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1,代数结构,2,代数结构部分,第5章代数系统的一般性质第6章几个典型的代数系统,3,第5章代数系统的一般性质,5.1二元运算及其性质5.2代数系统及其子代数和积代数5.3代数系统的同态与同构,4,5.1二元运算及其性质,二元运算定义及其实例一元运算定义及其实例运算的表示二元运算的性质交换律、结合律、幂等律、消去律分配律、吸收律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元,5,二元运算的定义及其实例,定义设S为集合,函数f：SSS称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f封闭.例1(1)N上的二元运算：加法、乘法.(2)Z上的二元运算：加法、减法、乘法.(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设S=a1,a2,an,aiaj=ai，为S上二元运算.,6,二元运算的实例（续）,(5)设Mn(R)表示所有n阶(n2)实矩阵的集合，即矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(6)幂集P(S)上的二元运算：,.(7)SS为S上的所有函数的集合：合成运算.,7,一元运算的定义与实例,定义设S为集合，函数f：SS称为S上的一元运算，简称为一元运算.例2(1)Z,Q和R上的一元运算:求相反数(2)非零有理数集Q*，非零实数集R*上的一元运算:求倒数(3)复数集合C上的一元运算:求共轭复数(4)幂集P(S)上,全集为S:求绝对补运算(5)A为S上所有双射函数的集合，ASS:求反函数(6)在Mn(R)(n2)上，求转置矩阵,8,二元与一元运算的表示,算符：,等符号表示二元或一元运算对二元运算，如果x与y运算得到z，记做xy=z；对一元运算,x的运算结果记作x表示二元或一元运算的方法：公式、运算表注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符,9,公式表示例3设R为实数集合，如下定义R上的二元运算：x,yR,xy=x.那么34=30.5(-3)=0.5运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）,二元与一元运算的表示（续）,10,运算表的形式,11,运算表的实例,例4A=P(a,b),分别为对称差和绝对补运算（a,b为全集）的运算表的运算表,12,运算表的实例（续）,例5Z5=0,1,2,3,4,分别为模5加法与乘法的运算表的运算表,13,二元运算的性质,定义设为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,yS有xy=yx,则称运算在S上满足交换律.(2)如果对于任意的x,y,zS有(xy)z=x(yz),则称运算在S上满足结合律.(3)如果对于任意的xS有xx=x,则称运算在S上满足幂等律.,14,实例分析,Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|2.,15,二元运算的性质（续）,定义设和为S上两个不同的二元运算,(1)如果x,y,zS有(xy)z=(xz)(yz)z(xy)=(zx)(zy)则称运算对运算满足分配律.(2)如果和都可交换,并且x,yS有x(xy)=xx(xy)=x则称和运算满足吸收律.,16,实例分析,Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|2.,17,二元运算的特异元素,单位元定义设为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得对任意xS都有elx=x(或xer=x)，则称el(或er)是S中关于运算的左(或右)单位元.若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元.单位元也叫做幺元.,18,二元运算的特异元素（续）,零元设为S上的二元运算,如果存在l（或r）S，使得对任意xS都有lx=l(或xr=r)，则称l(或r)是S中关于运算的左(或右)零元.若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算的零元.,19,二元运算的特异元素（续）,可逆元素及其逆元令e为S中关于运算的单位元.对于xS，如果存在yl（或yr）S使得ylx=e（或xyr=e），则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元).关于运算，若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元.如果x的逆元存在，就称x是可逆的.,20,实例分析,21,惟一性定理,定理设为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el=er=e为S上关于运算的惟一的单位元.证el=eler=eler=er所以el=er,将这个单位元记作e.假设e也是S中的单位元，则有e=ee=e.惟一性得证.类似地可以证明关于零元的惟一性定理.注意：当|S|2，单位元与零元是不同的；当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元.,22,惟一性定理（续）,定理设为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于xS如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.证由ylx=e和xyr=e得yl=yle=yl(xyr)=(ylx)yr=eyr=yr令yl=yr=y,则y是x的逆元.假若yS也是x的逆元,则y=ye=y(xy)=(yx)y=ey=y所以y是x惟一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x只有惟一的逆元，记作x1.,23,消去律,定义设为V上二元运算，如果x,y,zV，若xy=xz，且x不是零元，则y=z若yx=zx,且x不是零元，则y=z那么称运算满足消去律.实例:Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律.Zn关于模n加法满足消去律，当n为素数时关于模n乘法满足消去律.当n为合数时关于模n乘法不满足消去律.,24,例题分析,解(1)运算可交换，可结合.任取x,yQ,xy=x+y+2xy=y+x+2yx=yx,任取x,y,zQ,(xy)z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx(yz)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,例6设运算为Q上的二元运算，x,yQ,xy=x+y+2xy,(1)运算是否满足交换和结合律?说明理由.(2)求运算的单位元、零元和所有可逆元.,25,给定x，设x的逆元为y,则有xy=0成立，即x+y+2xy=0(x=1/2)因此当x1/2时，是x的逆元.,例题分析（续）,(2)设运算的单位元和零元分别为e和，则对于任意x有xe=x成立，即x+e+2xe=xe=0由于运算可交换，所以0是幺元.,对于任意x有x=成立，即x+2x=x+2x=0=1/2,26,例题分析（续）,例7(1)说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的.(2)求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.,解(1)满足交换、结合律；满足结合、幂等律；满足交换、结合律.,(2)的单位元为b,没零元，a1=c,b1=b,c1=a的单位元和零元都不存在，没有可逆元素.的单位元为a，零元为c,a1=a.b,c不可逆.,27,例题分析（续）,例8设A=a,b,c,构造A上的二元运算*使得a*b=c,c*b=b,且*运算是幂等的、可交换的，给出关于*运算的一个运算表，说明它是否可结合，为什么？,c,b,根据幂等律和已知条件a*b=c,c*b=b得到运算表,根据交换律得到新的运算表,方框可以填入a,b,c中任一选定的符号,完成运算表,不结合，因为(a*b)*b=c*b=b,a*(b*b)=a*b=c,28,由运算表判别算律的一般方法,交换律：运算表关于主对角线对称幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致消去律：所在的行与列中没有重复元素单位元:所在的行与列的元素排列都与表头一致零元：元素的行与列都由该元素自身构成A的可逆元：a所在的行中某列(比如第j列)元素为e，且第j行i列的元素也是e，那么a与第j个元素互逆结合律：除了单位元、零元之外，要对所有3个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立,
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