群的定义(离散数学).ppt

6.2群的定义,6.2.1半群6.2.2群6.2.3群的性质,6.2.1半群-半群的定义,设G是一个非空集合，若为G上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统（G，）为半群。,6.2.1半群-半群的例,例.设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算，则（S），），（S），）都为半群。例.设Z为整数集，+、-、是数的加法、减法和乘法，则（Z，+）、（Z，）都是半群；（Z，-）不是半群。,半群的例,例.设N为自然数集，规定N上的运算“”如下：ab=a+b+ab，显然，为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a，b，c，有：（ab）c=（a+b+ab）c=（a+b+ab）+c+（a+b+ab）c=a+b+c+ab+bc+ac+abc，a（bc）=a（b+c+bc）=a+（b+c+bc）+a（b+c+bc）=a+b+c+ab+bc+ac+abc，故，（ab）c=a（bc）.因此，（N，）为半群。,设（G，）为半群，如果满足下面条件：(1)有壹（单位元）：G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1a=a1=a;(2)有逆：对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足aa-1=a-1a=1，则称（G，）为群。如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。,6.2.2群-群的定义,6.2.2群-群的例,设Z为整数集，+、是数的加法和乘法，则半群（Z，+）是群，称为整数加法群。因为存在元素0，适合对于Z中任意元素a，都有0+a=a+0=a；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个元素-a，满足a+（-a）=（-a）+a=0。半群（Z，）不是群。因为虽然存在单位元素1，适合对于Z中任意元素a，都有1a=a1=a，但除了1和-1外，其它元素均无逆元素。,设Q为所有有理数组成的集合，R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合，R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非零复数组成的集合，+、是数的加法和乘法，则（Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群；（Q，）、（R，）、（C，）都不是群；（Q*，）、（R*，）、（C*，）都是群。,6.2.2群-群的例,设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算，则半群（S），）不是群，单位元素:S，但除了S，其它元素都不存在逆元素；半群（S），）也不是群，单位元素：，但除了，其它元素都不存在逆元素。,6.2.2群-群的例,设N为自然数集，规定N上的运算“”如下：ab=a+b+ab。已证：（N，）为半群。但（N，）不是群。反证：若不然，（N，）是群，则一定有单位元素，设为e，则对N中任意元素a，都有ea=a，即e+a+ea=a，因此，e=0，但0N，矛盾。因此，（N，）无单位元素，故不是群。,6.2.2群-群的例,例.设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则（A，*）是群。例.设S=0，1，2，m-1，规定S上的运算如下：ab=其中a，b是S中任意元素，+、-为数的加与减。则（S，）是群，称为模m的整数加法群。,6.2.2群-群的例,设S=a,b，使用乘法表定义S上的运算如下：abaabbba问（S,）是否为群。,6.2.2群-群的例,G=1,-1关于普通乘法运算是否构成一个群？G=1,-1,i,-i关于普通乘法运算是否构成一个群？其中i=(-1)1/2.,理解群的定义例.单位元是群中唯一的等幂元。,证明：设(G,*)是群，其单位元是1，显然，1是等幂元。设x是G中的等幂元，即x*x=x，则：x=1*x=（x-1*x）*x=x-1*（x*x）x-1*x=1（或由x*x=x，得x-1*x*x=x-1*x，即x=1）,理解群的定义例.群中不可能有零元。,证明：设(G,*)是群，其单位元是1，当G=1，它的唯一元素视为单位元。当G1，用反证法。假设（G，*）有零元，则对xG，都有x*=*x=1，即不存在xG，使得x*=*x=1，亦即，无逆元，这与G是群矛盾。,理解群的定义例.群中消去律一定成立。,证明：设(G,*)是群，其单位元是1，对于G中任意三个元素a，b，c，（1）若a*b=a*c，则a-1*(a*b)=a-1*(a*c)，即(a-1*a)*b=(a-1*a)*c，亦即1*b=1*c，故b=c。（2）同理可证：若b*a=c*a，则b=c,理解群的定义,例.元数为1的群仅有1个元数为2的群仅有1个,定理6.2.1群的单位元素是唯一的,任意元素的逆也是唯一的。即,设（G，）是一个群，则G中恰有一个元素1适合1a=a1=a,而且对于任意a恰有一个元素a-1适合aa-1=a-1a=1。,6.2.3群的性质-（1）,证明：若1和1都是单位元素，则1=11=1，故1=1。若b和c都有a-1的性质，则b=b1=b(ac)=(ba)c=1c=c，故b=c。,结论,（a-1）-1=a因为aa-1=a-1a=1(ab)-1=b-1a-1因为abb-1a-1=1b-1a-1ab=11-1=1因为11=1,定理6.2.2群定义中的条件（1）和（2）可以减弱如下：(1)有左壹：G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1a=a;(2)有左逆：对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足a-1a=1。