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范例2.8降落伞下降的规律,物体在空气中运动时，阻力的大小可以表示为f=CAv2/2。其中是空气的密度，A是物体的有效横截面积，C为阻力系数。一降落伞和人组成系统的极限速度为vT=5m/s，当系统从静止开始下落时，求它的速度和下落的高度随时间的变化关系。如果该降落伞开始没有打开，当速度达到v0=10m/s时才打开，系统的运动规律是什么？,解析伞和人受到重力mg，方向竖直向下；空气阻力f，方向竖直向上。,取向下为正方向，根据牛顿第二定律可列人和伞的运动方程mg-kv2=ma，,其中k=CA/2，k是比例系数。,由于a=dv/dt，可得微分方程,其中K2=k/mg。,当dv/dt0时，vvT，vT是极限速度，因此K=1/vT。,分离变量得,范例2.8降落伞下降的规律,当KvvT，积分上式,设当t=0时，v=v0，可得常数为,利用反双曲正切函数可得,速度为,其中,范例2.8降落伞下降的规律,当vvT时，可得,积分,即,当t=0时，x=0，可得常数,降落伞下落的高度为,不论降落伞的初速度是小于极限速度还是大于极限速度，最后的速度都趋近于极限速度。,在初速度较大的情况下，在相同的时间内，降落伞下落的高度要大些，所以速度较大的高度曲线在速度较小的高度曲线上面。,不论初速度是大还是小，加速度最后都趋于0。,初速度较小时，其加速度的方向与速度方向相同，并随着速度的增加而减少；初速度较大时，其加速度的方向与速度的方向相反，大小也随着速度的增加而减少。,
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