线性系统的可控性与可观测性.ppt

第二章线性系统的可控性与可观测性,可控性可观测性线性定常连续系统的可控性判据输出可控性线性定常连续系统的可观测性判据线性离散系统的可控性和可观测性可控性、可观测性与传递函数(矩阵)的关系(*)线性时变系统的可控性和可观测性（*）,经典控制理论中用传递函数描述系统输入输出特性，输出量即为被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可观测得，故不需提出可控及可观测概念。,现代控制理论用状态空间表达式来描述系统，揭示系统内部的变化规律，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在系统内部的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。可控性：分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力。可观测性：分析输出y(t)对状态x(t)的反映能力。,可控性、可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出的，是用状态空间描述系统而引伸出来的新概念。可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且在许多最优控制、最优估计和自适应控制问题中，也常用到这一概念。,引言,可控性、可观测性的物理概念,例已知某个系统的动态方程如下,将其分别表示为标量方程组和模拟结构图形式，有,由此可见，状态变量x1、x2都通过选择控制量u由始点达到原点，因而系统完全可控的。但输出y只能反映状态变量x2，而与x1既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。,例右图所示桥式电路，选取电感电流iL和电容端电压uC作为状态变量，u为网络输入，输出量y=uc。,系统中只要有一个状态不可控或不可观测，便称该系统不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观。,当电桥处于非平衡状态，即R1R4R2R3时，u将控制两个状态变量的变化，且可通过选择u，使任意初态转移到任意终态，因而是可控的。由于量测到输出量即uc，且uc与iL有确定关系，即uc含有iL的信息，因而是可观测的。,图电桥电路,当电桥处于平衡状态，即R1R4R2R3时，u只能控制iL的变化，不能控制uc的变化，这时uc0，从而也不能由输出测量结果确定iL，因而uc不可控，iL不可观测。,例下图所示两个网络，,当R1R2，C1C2时，且初始状态x1(t0)=x2(t0)，u只能使x1(t)x2(t)，而不能将x1(t)与x2(t)分别转移到不同的数值，这表明此电路不完全可控，简称称为电路不可控。,由于y=x1=x2，故可观测。,网络（a）,网络（b）,2.1可控性,考虑线性时变系统的状态方程,其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；Tt为时间定义区间；A（t）和B（t）分别为nn和np矩阵。现对状态可控和不可控分别定义如下：,状态可控对于式(2100)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻t0Tt的一个非零初始状态x（t0）x0，存在一个时刻t1Tt，t1t0，和一个无约束的容许控制u(t)，tTt0,t1，使状态由x（t0）x0转移到t1时的x（t1）0，则称x0是在t0时刻可控的,系统可控对于式(2100)所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0Tt)时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的,简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统一致可控。,系统不完全可控对于式(2100)所示线性时变系统，取定初始时刻t0Tt，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统不可控。,补充说明（对u(t)的限制）,此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻t0的选取有关，是相对于Tt中的一个取定时刻t0来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻t0的选取无关。,状态可达与系统可达,对于式(2100)所示线性时变系统，若存在能将状态x（t0）0转移到x（tf）xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻状态完全可达的，简称该系统是t0时刻可达的。