资源描述
向量与向量空间同矩阵一样，也是线性代数中一个非常重要的概念，对它们的讨论是线性代数的主要内容之一.另外，在对线性方程组的讨论中，不仅需要行列式、矩阵，而且也需要向量这个重要工具.,第三章向量及向量空间,第一节向量及其线性运算,一、向量的概念,由n个数组成的有序数组,定义1,（3.1),或,（3.2）,称为一个n维向量，简称向量。,(3.1)式称为行向量，(3.2)式称为列向量,以后我们用小写希腊字母来表示向量。,注意行向量和列向量的区别只是写法上的不同。若是行向量，则是列向量，若是列向量，则是行向量.本教材习惯将向量表示成列向量的形式。,定义2如果向量和,则称这两个向量相等.记为=,的对应分量都相等,即:,为向量与数k的乘积，记为k.,向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.,称向量,给定向量,为向量与的和，记为+.,称向量,T,二、向量的线性运算,称向量,为的负向量，记为-.,定义3,分量全为零的向量(0,0,0)T称为零向,量，记为0.,而向量的减法定义为,向量的线性运算与矩阵的运算规律相同，且满足下列八条运算规律（其中,为n维向量,k,l为实数）：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0=;(4)+(-)=0;(5)(k+l)=k+l;(6)k(+)=k+k;(7)(kl)=k(l)=l(k);(8)1=.,例1,设1=(2,5,1,3)T,2=(-1,1,2,0)，,解,1-22=(2,5,1,3)T-2(-1,1,2,0)T,求1-22.,=(2,5,1,3)T-(-2,2,4,0)T,=(4,3,-3,3)T.,T,注意由于向量可以看成特殊的矩阵,所以向量运算和矩阵运算就非常类似，其运算性质也相同.,向量的概念在实际中有着广泛的应用.例如,在线性方程组,中的每一行,中，系数矩阵,都是n维行向量,这m个n维行向量，称为系数矩阵A的行向量组;,(i=1,2,m),都是m维列向量,这n个m维列向量称为系数矩阵A的列向量组.,若记常数向量为=(),T,利用向量的运算，线性方程组也有向量表示形式:,(j=1,2,n),每一列,第二节向量的线性关系,一、向量组的线性组合,定义4,给定向量组,对于任何,一组实数,称表达式,为向量组A的一个线性组合，称,为这,个线性组合的系数。,向量组的关系对于我们揭示线性方程组中方程与方程之间、解与解之间的关系乃至更广泛的事物之间的联系是极其有意义的，我们必须熟练掌握如何判定向量组之间的关系.,定义5,给定向量组,和向量，,若存在一组数,使得,则称向量是向量组A的线性组合，或称能由向量组A线性表示(或线性表出).否则称不能由向量组A线性表示.,考虑线性方程组,，,则线性方程组可以表示为如下形式：x11+x22+xnn=.,令,于是，线性方程组是否有解，就等价于是否可由向量组,线性表示.,注(1)能由向量组唯一线性表示,(3)不能由向量组线性表示,(2)能由向量组线性表示且表示式不唯一,有无穷多个解.,无解.,有唯一解.,线性方程组,线性方程组,线性方程组,(5)向量组中任一向量,称向量组为n维基本单位向量组.,(4)任意向量都可由向量组，,线性表示.且表示式为,=0+1+0.,都可由该向量组线性表示.且表示式为:,(j=1,2,s),例1判断向量=(1,2,3)T是否可由向量组1=(1,0,0)T,2=(1,1,0)T,3=(1,1,1)T线性表示，如果可以，请将用1,2,3表示出来.,所以可以由向量组1,2,3唯一线性表示为：=-1-2+33.,有唯一解：,解设,即,唯一线性表示，则k应满足什么条件？