自然数的序数理论与基数理论.ppt

思考,如何读？有何区别？401室；401吨双重意义：一方面表示“数量”的意义，即回答“多少个”的问题；一方面表示“次序”上的意义，即回答“第几个”的问题。科学上有两种理论：一是基数理论，二是序数理论。基数理论较好的反映了“多少个”的问题；序数理论较好的反映了“第几个”的问题，二者互相弥补。,关于0的争议P13,有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。在数论中，多采用前者；而在集合论中，则多采用后者。我国93年规定自然数集包括0。现行九年义务教育教科书和高中教科书都把非负整数集叫做自然数集,第二节自然数的基数理论与序数理论,2.1自然数的基数理论2.2自然数的序数理论,2.1自然数的基数理论,一、自然数的概念,1、集合的对等,自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就称集合A与B等价，记作AB，且满足以下的性质：,（1）反身性：AA；（2）对称性：AB，则BA；（3）传递性：若AB，BC，那么AC,定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集等价，这样的集合叫无限集；否则叫做有限集,2、集合的基数,即,定义3：有限集的基数叫做自然数,3、冯诺伊曼的自然数体系,定义4：设表示空集，规定集合的基数为0，即,其余的自然数按下列规则构造：,依照上述规则，全体自然数就构造出来：,0，1，2，n，,4、自然数的大小和顺序,定义5：设A、B是两个有限集，C是集合A的真子集，,如果BC，则称,按照这个定义，自然数有下列大小关系，并且可按照序排列,全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示,即,二、自然数的四则运算,定义6：设A、B是两个有限集，并且,则称集合的基数是集合A与B的基数的和，记为,1、自然数的加法,（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a,（证明略）,2、自然数的乘法,定义7设b个等价集合A1，A2，Ab(其中任何两个集合的交集都是空集)的基数都是a，如果A1A2Ab=C，那么集合C的基数c叫做a与b的积，记作ab=c(或ab=c，或ab=c)。a叫做被乘数，b叫做乘数。求积的运算叫做乘法。,注：求自然数a乘以b的积就是求b个相同加数a的和,证明略,定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使,则称c是a除以b的商，记为,定义8：设A、B是两个有限集，并且,集合C是集合A中与B等价的子集，,3、自然数的减法和除法,自然数的减法与除法分别是加乘运算的逆运算,则称集合的基数是与的差，记为,2.2自然数的序数理论,一、自然数的皮亚诺公理,定义10：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本关系叫“后继”（用符号“”表示），并且这个集合以及这个关系满足下面五条公理:,（1）,（2）对任意,（4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继，,（5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足,那么这个集合的元素叫做自然数。,即,二、序数理论下的自然数四则运算,叫做它们的和。,1、加法,这个定义实质上给出了加法的具体步骤。,例1：求3+7,解：按定义11,如此一步一步做下去，直到,（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a,（证明略）,2、自然数的大小,在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）。,也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：,证明从略,除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点；,在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律：,自然数的加法还满足加法消去律：,使成立的自然数c叫做a减b的差,3、减法,记为,定理7：对于任意两个自然数,4、乘法,例2：求,解,跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、,交换律、乘法对加法的分配律。,那么c叫做a被b除得的商，记作,5、除法,三、自然数集的性质,性质8：自然数集是全序集。,这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下比较大小。,性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个自然数a，b，一定存在自然数c，使,性质11：(最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在一个最小数。,三、数学归纳法,设是一个与自然数有关的命题，,定理12：（第一归纳法原理）：,（2）假设命题,对自然数n=k,成立时，,如果：,（1）命题,对n=1时成立；,思考与练习,1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律,2、利用最小数原理证明定理12.,3、用数学归纳法证明：平面上的n条直线至多可以把平面分割成,个互不相通的平面区域,