,注：线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的；离散系统、时变系统，严格地说两者是不等价的，有可能系统不完全可控却完全可达。,2.2可观测性,可观测性是表征状态可有输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统状态方程和输出方程,其中A（t），B（t），C（t）和D（t）分别为（nn），（np），（qn）和（qp）的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。式（2101a）状态方程的解为,其中(t,t0)为系统的状态转移矩阵。将式(2102)代入式(2-101b)输出方程，可得输出响应为,在研究可观测性问题时，输出y和输入u均假定为已知，只有初始状态x0是未知的。因此，若定义,则式（2103）可写为,的可观测性。式（2103）成为,下面基于式（2105）给出系统可观测性的有关定义。,系统完全可观测,系统不可观测,2.3线性定常连续系统的可控性判据,1格拉姆矩阵判据,其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为（nn）和(np)常阵。下面根据A和B给出系统可控性的常用判据。,线性定常连续系统的状态方程,线性定常连续系统式（2107）完全可控的充要条件是，存在时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：,非奇异。,证明充分性：已知w（0，t1）为非奇异，欲证系统完全可控。,已知w非奇异，故w1存在。对于任一非零初始状态x0可选取u(t)为,则在u（t）作用下系统（2107）在t1时刻的解为,必要性:已知系统完全可控，欲证W（0，t1）为非奇异。,这表明，对任一取定的初始状态x00，都存在有限时刻t10和控制u（t），使状态由x0转移到t1时刻的状态x（t1）0，于是根据定义可知系统完全可控。充分性得证。,采用反证法。设W（0，t1）为奇异，则存在某个非零向量,成立，由此可导出,由此又可导出,其中|为范数，故其必为正值。于是，欲使式（2111）成立，应当有,另一方面，因系统完全可控，根据定义对此非零向量,再利用式（2112），由式（2115）可以得到,可以看出，在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数eAt，在A的维数n较大时计算eAt是困难的。所以格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵A和B判断可控性的秩判据。由于在推导秩判据时要用到凯莱哈密顿定理，所以下面先介绍凯莱哈密顿定理，然后再给出秩判据。,2凯莱-哈密顿定理,设n阶矩阵A的特征多项式为,则A满足其特征方程，即,式（2-118）称为凯特-哈密顿定理。,证明据逆矩阵定义有,式中B()为(I-A)的伴随矩阵，其一般展开式为,B()的元素均为(n+1)阶多项式，根据矩阵加法规则将其分解为n个矩阵之和，即,Bn-1,Bn-2,B0为n阶矩阵。将式(2-119)的两端右乘(I-A),将式（2120）代入式（2121）并展开，有,由方程两端同幂项系数相等的条件有,将式（2123）的前n个等式两端按顺序右乘An,An-1,A,将式（2124）中各式相加，则,证毕。,证明,故上述推论成立。式中m与A阵的元素有关。该推论可用以简化矩阵的幂的计算。,推论1矩阵A的k（kn）次幂，可表示为A的（n-1）阶多项式,这是由于,令,推论2矩阵指数eAt可表为A的（n-1）阶多项式,则有,故推论2成立。式（2126）中的0(t),1(t),n-1(t)均为t的幂函数。,同理,式中,3秩判据,线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件,证明充分性：已知rankSn，欲证系统完全可控。,采用反证法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知,为奇异，这意味着存在某个非零n维向量使,成立。显然，由此可导出,将式（2129）求导直至n1次，再在所得结果中令t0，得到,式（2130）又可表示为,由于0，所以式（2131）意味着S为行线性相关，即rankSn,这显然和已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。,必要性：已知系统完全可控，欲证rankS=n.,采用反证法。反设rankS0有,或,因而有,由于已知0，若式（9135）成立，则W（0，t1）必为奇异，系统为不完全可控，与已知结果相矛盾。于是有rankS=n,必要性得证。秩判据证毕。,例217,试用可控性判据判断图226所示桥式电路的可控性。