,设向量可以由向量组线性表示,则,例2设,解,由于有唯一解，则根据克莱姆法则，得,故当时，能由唯一线性表示.,二、向量组的线性相关与线性无关,定义6,给定向量组,如果存在不全为零,的数,使,则称向量组A线性相关，否则称向量组A线性无关.,注(1)向量组线性相(无)关的充分必要条件是:齐次方程组,有非零解(只有零解)；,(2)向量组1=(a11,a21,an1)T,2=(a12,a22,an2)T,=()T线性相(无)关的充分必要,条件是行列式,比如:给定向量组,因为,所以线性相关,(6)仅含两个非零向量的向量组线性相(无)关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成(不成)比例.,(5)仅含一个向量的向量组线性相(无)关的充分必要条件是=0(0);,(4)含零向量的向量组必线性相关；,(3)基本单位向量组线性无关；,比如:,线性相关,比如:,例3证明：如果向量组1,2,3线性无关，则向量组1+2，2+23,3+31也线性无关.,因,，所以只有零解x1=x2=x3=0，故1+2,2+23,3+31线性无关.,由于1,2,3线性无关，故,即,证明设,22,复习:：两个重要概念,定理1,向量组线性相关,证明必要性设1,2,s线性相关，则存在s个不全为零的数k1,k2,ks，使k11+k22+kss=0.不妨设k1.0，于是,充分性设1,2,s中至少有一个向量能由其余向量线性表示，不妨设1=k22+kss,即(-1)1+k22+kss=0,故1,2,s线性相关.,向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示.,即可由其余向量线性表示,三、向量组线性相关性的判定,推论向量组线性无关的充分,量线性表示.,必要条件是:向量组中任意向量都不能由其余向,注意到线性无关，易知k0，所以,定理2若向量组线性无关，,而向量组，线性相关，则向量,可由向量组线性表示，且表示法唯一.,证明先证可由线性表示.,因为,线性相关，所以存在一组不,全为零的数,若则有,线性无关.,再证表示式的唯一性,不能由线性表示，则向量组,推论若向量组线性无关,且向量,故表示法是唯一的.,由线性无关，易知,定理3,若向量组中有一部分组线性相关，则整个向量组线性相关.简称部分相关，则整体相关.,推论,若向量组线性无关，则它的任意部分组也线性无关.简称整体无关，则部分无关.,定理4,推论,若向量组线性相关，则在各向量中相应减少分量后也线性相关.简称高维相关，则低维相关.,例如因为,所以,例如因为,若向量组线性无关，则在各向量中相应增加分量后仍线性无关.简称低维无关，则高维无关.,设有向量组,定义7,若向量组B中的每一个向量都可由向量组A线性表示，,则称向量组B能由向量组A线性表示。,若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称向,向量组A与向量组B等价，记为,四.向量组间的线性表示,A:;B:,.,根据定义，不难验证向量组的等价关系具有以下性质：,反身性：任一向量组和它自身等价，即,(1),(2),对称性：如果,则,(3),传递性：如果,则,如果向量组A：线性表示，并且st，则向量组线性相关.,推论1,如果向量组线性无关，并且可,由向量组线性表示，则st.,推论2,两个等价的线性无关向量组所含向量的个数相同.,定理5,证明设向量组和都是线性无关向量组，且.,可由向量组B:,即两个向量组所含向量的个数相同.,由推论1可知：st,且ts.于是s=t，,推论3若向量组所含向量的个数大于其所含向量的维数，则向量组线性相关.,证明设为n维向量组，且sn,而sn，由推论1知向量组线性相关.,向量组线性表示，,事实上，由于向量组能由基本单位,下证向量组线性相关.,例如,线性相关.,如果向量组的一个部分组1,2,r,(1)1,2,r线性无关；,(2)向量组中任意一个向量都可以由这个部分组1,2,r线性表示(或者说向量组中任意r+1个向量都线性相关),满足条件：,为极大无关组.,为此向量组的一个,极大线性无关部分组，简称,则称部分组,一、极大无关向量组,第三节向量组的秩,一、极大无关向量组,定义8,的极大无关组.,不难验证及也是,所以是向量组的一个极大无关组.,例1考虑向量组,显然，部分组线性无关.,线性表示：,向量组中的任一向量都可由,(2)若向量组是线性无关的，,(4)一个向量组的极大无关组所含向量的个数不超过这个向量组中所含向量的维数.,(3)只含有零向量的向量组无极大无关组；,注(1)一个向量组的极大无关组可以不唯一；,则本身就是它的一个极大无关组；,任一向量组和它的极大无关组等价.,定理6,由定理6及向量组等价的传递性得:,推论1向量组的任何两个极大无关组等价.,推论2向量组的任何两个极大无关组所含向量的,个数相同.,由向量组等价的定义及极大无关组的定义得:,二、向量组的秩,向量组1,2,s的极大无关组所含向量,定义9,如果一个向量组仅含有零向量，则规定它的秩为零.,显然，如果向量组1,2,s线性无关，则R(1,2,s)=s,此时称1,2,s为满秩向量组.