动能因物体运动而具有的能量，是速度的函数；,势能与物体在力场中位置有关的能量，是位置的函数。,质点在曲线上任意点c时，变力所做的元功：,质点从A运动到B时，变力所做的总功为：,力对质点所做的功等于质点动能的增量。,所以：功是质点能量变化的量度。,质点的动能定理：,质点系的动能定理：,设质点系由n个质点组成。,第i个质点所受外力和内力之和：,由质点的动能定理：,外力和内力对质点系所做的功等于质点系动能的增量。,质点系的动能定理：,质点系的动量定理和动能定理的比较：,内力对质点系所做的功可以改变质点系的动能。,内力对质点系的冲量不改变质点系的动量。,虽然：,但是一般：,所以：dW内一般不等于零。,例题,质量为m的小球系在长为l的细绳下端，绳的上端固定，先使细绳保持水平静止，然后使小球自由下落，求细绳与水平方向成角时，小球的速率v和细绳所受的张力T。,因为张力不做功，由动能定理：,重力对小球所做的功：,例题3-3,一物体由斜面底部以初速度v0=10m/s向斜面上方运动，到达最高处后又沿斜面下滑。因物体和斜面的摩擦，滑到底部时速度变为vf=8m/s。已知斜面倾角为=30，求物体所能到达的高度和摩擦因数。,物体向上运动时：,物体向下运动时：,(2)-(1):,(2)+(1):,3-3势能、保守力：,1、重力的功、重力势能：,一质点在重力场中沿曲线由A运动到B，则重力做功：,结论：重力做功与路径无关，只和质点的始、末位置有关。,因此：可定义一个与质点在重力场中位置（高度）有关的物理量，称为重力势能。,重力对质点所做的功等于质点重力势能增量的负值。,2、弹性力的功、弹性势能：,设弹簧自然伸长时，质点处在o点。,由胡克定律：,当质点从x0运动到x时，弹性力做功：,结论：弹性力做功与路径无关，只和质点的始、末位置有关。,定义：弹性势能,弹性力对质点所做的功等于质点弹性势能增量的负值。,3、引力的功、引力势能：,质量为m的质点在质量为M的质点的万有引力作用下沿曲线运动。m所受的引力为：,引力势能的零点通常取在无穷远处。,而空间某点处的引力势能定义为：将质点从该点移至无穷远处（势能零点）时，万有引力所做的功。,结论：引力做功与路径无关，只和质点的始、末位置有关。,令，则A点的引力势能为：,引力对质点所做的功等于质点引力势能增量的负值。,地球表面的物体所受的重力即为万有引力，在地面上不太高的h处，引力势能为：,4、保守力和势能：,“任意两点间做功与路径无关”与“沿任意闭合路径做功为零”这两种说法是等效的。,满足上式的作用力称为保守力，即：,保守力做功与路径无关，说明在保守力场中存在一个仅由空间位置决定的物理量，该物理量即为势能。,由前面讨论知：保守力做功等于势能增量的负值。,不能满足的力称为非保守力（如摩擦力等）。,对非保守力场，不能引入“势能”的概念。,重力势能属于质点和地球组成的“重力系统”；,弹性势能属于质点和弹簧组成的“弹性系统”；,引力势能属于相互作用的两个质点组成的“引力系统”；,3-4功能原理、机械能守恒定律：,根据质点系的动能定理：,定义：系统的总动能和总势能之和称为系统的机械能。,质点系的功能原理：外力和非保守内力对质点系所做的功等于系统机械能的增量。,当W外=0、W非保内=0时：,机械能守恒定律：当外力和非保守内力做功的代数和为零时，系统内的动能和势能可以相互转化，但总的机械能保持不变。,机械能守恒定律是能量转化和守恒定律在机械运动中的表现形式。,习题3-18,质量分别为m1和m2的两块木板用质量可忽略的弹簧相连并置于地上。求对上面的木板必须施以多大的正压力，才能使该力撤去后上面的木板跳至最高点时，下面的木板刚好能被提离地面。,取弹簧自然伸长时m1的位置为弹性势能和重力势能的零点。,上板受压时：,上板跳至最高点时，N=0：,由机械能守恒：,将(1)、(2)、两式代入(3)式并化简得：,解上式得：,讨论：由最后结果看，若交换m1、m2，结果不变。,3-5碰撞：,两个或多个物体在一极短的时间内以相当大的作用力（冲击力）相互作用的过程称为碰撞。碰撞时，除冲击力外，其它相对较弱的力可忽略不计。,所以，以相互碰撞的物体为系统时，系统的总动量守恒。,设两球作对心碰撞（正碰撞）碰撞前后两球速度在同一直线上。,动量守恒：,牛顿碰撞定律：,称为分离速度,称为接近速度,称为恢复系数，由材料决定，可由实验测出。,1、非完全弹性碰撞：,0m1，v2=0，则,如：弹性小球对墙、气体分子对容器壁的碰撞等。,等大球碰撞,小球碰大球,3、完全非弹性碰撞：,由上式或由(3)、(4)、(5)式得：,小球产生的形变完全不能恢复，碰撞后两小球合在一起以同样的速度运动，但系统的动量仍守恒。,在完全非弹性碰撞中，能量（动能）的损失最大。,例题：,粒子A以初速度v0=300m/s与另一静止的同种粒子B发生完全弹性碰撞。碰撞后粒子A以1=30方向被散射，求两个粒子碰撞后的速率v1、v2和第二个粒子运动的方向2。,这是一个二维的非对心完全弹性碰撞，动量和动能均守恒。,动量守恒：,动能守恒：,用冲击摆测子弹的速度：设摆长l，木块质量M，子弹质量m。子弹与木块作完全非弹性碰撞，摆线的最大摆角0，求：子弹击中木块时的速度v0。,例题3-5,子弹与木块间的冲击力很大，以子弹、木块为系统时，动量守恒。设子弹射入木块后两者的共同速度为v，则：,子弹与木块一起运动到摆至最高点的过程中，绳的张力不做功，机械能守恒：,讨论：,物体间作非弹性碰撞时，机械能的损失最大。,设上题中0=60，m=10g，M=1.0kg，l=1.0m。则：,子弹的初动能：,子弹和木块一起运动时的动能：,即有99%的动能因摩擦力做功而耗散掉了！,
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