,解该桥式电路的微分方程为,选取状态变量：x1=iL,x2=uc。将i1，i2，i3，i4消去，可得状态方程,列出其可控性矩阵S3：,图226,这时状态方程变为,系统不可控，u不能控制x2，x2是不可控状态变量。,例218,网络如图227所示，试用可控性判据判断其可控性。,解图227所示网络的微分方程为,消去i1i4，得状态方程为,图227,例219,试用可控性判据判断图225所示网络的可控性,解图225所示网络的微分方程为,状态方程为,例220,解n2，A的特征多项式为,据凯莱哈密顿定理，有,例221,判断下列状态方程的可控性,解系统的可控性矩阵,显见S矩阵的第二、第三行元素绝对值相同，rankS=23,系统不可控。,4PBH秩判据,线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件是，对矩阵A的所有特征值i(i=1,2,3,n),均成立，或等价地表示为,证明必要性：已知系统完全可控，欲证式（2136）成立。,成立。考虑到问题的一般性，由式（2138）可导出,即(sI-A)和B是左互质的。,由于这一判据由波波夫和贝尔维奇(Belevitch)首先提出并由豪塔斯(Hautus)最先指出其广泛应用性，故称为PBH秩判据。,进而可得,于是有,因已知0，所以欲使式（2140）成立，必有,这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，而式(2-136)成立。考虑到sI-AB为多项式矩阵，且对复数域C上除i(i=1,2,3,n)以外的所有s均有det(sI-A)0，所以式（2136）等价于式（2137）。必要性得证。,充分性：已知式（2136）成立，欲证系统完全可控。,采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，PBH秩判据证毕。,例222,已知线性定常系统的状态方程为,试判断系统的可控性。,解根据状态方程可写出,考虑到A的特征值为,所以只需对它们来检验,上述矩阵的秩。通过计算可知，,计算结果表明，充分必要条件（2136）成立，故系统完全可控。,5PBH特征向量判据,线性定常连续系统（2107）完全可控的充分必要条件是，A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值i，使同时满足,证明必要性：已知系统完全可控，设存在一个向量0，使式（2-141）成立，则有,从而得到,这意味着rankSl，和对应的控制u(k)，使得x(m)=0，则称系统在时刻l为完全可控。对应地，如果对初始时刻lTk,和初始状态x(l)=0,存在时刻lTk,ml和相应的控制u(k)，使x(m)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻l为完全可达。,如果离散时间系统（2173）或（2174）是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的。,证明略。,时变或定常离散系统的可控性和可达性等价的条件：,线性离散时间系统（2173）的可控性和可达性为等价的充要条件是，系统矩阵G(k)对所有kl,m-1为非奇异；,线性定常离散系统的可控性判据,设单输入线性定常离散系统的状态方程为,其中，x为n维状态向量；u为标量输入。状态方程（2175）的解为,根据可控性定义，假定k=n时x(n)=0，则,将上式两端左乘G-n，则有,称为可控性矩阵，该阵为（）矩阵。,由于满秩矩阵与另一满秩矩阵Gn相乘，其秩不变，故,交换矩阵的列，且记为S1，其秩也不变，故有,由于式(2-182)避免了矩阵求逆，在判断可控性时，使用式(2-182)较方便。,记,式(2-179)至式(2-182)都称为可控性判据，S1，S1都称为单输入离散系统的可控性矩阵。显见，状态可控性取决于G和h。,当rankS1n时，系统不可控，表示不存在能使任意x(0)转移到x(n)的控制。,以上研究假定了终态为x(n)=0，若令终态为任意给定状态x(n)，则式(2-176)变为,将式（2183）两端左乘G-n，有,当G满秩时，该式左端不过是任一给定的另一状态，其状态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。,若令x(0)=0，上述结论同样成立。可见，当G为非奇异时，系统的可控性和可达性是等价的。,令k=n，x(n)=0，且方程两端左乘G-n,有,记,为(nnp)矩阵，由子列向量u(0),u(1),u(n-1)构成的控制列向量是np维的。式（2187）含n个方程，但有np个待求的控制量。由于初态x(0)可任意给定，根据解存在定理，矩阵S2的秩为n时，方程组才有解。于是多输入线性定常离散系统状态可控的充要条件是,或,或,或,或,式(2-189)至式(2-193)都是多输入离散系统的可控性判据。