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偶图的算法及应用,南京师范大学附属中学孙方成,目录,匹配的概念偶图的定义和判定偶图的最大匹配偶图的最小覆盖问题偶图的最佳匹配问题小结,匹配的概念(1),匹配的概念(2),偶图的定义,偶图的判定,偶图的最大匹配,Edmonds于1965年提出了解决偶图的最大匹配的匈牙利算法：,偶图的最小覆盖问题,一般图的最小覆盖问题是一个已被证明的NPC问题。换一句话说，一般图的最小覆盖问题，是没有有效算法的图论模型。所以，将一个实际问题抽象成最小覆盖问题，是没有任何意义和价值的。但是，如果问题可以抽象成偶图的最小覆盖问题，结局就不一样了。由于偶图的特殊性，偶图的最小覆盖问题存在多项式算法。,最大匹配与最小覆盖的关系,在证明这个定理的过程中，要用到Hall婚姻定理：,1931年Knig给出最大匹配与最小覆盖的关系定理如下：,偶图的最佳匹配问题,由于引入了权，所以最佳匹配不能直接套用最大匹配算法进行求解。同时，由于对最佳匹配的定义是建立在完全加权偶图的基础上的，对于不完全图，可以通过引入权为0（或是其他不影响最终结果的值），使得偶图称为完全偶图，从而使用最佳匹配算法来解决。,KM算法前的准备,在介绍求最佳匹配的KM算法前，首先介绍一些相关的概念：,可以证明，Gl的完备匹配即为G的最佳匹配。,以此为基础，1955年Kuhn，1957年Munkres给出修改顶标的方法，使新的相等子图的最大匹配逐渐扩大，最后出现相等子图的完备匹配。这就是KM算法。,KM算法,一个例题,某公司有工作人员x1,x2,xn，他们去做工作y1,y2,yn，每个人都能做其中的几项工作，并且对每一项工作都有一个固定的效率。问能否找到一种合适的工作分配方案，使得总的效率最高。要求一个人只能参与一项工作，同时一项工作也必须由一个人独立完成。不要求所有的人都有工作。,一个实例,若工人x完全不能参与工作y，则w(x,y)=0,流程(1),首先，选取可行顶标l(v)如下：,构造Gl，并求其最大匹配：（其流程过长，此处略）,流程(2),其最终得到的最大匹配如图所示：,图中粗点划线构成最大匹配。,流程(3),Gl中无完备匹配，故修改顶标。,流程(4),根据新的顶标构造Gl，并求其上的一个完全匹配如图所示：,图中粗点划线给出了一个最佳匹配，其最大权为4241314。题目完成。,小结,偶图是一种特殊的图，所以它不但具备了信息量丰富这个图模型共有的优点，同时它也具备了大量一般图所不具备的内涵和算法优势。偶图的结点分成两个部分，这就是它和自然界、数学界的对应关系，或者说匹配关系有着深刻的联系。因此，匹配的算法是所有偶图算法的核心。如果能将实际问题，通过合理的抽象，变成两种事物之间的矛盾，则这种问题就可以抽象成偶图的模型。所以，偶图的模型有着广泛的应用。同时，偶图的算法有着高效实用的特点，所以也使通过偶图模型解决问题成为可能。综上所述，我认为，偶图是一种高效的，有着广泛使用价值的模型。合理、有效的使用偶图模型，将大大提高编程及解决现实生活中实际问题的能力。,谢谢！,
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