否则称为降秩向量组.,的个数称为向量组的秩，记为R(1,2,s).,由此可知:若向量组的秩=它所含向量的个数，则这个向量组线性无关。,等价向量组的秩相等，即如果,定理7,则,推论,若向量组,可由向量组,线性表示，则,证参见教材78页.,证参见教材78页.,从而,三、矩阵的秩和向量组的秩的关系,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.,定理8,证明设矩阵，R(A)=s,则存在A的s阶子式,从而所在的s个列向量线性无关；,又A中所有s+1阶子式，故A中任意,s+1个列向量都线性相关，因此Ds所在的s列是A的的列向量组的一个极大无关组，所以,同理可证，矩阵A的行向量组的秩也等于s.我们称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，A的行向量组的秩为A的行秩.从而，矩阵A的列秩等于A的行秩等于A的秩.,如果我们要判定向量组的线性相关性或求它的秩，则可由向量组构造一个矩阵，然后利用初等变换将其化为阶梯形矩阵来求秩.如果向量组为满秩的，则向量组线性无关，否则，向量组线性相关.,例2求向量组的秩,并判定线性相关性.,所以R(A)=R(1,2,3,4,5)=3.,解因为,=,例3已知向量组1=(1,-1,2,1,0),2=(2,-2,4,-2,0),3=(3,0,6,-1,1),4=(0,3,0,0,1),试求(1)向量组1,2,3,4的秩；(2)判断向量组的线性相关性；(3)求一个极大无关组，并将其余向量由这个极大无关组线性表示.,仅对A施行初等行变换，把A化为行阶梯形矩阵：,解将向量看作矩阵的行向量组,构成矩阵,由最后的行阶梯形矩阵知：=R(A)=3.,从而极大无关组含3个向量.,由最后的0行得,故为一个极大无关组.,从而,即,显然,且向量组的其余向量由这个极大无关组线性表示为,例4已知向量组(1)求;(2)判定的线性相关性；(3)求一个极大无关组，并将其余向量由这个极大无关组线性表示.,解记,则有,解记,.所以=2,并且极大无关组含两个向量.,故,线性相关，,由此得,3+2-21=0,4-32-1=0,5+2+21=0,3+2-21=0,4-32-1=0,5+2+21=0,显然1,2,3,4,51,2,从而R(1,2,3,4,5)=R(1,2)=2,于是1,2为一个极大无关组.,由最后的零行得：,从而,即,定理矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组之间的线性关系.即有,(1)矩阵A的列向量组,中的部分组,线性无关B的列向量组,中对应的部分组,线性无关;,(2)矩阵A的列向量组,中的某个向量可由,部分组,线性表示为,的充要条件是B的列向量组,中对应的向量,此定理给出了求向量组的秩、向量组的极大无关组以及将向量组中其余向量表示成极大无关组的线性组合的方法：,（1）将向量组写成矩阵，利用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵；,（2）行最简形矩阵的行数就是矩阵的秩也是列向量组的秩，其最左边的非零元素所在的列向量组成向量组的一个极大线性无关组；,（3）利用极大线性无关组将其余向量线性表出.,例5设向量组,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,=B,又因为B的1，2，4列是B的列向量组的一个极大无关组,所以向量组的其余向量由极大无关组线性表示为,5.证明：如果向量不能被向量组线性表示，则也不能被的任何部分组线性表示.,证不能由线性表示,线性方程组无解,假设能由线性表示，则存在一组数,从而,此式与方程组无解矛盾,故不能由的任何部分组线性表示,，使,10.如果向量组线性无关，试证：(1)向量组线性无关；(2)向量组线性相关.,证（1）设,则,即,故,线性无关。,（2）设,则,线性无关,解之得,从而向量组线性相关。,试证向量组与n维基本单位向量组等价.,证一方面，向量组,能由基本单位向量组,另一方面，基本单位向量组,由向量组,线性表示为,向量组,与向量组,等价。