通常使用式(2-191)或式(2-192)较为方便。,由于式（2-187）中方程个数少于未知量的个数，方程组的解不唯一，可以任意假定（np-n）个控制量，其余n个控制量才能唯一确定。多输入系统控制序列的选择，通常是具有无穷多种方式的。,还可看出，S2的行数总少于列数。在列写S2时，若能知道S2的秩为n，便不必把S2的其余的列都写出来。由于S2满秩时其S2T必满秩，n阶方阵detS2S2T也必满秩，这时计算一次n阶行列式detS2S2T便可确定可控性了，这比可能需要多次计算S2的n阶行列式要简单一些。,多输入线性定常离散系统使任意初态转移到原点一般可少于n个采样周期。,例229设单输入线性定常离散系统状态方程为,设单输入线性定常离散系统状态方程为,试判断可控性；若初始状态x(0)=210T确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究使x(2)=0的可能性。,解由题意知,故该系统可控。,可按式（2177）求出u(0),u(1),u(2)。求逆运算比较麻烦，尝试用递推法。令k0，1，2可得状态序列,令x(3)=0，得下列方程组,其系数矩阵即可控性矩阵S1，是非奇异的，因此,若要使x(2)=0，即解下列方程组,上式中，系数矩阵的秩为2，但增广矩阵,的秩为3，两个秩不等，方程组无解，意味着不能在二个采样周期内使系统从定初始状态转移至原点。若该两个秩相等，则可用两步完成转移。,例230双输入线性定常离散系统的状态方程如下，试判断其可控性，并研究使x(1)=0的可能性。,解,显见由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，一定能求得控制使任意初态在三步内转移到原点。由x(1)=Gx(0)+Hu(0)=0可得,设初始状态为x(0)=-102T,可求得u1(0)=1，u2(0)=0，在一步之内使系统由该初态转移到原点。设初始状态为x(0)=2-3T时，亦然，但u1(0)=0，u2(0)=1。本例不能使系统由任意初态在一步内转移到原点。,2线性离散系统的可观测性,且可由l,m上的输出y(k)唯一确定x0。则称系统在时刻l,是完全可观测的。,线性定常离散系统的可观测性判据,设线性定常离散系统的动态方程为,其中x(k)为n维状态向量，y(k)为q维输出向量，其解为,设离散系统为,研究可观测性问题时，u(k),G,H,C,D均为已知，故可不失一般性地将动态方程简化为,对应的解为,将y（k）写成展开式,其向量矩阵形式为,令,称V1T为线性定常离散系统可观测矩阵，它是(nqn)矩阵。式(2-201)含有nq个方程，若其中有n个独立方程，便可确定唯一的一组x1(0),x2(0),xn(0)。当独立方程个数多于n时，解会出现矛盾；当独立方程个数少于n时，便有无穷解。故可观测的充要条件为：,由于rankV1T=V1，故离散系统可观测性判据常表示为,例231判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。其中输出矩阵取了两种情况。,解当输出矩阵为C1时，计算可观测性矩阵V1,故系统可观测。由输出方程y(k)C1x(k)=x2(k)可见，在第k步便可由输出确定状态变量x2(k)。由于,故在第（k1）步便可确定x3(k)。由于,故在第（k2）步便可确定x1（k）。,该系统为三阶系统，可观测意味着至多以三步便能由y(k),y(k+1),y(k+2)的输出测量值来确定三个状态变量。当输出矩阵为C2时,故系统不可观测。由系统动态方程可导出,可看出三步的输出测量值中始终不含x2（k），故x2（k）是不可观测状态变量。只要有一个状态变量不可观测，称系统不完全可观测，简称不可观测。,一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性。现举例来说明。设连续系统状态方程为,由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观测性判据有,故系统可观测。,系统的状态转移矩阵为,3连续动态方程离散化后的可控性和可观测性,已知G(T)=(T),系统离散化状态方程为,离散化系统的可控性矩阵为,离散化系统的可观测性矩阵为,当采样周期T=k/(k=1,2,)时，可控性矩阵S1和可观测性矩阵V1均出现零行，rankS1=1n，rankV1=1n，系统不可控也不可观测。结论：对于可控或可观测的连续系统，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期T如何选择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的。,2.7可控性、可观测性与传递函数（矩阵）的关系,可控性、可观测性与传递函数都是系统特性的描述，但系统的可控性、可观测性质不同时，其对应的传递函数（矩阵）将具有的怎样的特点，给定了传递函数时又怎样确定系统的可控、可观测性质，需要揭示其间的关系。