,6.2.3群的性质-（2）,证明：只需证明a1=a和aa-1=1。,证法一先证aa-1=1。因为（a-1a）a-1=1a-1=a-1，故（a-1a）a-1=a-1。由(2)，a-1也应该有一个左逆适合ba-1=1。于是，一方面有：b（a-1a）a-1）)=ba-1=l，另一方面有：b（a-1a）a-1）=（ba-1）（aa-1）=1（aa-1）=aa-1，因此，aa-1=1。,再证a1=a。a1=a（a-1a）=（aa-1）a=1a=a。证毕。把（1），（2）中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。但是只满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左逆也未必成群。,证法二往证a1=a.由（1）知有11=1，由（2）知a-1a=1，用其部分代替上式中的1，得到（a-1a）1=a-1a，由（2）知a-1有左逆,令其为b，并用b左乘上式两端得到b（a-1a）1=b(a-1a),即（ba-1）（a1）=（ba-1）a，亦即1（a1）=1a由（1）a1=a。往证aa-1=1.同证法一。,证法三往证a1=a.同证法二。往证aa-1=1.由（2）知a-1有左逆，令其为b，于是ba-1=1，用a右乘等式两端得到(ba-1）a=1a，即b（a-1a）=1a，亦即b=a，故aa-1=1。证毕,定理6.2.3群定义中的条件（1）和（2）等于下列可除条件：对于任意a，b，有使a=b，又有y使ay=b。,6.2.3群的性质-（3）,证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因为，取=ba-1，y=a-1b，即得a=b，ay=b，故，由（1）和（2）可以推出可除条件成立。,证明,再证明由可除条件也可以推(1),(2)，因而可以推出（1），（2）。取任意cG，命1为适合c=c的，则1c=c。今对于任意a，有y使cy=a，故1a=1（cy）=（1c）y=cy=a，即(1)成立。令a-1为适合a=1的，则a-1a=1，故(2)成立。,定理6.2.4设G是一个群，在一个乘积a1an中可以任意加括号而求其值。,6.2.3群的性质-（4）,证明：要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积（a1a2）a3）an-1）an（1）用数学归纳法证明。n=1，2，3，命题显然。假定对少于n个因子的乘积（1）式成立，以下证对n个因子的乘积（1）式也成立。,设A为由a1an任意加括号而得到的乘积，往证A等于（1）式。设在A中最后一次计算是前后两部分B与C相乘：A=（B）（C）由归纳假设，C等于按次序自左而右加括号所得的乘积（D）an。由结合律，A=(B)(C)=(B)(D)an)=(B)(D)an。,证明,（B）（D）的因子个数小于n，再由归纳假设，(B)(D)等于按次序由左而右加括号所得的乘积：(B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1因而A=(B)(D)an=(a1a2)a3)an-2)an-1)an即A等于（1）式。,证明,6.2.3群的性质-（5）,n个a连乘所得的积称为a的n次方，记为an。规定:a0=1，a-n=（an）-1。对于任意整数m，n，下面定律成立第一指数律：aman=am+n，第二指数律：（am）n=amn但一般群中第三指数律(ab)n=anbn不成立。,Abel群若群（G，）的运算适合交换律，则称（G，）为Abel群或交换群。例.(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)都是无限Abel群。例.(Q*，),(R*，),(C*，)都是无限Abel群。例.实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合在矩阵的乘法下不是Abel群。例.元数为1、元数为2的群都是有限Abel群。,Abel群,天才的挪威数学家Abel,例.设(G,)是一个群，则(G,)是Abel群的充要条件是对a,bG,有(ab)2=a2b2证明：必要性。若(G，)是Abel群，即对a，bG，b=ba。故，(ab)2=(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2充分性。对a,bG,由(ab)2=a2b2，得a-1(ab)(ab)b-1=a-1(aa)(bb)b-1故，ba=ab，因此，(G，)是Abel群。,定理6.2.5在一个Abel群（G，）中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。证明：考虑一个乘积a1an。设是1，n上的一个一对一变换，欲证a（1）a（n）=a1an对n用数学归纳法，n=1时定理显然成立。假定n-1时定理已真，证明n时定理亦真。,6.2.3群的性质（6:Abel群中的性质）,设将a1an中各因子任意颠倒次序而得一式P=a（1）a（n）因子an必在P中某处出现，因而P可以写成P=（P）an（P）P或P中可能没有元素，但照样适用以下的论证，由交换律，P=P（anP）=P（Pan）=（PP）an，,现在PP中只有n-1个元素a1，an-1，只不过次序有颠倒，故由归纳法假定，PP=a1an-1。因此，P=（PP）an=a1an-1an，从而归纳法完成，定理得证。,在Abel群中，第三指数律成立：(ab)m=ambm，m为任意整数。,6.2.3群的性质（6:Abel群中的性质）,加法群:(G,+)永远假定加法群是一个Abel群乘法群加法群10：a+0=aa-1-a：a+（-a）=0anna加法群中三个指数定律：(m+n)a=ma+na,m(na)=(mn)a,m(a+b)=ma+mb思考：乘法群中ab-1在Abel群中写作？,6.2.3群的性质（6:Abel群中的性质）,