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第一节特征值与特征向量,一特征值与特征向量的概念,二特征值和特征向量的求法,第一节特征值与特征向量,三特征值和特征向量的性质,一、特征值与特征向量的概念,定义,若,则称为的特征值，,称为的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组,特征向量，特征值问题只针对与方阵；,有非零解的值，即满足,的都是方阵的特征值,定义,称以为未知数的一元次方程,为的特征方程,定义,称以为变量的一元次多项式,为的特征多项式,定理,设阶方阵的特征值为,则,证明,当是的特征值时，的特征多项,式可分解为,令,得,即,证明,因为行列式,它的展开式中，主对角线上元素的乘积,是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至,多含个主对角线上的元素，,含的项只能在主对角线上元素的乘积项中,故有,比较，有,因此，特征多项式中,定义,方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹.,记为,二、特征值和特征向量的性质,推论,阶方阵可逆的个特征值全不为零.,若数为可逆阵的的特征值，,特别,单位阵的一个特征值为,三、应用举例,、若为可逆阵的特征值，则,的一个特征值为（）,、证阶方阵的满足，则的特征值为,或,3、求下列方阵的特征值与特征向量,四、特征向量的性质,定理,互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。,定理,互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征,向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。,一相似矩阵的定义、性质,二矩阵可相似对角化的条件,三应用举例,第二节矩阵相似对角化,一、定义,定义,设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵，,使得,则称是的相似矩阵，或者说矩阵,与相似,可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵,记作：,二、性质,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,；,，则；,，则；,（4），则,（5），则,（6），且可逆，则,定理,若阶矩阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值,推论,若阶矩阵与对角矩阵,相似，,若能寻得相似变换矩阵使,对阶方阵，,称之为把方阵对角化,三、相似对角化,定理的推论说明，如果阶矩阵与对角矩阵相,似，,则的主对角线上的元素就是的全部特征值,设存在可逆，,使得,有,于是有,因为可逆，,故,关的特征向量。,反之，,即,设,可逆，且,则,若有个线性无关的特征向量,所以,即与对角矩阵相似,定理,阶矩阵能与对角矩阵相似,有阶线性无关的特征向量,推论,如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵,可相似对角化,内积的定义与性质,定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,施密特（Schmidt）正交化法,设,是向量空间的一个基，要求向量空,间的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单,位向量,，使,与,等价，,此问题称为把,这组基标准正交化.,1）正交化,令,就得到的一个标准正交向量组.,的一组标准正交基.,如果,上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.,2）标准化,令,是的一组基，则,就是,定理对称矩阵的特征值为实数.,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.,定理若阶对称阵的任重特征值对应的线性,无关的特征向量恰有个（不证）,定理若为阶对称阵，则必有正交矩阵，使得,实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,例设矩阵,求一个正交矩阵P，使得,为对角阵。,例设三阶对称矩阵A的特征值为1,2,3;矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别为,（1）A的属于特征值3的特征向量。（2）求矩阵A。,
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