以下研究结果将提供一种新的可控性、可观测性判据，并指明传递函数描述的局限性。,1SISO系统,系统动态方程,A阵具有相异特征值1,2,n时，通过线性变换可使A对角化为,利用A阵对角化的可控、可观测性判据可知：当ri=0时，xi不可控；当fi=0时，xi不可观测。,传递函数G(s)所具有的相应特点,由于,故,式(2222)中C(sIA)-1乃是初始状态至输出向量之间的传递矩阵，这可由下列动态方程经过拉氏变换来导出。,这里假定u0，对于可观测性问题的研究，这是不失一般性的。于是有,当f1=0时，x1不可观测，则C(sIA)-1矩阵也一定出现零、极点对消现象。比如，,当ri=0及fi=0时，系统不可控、不可观测；当ri0及fi0时，系统可控、可观测。,A阵约当化的情况,对于A阵约当化的情况，经类似推导可得出相同结论，与特征值是否分布在一个约当块内无关。SISO系统可控、可观测的充要条件是由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。系统可控的充要条件是(sIA)-1b不存在零极点对消，系统可观测的充要条件是C(sIA)-1不存在零极点对消。,以上判据不适用于MIMO、MISO、SIMO系统。,传递函数描述与状态空间描述,由不可约传递函数列出的动态方程必是可控、可观测的，不能反映系统中不可控、不可观测的特性。由动态方程导出可约传递函数时，表明系统或是可控不可观测，或是可观测不可控，或是不可控不可观测，三者必居其一。由可约传递函数列写动态方程时，也有上述类型。,传递函数可约时，传递函数分母阶次将低于特征方程的阶次。若对消的是系统的一个不稳定特征值，便可能掩盖了系统固有的不稳定性而误认为系统稳定。通常说用传递函数描述系统特性不完全，就是指它可能掩盖系统的不可控性、不可观测性及不稳定性。只有当系统是可控又可观测的条件下，传递函数描述与状态空间描述才是等价的。,例236已知下列动态方程，试研究其可控性、可观测性与传递函数的关系,解三个系统的传递函数均为,显见存在零极点对消,A、b为可控标准形，故可控不可观测。,A、c为可观测标准形，故可观测不可控。,由A阵对角化时的可控可观测判据可知，系统不可控、不可观测。,例237设二阶系统结构如图所示，试用状态空间及传递函数描述判断系统的可控性与可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。,解由结构图列写系统微分方程,整理成向量矩阵形式,由状态可控性矩阵S3及可观测性矩阵V2有,由传递矩阵,2MIMO系统,多输入多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不可控或不可观测的，需要利用传递矩阵中的行或列的线性相关性来判断。,传递矩阵G(s)的元素是s的多项式，设G(s)以下面列向量组来表示,多输入多输出系统可控性判据,定理多输入系统可控的的充要条件是：(sIA)-1B的n行线性无关,证明已知(sIA)-1B是输入向量至状态向量间的传递矩阵，由于,考虑B是常数矩阵，于是有,将左端展开,式中Ip为p阶单位矩阵，是为写成矩阵形式而引入的。其中,是（npp）矩阵，其中的行与列均线性无关。当（nnp）可控性矩阵BABAn-1B的n行线性无关时，其eAtB及其LeAtB必行线性无关，故多输入系统可控性的充要条件是：,(sI-A)-1B的n行线性无关。,多输入多输出系统可观测性判据,定理多输出系统可观测的充要条件是：C(sIA)-1的n列线性无关。,证明已知C(sIA)-1是初始状态向量至输出向量间的传递矩阵，考虑C是常数矩阵，于是有,将左端展开,式中Iq为q阶单位矩阵，是为写成矩阵形式而引入的。其中,是（qnq）矩阵，其中的行与列均线性无关。当（nqn）可观测性矩阵的n列线性无关时，其CeAt及其LCeAt必列线性无关，故多输出系统可观测的充要条件是：,C(sI-A)-1的n列线性无关,总结,运用以上判据判断多输入多输出系统的可控性、可观测性时，只需查对应传递矩阵的行或列的线性无关性，至于对应传递矩阵中是否出现零极点对消是无妨的。,以上判据可适用于单输入单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消；线性相关时必存在零极点对消。也就是说，它们是一致的，但行（列）线性相关性的判据更具一般性。,从证明过程可以看出，还可以用eAtB的n行线性无关性来判断系统的可控性，用CeAt的n列线性无关来判断系统的可观测性。,例238,试用传递矩阵判据判断下列双输入双输出系统的可控性、可观测性。,解,故,若存在不全为零的实常数a1，a2，a3能使下列向量方程,成立，则称三个行向量线性相关；,若只有当a1=a2=a3=0时上式才成立，则称行向量线性无关。