,11.设n维向量组,线性表示；,12.已知向量组与向量组有相同的秩，证明：.,证一方面,可由向量组,另一方面由于,与,有相同的秩，,的一个极大无关组就是向量组,的一个极大无关组，,可以由,线性表示.,线性表示；,所以,从而,故,13.设向量组的秩为r，是中的r个向量，使得中每一个向量都可被它们线性表示.证明：是的一个极大线性无关组.,证依题设向量组可由线性表示,又显然,线性无关,是,的一个极大无关组。,故,所以,可由线性表示,14.证明：如果n维基本单位向量可由n维向量组线性表示，则向量组线性无关.,证,可由,而,也可由,线性表示,从而,故,线性无关。,线性表示，,15.设是一组n维向量，证明：线性无关的充要条件是任一维向量都可被它们线性表示.,证必要性：,是一组,维向量，,线性无关，显然任意,n维向量,都可由,线性表示。,基本单位向量组,可由,故,从而,线性无关。,充分性：任意n维向量都可以由,若,线性表示，,线性表示，,17.判断下列命题是否正确，如果该命题成立，则简述理由，否则，举出反例：若存在全为零的数k1=k2=ks=0，使得k11+k22+kss=0，则向量组1，2，s线性无关；(2)如果向量组1，2，s线性相关，则其任一部分组也线性相关；(3)如果向量组1，2，s线性相关，则其任一向量都可由其余向量线性表示；(4)如果向量组1，2，m中有r个向量使得1，2，m中任何向量均可由这r个向量线性表示，则R(1，2，m)=r；,(错),（错）,（错）,（错）,(5)如果两个向量组等价，则它们所含的向量个数相同；(6)如果R(1，2，s)=r，则向量组1，2，s中任意r个向量都线性无关；(7)如果R(1，2，s)=r，则向量组1，2，s中任意多于r个向量的向量组都线性相关；(8)如果R(1，2，s)=s，则向量组1，2，s中的任一部分组都线性无关,（错）,（错）,（对）,.(对),线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广,线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，进而通过研究线性空间来解决实际问题,一.线性空间的定义,若F中任意两个数的和、差、积、商（0不作除数），仍然,在F中，则称F为一个数域。,容易验证，实数集R、有理数集Q都是数域，,而无理数集不是数域。,第四节向量空间,定义2,设V为一非空集合，V中的元素用小写希腊字母,，,等表示，对V中的任意两个元素、及,数域F中的数k，定义了加法运算(记为+)及数乘运算(记为k)，且+V,kV，如果加法运算和数乘运算(统称为线性运算)满足下述8条运算律：,则称V为数域F上的一个线性空间.,例1实数域R上的全体n维向量的集合，按照向量的加法与数乘运算是一个线性空间.该线性空间俗称为向量空间.例2实数域R上的mn矩阵的全体组成的集合，按照矩阵的加法与数乘运算是一个线性空间.例3定义在闭区间a,b上的全体连续函数的集合Ca,b，按照函数的加法与乘法是一个线性空间.例4单个零元素组成的集合V=0是一个线性空间，称为零线性空间(这里定义0+0=0,k0=0,k为数域F中的数).,上述例子表明，线性空间的概念比向量空间的,称为向量，而不论其实际是矩阵、是函数还是其他什么,概念更具有普遍性。习惯上我们仍将线性空间中的元素,事物，线性空间V又称向量空间。,为了对向量空间进行深入的讨论，我们引入了向量(广义的)的线性组合、线性相关、线性无关等概念，而本章第一节，第二节所讨论的向量(狭义的)的有关定义和定理可以推广到数域F上的线性空间中来，本教材便不再叙述这些内容.,我们已经知道：在Rn中，线性无关的向量组最多由n个向量组成，而任意n+1个向量都是线性相关的,我们把这n个线性无关的向量称为线性空间的一组基。一般地，有如下定义:,二、线性空间的基与维数,定义3在线性空间V中，如果存在n个向量,满足：,维数,当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时，就称V是无限维的,记作dimVn;,注(1)零向量空间没有基,规定其维数为0.,(2)如果把向量空间V看作向量组,可知,V的基就是向量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩.,(3)向量空间的基不唯一.,n维线性空间，,显然，的任意n个线性无关向量都构成的一组基，从,而有无穷多组基。