自动控制原理 第二章.ppt

第二章控制系统的数学模型,主要内容:1.数学模型的概念,建模的原则2.传递函数3.系统的结构图和信号流图,2.1.1什么是数学模型?所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。2.1.2数学模型的特点1)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理3)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析4)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数2.1.3数学模型的类型1)微分方程：时域其它模型的基础直观求解繁琐2)传递函数：复频域微分方程拉氏变换后的结果3)频率特性：频域分析方法不同，各有所长,2-1数学模型的概念,2.1.4数学模型的建立方法1)分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。2)实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。建模原则：选择合适的分析方法确定相应的数学模型简化,2.2.1列写微分方程式的一般步骤1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。2)忽略一些次要因素，合理简化。,2.2系统微分方程的建立,3)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。4)列写中间变量的辅助方程。方程数与变量数相等！5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。6)将方程式化成标准形。与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。,三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv例2-1弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。,解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。,2.2.2机械平移系统举例,（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即,（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得,（6）整理方程得标准形,（4）写中间变量与输出量的关系式,2.2.3电路系统举例例2-2电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为,量纲s(课本上有推导,p28)，静态放大倍数1/K,解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。,（4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:,（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得,（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3）由KVL写原始方程：,i(t),（6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为,2.2.4线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：,式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：（1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2）左端的阶次比右端的高,n=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。,相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。,例2-1,例2-2,令uc=q/C,模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。,直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD，从而使电枢旋转，拖动负载运动。Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与,2.2.5电枢控制的直流电动机,激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式电枢回路方程：,电动机轴上机械运动方程：,J负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD电枢电流产生的电磁转矩;ML合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程Ea=keke电势系数，由电动机结构参数确定。MD=kmiakm转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得,令机电时间常数Tm:,令电磁时间常数Ta:,1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：,2-22一阶系统,2)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略,测速发电机,3)随动系统中，取为输出,4)在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设ML=0,一.复习拉氏变换及其性质1.定义记X(s)=Lx(t)2.进行拉氏变换的条件1)t0，x(t)=0；当t0，x(t)是分段连续；2)当t充分大后满足不等式x(t)Mect，M，c是常数。3.性质和定理1)线性性质Lax1(t)+bx2(t)=aX1(s)+bX2(s),2-4线性系统的传递函数,2)微分定理,若,则,若x1(0)=x2(0)=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，,3)积分定律,X（-1）(0)是x(t)dt在t=0的值。同理,5)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且,4)终值定理若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，limx(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：,存在，则,6)延迟定理Lx(t)1(t)=esX(s)Leatx(t)=X(s+a)7)时标变换,8)卷积定理,4.举例例2-3求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。解：,例2-4求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：,例2-5求正弦函数x(t)=sint的拉氏变换。解：,以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。,例2-6求函数x(t)的拉氏变换。,+,解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(tt0),例2-7求eat的拉氏变换。解:,例2-8求e0.2t的拉氏变换。解：,，求x(0)，x()。解：,例2-9若,二.复习拉氏反变换1.定义由象函数X(s)求原函数x(t),2.求拉氏反变换的方法根据定义，用留数定理计算上式的积分值查表法,部分分式法一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即,通常m0，01，n=1/T，T称为振荡环节的时间常数，为阻尼比，n为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：,传递函数为：,或,5.二阶振荡环节微分方程式为：,单位阶跃响应：,式中，=cos1。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。,1,举例：RLC串连电路，平移系统，直流电机,6.延迟环节微分方程式为：c(t)=r(t)传递函数为：单位阶跃响应：,c(t)=1(t),1,1,无理函数的工程近似：,A,B,2.7.1结构图的定义及基本组成1.结构图的定义定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。,2-7系统的结构图下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。,转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。用G(s)代替相应的元件，好处：补充了方框中各变量之间的定量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影响；因此，它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。,2.结构图的基本组成1）画图的4种基本元素信号传递线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，从方框出来的表示输出。,r(t),R(s),分支点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。,r(t),R(s),r(t),R(s),方框表示对输入信号进行的数学运算。方框中的传递函数是单向的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系。,R(s),R(s)U(s),U(s),C(s)=G(s)R(s),相加点对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，“”号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。,2）结构图的基本作用：(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。(b)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。(c)s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。