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.2018 年普通高等学校招生全国统一考试(卷)理科数学本试题卷共 6 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1、本试卷分为第卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 3 页，第 II卷 3 至 5 页.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3、全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4、考试结束后，将本试题和答题卡一并上交。第卷1、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 ，则21izzA. B. C. D. 0122. 已知集合 ，则20AxRCAA. B. 1xxC. D.2|x 2|1|xx3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：.则下列结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4. 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则nSna324S1a5A. B. C. D. 1210105. 设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的32fxxfxyfx0,切线方程为A. B. C. D. 2yxyx2yxyx6. 在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则ABCDEADEBA. B. C. D.413CAB431C41AC4317.某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点MN为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为BMA. B. C. 3 D. 2172528.设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 两点，xyC4:F0,3CNM,则 FNMA. 5 B.6 C. 7 D. 8.9.已知函数 ， .若 存在 个零点，则 的取值,0ln,xefgxfxag2a范围是A. B. C. D.1,00,1,10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 .ABCACB,的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为ABC，在整个图形中随机取一点，此点取自,的概率分别记为，则321,pA. B. C. D. 31p32p321p11.已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条:2yxCOFCFC渐近线的交点分别为 .若 为直角三角形，则NM,MNA. B. 3 C. D. 423 3212. 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在的直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 43324223第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答.2、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_.xy201xy32zxy14.记 为数列 的前 项和，若 ，则 _.nSna2nSa6S15.从 位女生， 位男生中选 人参加科技比赛，且至少有 位女生入选，则不同的选法共2431有_种。 （用数字填写答案）16.已知函数 ，则 的最小值是_.2sinfxxf三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17 ） （本小题满分 12 分）在平面四边形 中， ， ， ， .ABCD9045A2B5D（1）求 ；cos（ 2） 若 ， 求 .2（18 ） （本小题满分 12 分）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把ABCD,EF,ADBCF折起，使点 到达点 的位置，且DFP.P（1）证明：平面 平面 ；EFABD（2）求 与平面 所成角的正弦值.D（19 ） （本小题满分 12 分）.设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标2:1xCyFlC,ABM为 .,0（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；lxAM（2）设 为坐标原点，证明： .OOB（20 ） （本小题满分 12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，)10(p且各件产品是否为不合格品相互独立。（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点)(pff0（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的p值。已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用。（i） 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求X;EX（ii）以检验费用与赔偿费用的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？.（21 ） （本小题满分 12 分）已知函数 .1lnfxax（1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，证明： .fx12,x12fxfa请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答, 如果多做,则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程-在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴xOy1C2ykxx建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .22cos30（1） 求 的直角坐标方程；2（2） 若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程.1C1C（23） （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲-已知 .1fxax（1） 当 时，求不等式 的解集；1f（2） 若 时不等式 成立，求 的取值范围.0,xxa.参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B D A B D C A B A13.6 14. 15.16 16.63217.（ 12 分）解：（1）在 中，由正弦定理得 .ABD siniBADB由题设知， ，所以 .52sin4i 25由题设知， ，所以 .90AB3cos1A（2 ）由题设及（1）知， .2in5DCB在 中，由余弦定理得BCD 22cosB585.25所以 .BC18.（ 12 分）解：（1）由已知可得，BFPF，BF EF ，所以 BF平面 PEF.又 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.F（2 ）作 PHEF，垂足为 H.由（1 ）得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直|BF角坐标系 Hxyz.由（1）可得，DEPE.又 DP=2，DE =1，所以 PE= .又 PF=1，EF=2，故 PEPF .3可得 .3,2PHE则 为平面 ABFD33(0,)(,),(1,0)(1,),22DP3(0,)2HP的法向量.设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 .34sin|DP所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .3419.（ 12 分）解：（1）由已知得 ， l 的方程为 x=1.(1,0)F由已知可得，点 A 的坐标为 或 .2,(1,).所以 AM 的方程为 或 .2yx2yx（2 ）当 l 与 x 轴重合时， .0OMAB当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 .OMAB当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ，(1)0ykx，12(,)(,)AyB则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 .12,x 21MABxyk由 得12,ykxyk.1212(3)4MABxxkk将 代入 得(1)ykx2y.22(1)40kxk所以， .12124,x则 .31 3122241843() 0kkk 从而 ，故 MA， MB 的倾斜角互补，所以 .0MABOMAB综上， .O20.（ 12 分）解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 .因此2180()C()fpp.218172170 0()C()()fppp令 ，得 .当 时， ；当 时， .0,.()f(,)()0f所以 的最大值点为 .()f 1（2 ）由（1 ）知， .p.（i）令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 ，Y (180,.)YB:，即 .205X4025XY所以 .(4)9EE（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于 ，故应该对余下的产品作检验.0X21.（ 12 分）解: （ 1） 的定义域为 ， .()fx(0,)2211(axfx（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在2a)fa()0f()fx单调递减.(0,)（ii）若 ，令 得， 或 .2a()0fx24a24ax当 时， ；24(0,)(,)xU()0f当 时， .所以 在22(,)aa()fx()fx单调递减，在 单调递增.2244(0,),(,)224(,)aa（2 ）由（1 ）知， 存在两个极值点当且仅当 .fx由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则()fx12,10xa12x12x.由于2，121212212()lnlnln1fxf xxxaaax 所以 等价于 .12()ffx22ln0x设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从()lngx()g,)(1)0g.而当 时， .(1,)x()0gx所以 ，即 .22ln12()ffxa22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】 （1）由 ， 得 的直角坐标方程为 cosxsiny2C2(1)4xy（2 ）由（1 ）知 是圆心为 ，半径为 的圆2C(1,0)A由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 ，1,Byy1l轴左边的射线为 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于y2l2C12C与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有1l2Cl 1l2C两个公共点 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故1l2A1l22|1k或 43k0经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点，1l2C43k1l2C与 有两个公共点2lC当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故2l A2l22|1k或 0k43经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点1l2C43k2lC综上，所求 的方程为 14|3yx23 选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】 （1）当 时， ，即a()|1|fxx2,1,(),.xf.故不等式 的解集为 ()1fx1|2x（2 ）当 时 成立等价于当 时 成立0,|a(0,1)x|1ax若 ，则当 时 ；a(,)x|1|x若 ， 的解集为 ，所以 ，故 0|1|20a102a综上， 的取值范围为 a(,
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