例如，n维基本向量组,就是的一组基（称作标准基），于是是,组基，但不同的基中所含的向量的个数却是相同的.,（4）零空间中没有线性无关的向量，所以没有基。,作为全体n维向量的集合，基是它的一个极大线性,无关组，而维数则是它的秩，所以虽然有无穷多,(5)由于本书只着重讨论中的问题，所以下面的讨论只,在中进行，事实上涉及到的概念与性质均可移植,到一般线性空间中去.,定义3,三、元素在给定基下的坐标,显然，基本单位向量组为的一组基，向量在该组基下的坐标为,解之得x1=1,x2=5,x3=2,故在基1,2,3下的坐标为(1,5,2).,例5在R3中，求向量=(8,7,2)T在基1=(1,0,0)T,2=(1,1,0)T,3=(1,1,1)T下的坐标.,解设则有,定理1设是的一组基，,是的两个,向量，它们在基下的坐标分别为,则+在这组基下的坐标为,k(kR)在这组基下的坐标为,定义4设1,2,n和1,2,n为Rn的两组基，它们之间的线性关系为,1=a111+a212+an1n,2=a121+a222+an2n,n=a1n1+a2n2+annn,，,(),即,*,四、基变换公式与过渡矩阵,=,矩阵A=,称为由基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵.,()式可简记为,*,并称之为由基基变换.,定理2设；以及都是的基，A,B为n阶矩阵，并且,定理的结论是显然的.,则()=()AB,()=()B,()=()A,反过来，任意一个n阶可逆矩阵A都可以作为中由一组基到另一组基的过渡矩阵,过渡矩阵具有以下性质：,()=().,定理3设和均为,中的基，且,则过渡矩阵A可逆，且,()=()A,例如R2中有两组基,求由基的过渡矩阵与,的过渡矩阵.,解,的过渡矩阵为,的过渡矩阵为,B=A.,()=()B,-1,证明定理3由假设有另设由基到基的过渡矩阵为B，则有,所以有由于和都是中的基，结合第二节的定理2，有,AB=E=BA.从而A可逆，且,反过来，若是任一n阶可逆矩阵，为中一组基，取于是有因A可逆，从而有这表明向量组可由向量组线性表示.,因而也是的一组基，并且A就是由基.,知,再由假设,也线性无关,线性无关,到基的过渡矩阵,五、坐标变换公式,定理4设和为中的,两组基，且基变换公式为,()=()A,中的向量在基和下,的坐标分别为，则有,=,A,称上式为坐标变换公式.,T,证明因(1,2,n)=(1,2,n)A,又=x11+x22+xnn=(1,2,n),，,=y11+y22+ynn=(1,2,n),，,=(1,2,n)A,，,所以(1,2,n),=(1,2,n)A,，,从而,=A,即(x1,x2,xn)=(y1,y2,yn)AT.,注基变换公式还有其他表示形式,如果为中的两组基，,且基变换公式为,()=()A,又若中的向量在两组基下的坐标为,，则有,=,A,T,即,=,A,或,=,A,-1,例5给定R3的两组基,的坐标为（1，1，1），求,下的坐标；,的坐标为（1，1，1），求,下的坐标.,解,则有,(2)设,下的坐标为,则,有坐标变换公式,=,P,T,(3)设向量,下的坐标为,得,下的坐标为,由坐标变换公式,=,T,P,*六、子空间及其维数设W是的一个非空子集，若对于W中的任意两个向量与的和+仍在W内，则说W对于的加法是封闭的；同样，如果W中任意向量与任意实数k的乘积k仍在W内，就说W对于数乘是封闭的.定理5设L是的一个非空子集，如果L对于的加法及数乘是封闭的，则L本身也是实数域R上的一个向量空间.,称L为的一个子空间.,例6由的单个零向量构成的子集L=0满足定理5的条件，所以它是的一个子空间，称为零子空间.,显然是其自身的子空间.,例7中的向量的一切线性组合组成的集合是的一个子空间，并称为由向量组生成的子空间,且其维数为R()，该子空间记作L().由于子空间L是的一个子集，所以L中线性无关向量的个数不超过n，因此dimLdim.特别地，我们规定零子空间的维数为零.,
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