运算时可先令上式成立，可分别列出,解得,据同幂项系数对应相等的条件有,故只有a1=a2=a3=0时才能满足上述向量方程，于是可断定(sI-A)-1B的三行线性无关，系统可控。,由,令,可分别列出,解得,故C(sI-A)-1的三列线性无关，系统可观测。显见，这时与传递矩阵出现零极点对消无关。,例239试用传递矩阵判据判断下列SISO系统的可控性、可观测性,解,故,令,分别得出,解得a2=a3=0，a1可为任意值。于是能求得不全为零的(a1,a2,a3)使上述方程满足，故(sI-A)-1b的三行线性相关，系统不可控。,对于SISO系统，(sI-A)-1b存在零极点对消，同样可得不可控的结论。由于,令,可分别为,解得,可见存在不全为零的(a1,a2,a3)满足上述代数方程，故C(sI-A)-1的三列线性相关，系统不可观测。,2.8线性时变系统的可控性、可观测性,前言,时变系统动态方程中的A(t)、B(t)、C(t)的元素含有时间函数，这时，定常系统中按常数矩阵A、B、C构成的可控性、可观测性判据不再适用。,1格兰姆(Gramian)矩阵及其在时变系统中的应用,设（mn）矩阵F，记为列向量组有,其转置矩阵,则格兰姆矩阵G定义为,式中元素(fi,fj)=fiTfj,i,j=1,2,n。格兰姆行列式记为detG或|G|。,利用FTF或|FTF|可表示出F的列向量是否相关的条件。,研究时变系统时，首先遇到的问题是，如何定义时变列（行）向量的线性无关。,F的列向量相关性,利用FTF或|FTF|可表出F的列向量是否相关的条件。,时变列向量的线性无关性,2时变系统的可控性,证明先证充分性。即,非奇异时必可控。由于,非奇异，,必有,，如下控制,确能在,区间将初态,转移至终态,。这是由于时变,系统状态方程得解为,令,，且将u（t）代入，并利用,，于是,因而系统是可控的，充分性得证,再证必要性。即可控系统的,必非奇异。用反证法，即系统可控，,而,却是奇异的，试看能否导出矛盾结果。由于,奇异，于是,的行向量在,区间线性相关，必存在非零行向量a使,在,区间成立。若将,时状态方程解,左乘,，且选择一个特殊初态,，有,左乘a可得,考虑,及式（2236），应存在,，这意味着a为零向量，,但这与前面a为非零向量的假设是相矛盾的。于是命题得证,定常系统可控性与时变系统可控性的关系,由式（2234）所示的格兰姆矩阵可导出定常系统可控性判据。这时,A、B都是常数矩阵，状态转移矩阵与,无关。因而可假设,。这时,式中,两端右乘B有,非奇异即是,或,的行线性无关，也就是,的行线性无关。,可见定常系统可控性是时变系统可控性的特例。,3时变系统的可观测性,时变系统的可观测性定义为：若能根据t0,t1区间测得的输出向量y(t)唯一确定系统任意初态x(t0)，则称时变系统在t0,t1区间是完全可观测的。,定理线性时变系统在t0,t1区间完全可观测的充要条件是：下列格兰姆矩阵,非奇异。,证明先证充分性。即,非奇异时必可观测。由于动态方程,其解为,y(t)左乘,，且在t0,t1区间取积分，得,由于,非奇异，存在,，于是有,只要在t0,t1区间测得y（t），便可求得x(t0)，因而系统是可观测的。,充分性得证。,再证必要性。即可观测系统的,必非奇异。用反证法，即系统可,观测，而,是奇异的，试看能否导出矛盾结果。由于,奇异，于是,的列向量在,区间线性相关，必存在非零列,向量a使,在,区间成立。如果选择一个特殊的初态,则有,这时没有输出测量的信息，便不可能观测到初态,，因而与可观测,的假设相矛盾。于是证明了可观测系统的,必非奇异。,定常系统可观测性判据与时变系统可观测性判据的关系,由式(2239)所示的格兰姆矩阵可导出定常系统可观测性判据。这时A、C都是常数矩阵，状态转移矩阵与t0无关，可假定t0=0。这时,式中,两端左乘C有,非奇异即是,或,的列线性无关，也就是,的列线性无关。,可见定常系统可观测性判据是时变系统可观测性判据的特例。,4可控性判据小结,时变系统：格兰姆矩阵,非奇异。,定常系统：,A为对角阵且有相异特征值时，输入矩阵无全零行（A阵有相同元素时不适用）；A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行不全零，及输入矩阵中与相异特征值对应的行不全零（相同特征值分布在两个或多个约当块时不适用）,SISO系统动态方程导出的传递函数无零极点对消(MIMO系统不适用)；若有对消，仍能可控但不可观测；,5可观测性判据小结,时变系统：格兰姆矩阵,非奇异,定常系统：,的列向量线性无关；,的列向量线性无关；,A为对角阵且具有相异的特征值时，输出矩阵无全零列（A阵有相同元素时不适用）；A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全零，及输出矩阵中与相异特征值对应的列不全零（相同特征值分布在两个或多个约当块时不适用）；,SISO系统动态方程导出的传递函数无零极点对消(MIMO系统不适用)；若有对消，仍能可观测但不可控；,格兰姆矩阵,非奇异。,