2.7.2结构图的绘制步骤(1)列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应。(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这,些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。例2-16画出下图所示RC网络的结构图。,解：(1)列写各元件的原始方程式,i,(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式,(3)将这些方框依次连接起来得图。,2.7.3结构图的基本连接形式1.三种基本连接形式(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。,由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s),(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。,由图有C1(s)=G1(s)R(s)C2(s)=G2(s)R(s),R(s),C(s),C(s)=C1(s)C2(s)消去C1(s)和C2(s)，得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。,(3)反馈连接连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。,由图有C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得C(s)=G(s)R(s)H(s)C(s),上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。,定义：G(s)：前向通道传递函数E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数C(s)B(s)H(s)=1单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数E(S)B(s),式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“-”号。,2.闭环系统的常用传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。,（1）控制输入下的闭环传递函数令N(s)=0有,（2）扰动输入下的闭环传递函数令R(s)=0有,（3）两个输入量同时作用于系统的响应,（4）控制输入下的误差传递函数,（5）扰动输入下的误差传递函数,（6）两个输入量同时作用于系统时的误差,3.闭环控制系统的几个特点,闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制较好的抗干扰能力（2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关,2.7.4结构图的等效变换变换的原则：变换前后应保持信号等效。1.分支点后移,R,1/G,R,2.分支点前移,C,G,C,4.比较点前移,3.比较点后移,F,F,5.比较点互换或合并,2.7.5结构图的简化对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。,例2-17用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。,解：方法1,方法2,例2-18用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。,解：,2.8.1信号流图的基本概念1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=a12x1式中，x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。信号传递关系函数运算关系变量因果关系,x1,a12,x2,2-8信号流图及梅逊公式,下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x4把内部变量结构和相互关系描述的一清二楚,a43,a44,x1,a12,x2,x3,x4,x5,a23,a34,a45,a24,a25,a32,2.信号流图的基本元素(1)节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近旁标出所代表的变量。(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。支路具有两个特征：有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。,3.信号流图的几个术语节点及其类别输入节点(源点)只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。,混合节点既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。,输出节点(汇点)只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。,1,x2,通道及其类别通道从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通道如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12a23a34。,闭通道(回环)如果通道的终点就是起点的开通道。如a23a32，a33(自回环)。,前向通道从源节点到汇节点的开通道。不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。4.信号流图的基本性质1）信号流图只能代表线性代数方程组。2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。5）对于给定的系统，信号流图不唯一。,2.8.2信号流图的绘制方法1.直接法例2-19RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。,解：(1)列写原始方程,(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+),(3)整理成因果关系,(4)画出信号流图如图所示。,Ur(s),Uc(s),I(s),uc(0+),ic(0+),2.翻译法例2-20画出下图所示系统的信号流图。,解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。,R(s),E1(s),C(s),E2(s),G2(s),G1(s),-H(s),系统结构图信号流图变量节点输入变量源节点比较点引出点混合节点传输线方框支路输出端汇节点,2.8.3梅逊增益公式1.梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为,式中P总传输(增益)；n从源节点至汇节点前向通道总数；Pk第K条前向通路的传输；信号流图的特征式；k第k条前向通路特征式的余因子式,线性代数方程的克莱姆法则,为所有不同回环的增益之和；,为每两个互不接触回环增益乘积之和；,为每三个互不接触回环增益乘积之和；,为在中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。,解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)bidjfkP1=abcdefgh1=10=1,例2-21求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G。,例2-22已知系统的信号流图如下，求输入x1至输出x2和x3的传输。,解：单回路：ac，abd，gi，ghj，aegh,两两互不接触回路：ac与gi，ghj;abd与gi，ghj1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)x1到x2的传输：P1=2ab1=1(gi+ghj)P2=3gfab2=1,x1到x3的传输：P1=31=1(ac+abd)P2=2ae2=1,例2-23试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。,解：单回路：G1，G2，G3，G1G2两两互不接触回路:G1和G2，G1和G3，G2和G3，G1G2和G3,三个互不接触回路:G1，G2和G3前向通道：P1=G1G2G3K1=1,P2=G2G3K2=1+G1,P3=G3K3=1+G2,P4=G2(1)G3K4=1,梅逊增益公式在结构图上的应用,由于一一对应的关系，可以直接根据结构图，利用梅逊公式直接写出传递函数。例2-19已知结构图如图所示，试用梅逊公式求C(s)/R(s)。,1.相加点处的-记入反馈支路增益中,2.相加点与其输入线上的分支点翻译成相邻的2个节点，增益为1，但代表不同变量,比较点与其输出线代表的是一个节点，但如果比较点前的输入线有分支点，分支点和比较点就必须用两个节点表示！,解：,学习指导与小结,1.基本要求通过本章学习，应该达到1）正确理解数学模型的概念。2）了解动态微分方程建立的一般方法。3）掌握运用拉氏变换法解微分方程的方法，并对解的结构、零输入响应、零状态响应等概念，有清楚的理解。4）正确理解传递函数的定义、性质和意义。5）正确理解系统的开环传递函数、闭环传递函数、前向通道传递函数，并对重要传递函数如：控制输入下闭环传递函数、扰动输入下闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数，能够熟练掌握！,6）掌握系统结构图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化结构图，并能用梅逊公式求系统传递函数。2.内容提要本章介绍了数学模型的建立方法。线性定常系统数学模型的形式，介绍了两种解析式（微分方程和传递函数）和两种图解法（结构图和信号流图），对于每一种形式的基本概念、基本建立方法及运算，用以下提要方式表示出来。,（1）微分方程式,基本方法,直接列写法,原始方程组线性化消中间变量化标准形,转换法,由传递函数微分方程式由结构图传递函数微分方程由信号流图传递函数微分方程,基本概念,物理、化学及专业上的基本定律中间变量的作用简化性与准确性要求,（2）传递函数,基本概念,定义,线性定常系统零初始条件一对确定的输入输出,典型环节,传递函数零极点分布图单位阶跃响应特性,基本方法,定义法由微分方程传递函数,图解法,由结构图化简传递函数由信号流图梅逊公式传递函数,（3）结构图,基本概念,数学模型结构的图形表示可用代数法则进行等效变换结构图基本元素（方框、相加点、分支点、支路）,基本方法,由原始方程组画结构图,用代数法则简化结构图,由梅逊公式直接求传递函数,串联相乘并联相加反馈等效分支点与比较点的移动,O(_)O谢谢！,