牛顿力学的基本原理.ppt

牛顿力学的基本原理,第一章,第一章牛顿力学的基本原理,1.1，质点运动的描写,1.2，牛顿定律,1.3，质点运动的基本定理,1.4，保守力、势能和机械能守恒定律,1.5，质点运动的相空间和相轨迹,第一章牛顿力学的基本原理,教学基本要求：,掌握质点的位移、速度和加速度以及它们在直角坐标系、极坐标系、自然坐标系和柱坐标系下的形式。,掌握质点的运动基本定理(包括动量定理、动能定理、角动量定理）、机械能守恒和角动量守恒定律以及保守力、势能,掌握质点运动微分方程的建立和求解的方法,掌握质点的牛顿第一、二、三定律的适用条件和范围。,了解相平面、相轨迹、奇点概念以及一维简谐振子和单摆运动的相轨迹,质点运动微分方程的建立和求解、质点运动的基本定理（动量定理、动能定理、角动量定理）、机械能守恒和角动量守恒定律、保守力和势能函数之间的关系。,本章重点：,本章难点：,质点运动微分方程的建立和求解、质点运动的基本定理的综合应用、势能。,1.1，质点运动的描写,质点的概念,（一）参照物和坐标系,质点的适用范围,要用数学的方法描述物体运动，需三个先决条件：,1、选择参照物2、确定时间的量度连续的、均匀的、永不停息地流逝3、确定空间的量度连续的、均匀的、各向同性的,时间和空间彼此独立无关地存在着,物体是否当作质点取决于所讨论的问题的性质,机械运动具有相对性，为了确切说明一个物体的位置和,参照物的选择以分析问题最方便的原则来选取。与参照物固连的坐标系称为参考坐标系，简称参考系,理论力学中常用坐标系：,直角坐标系极坐标系柱坐标系自然坐标系（内禀坐标系）球坐标系,描述运动时选作标,准的物体（可以是一个不变形的物体，或若干个无相对,运动，就必须选择其它物体做标准，,运动的物体），称为参照物。,质点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化的规律称为点的运动方程,质点在空间运动的路径称为轨迹,在某一参照物上建立不同的坐标系，质点的运动方程具有不同的形式。,同一质点在不同的参照物上使用同一类坐标系，质点的运动方程具有不同的形式。,在求解质点运动学问题时，要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。,1、直角坐标系,O,质点的运动方程：,质点的直角坐标与矢径坐标之间关系为：,质点的速度：,质点的加速度：,而非,而非,若质点的轨道曲线S中，当AB无限靠近时，如图有：,加速度亦同理,2、平面极坐标系,O,在平面上任取一点O作为极点，过O点的任一带有刻度的射线Ox为极轴，即构成了平面极坐标系。,如图，质点P运动到P点时，引,为矢径方向，极轴到矢径的夹角称为幅角，有正负，用表示,在极坐标系中，也可进行正交分解，分为径向,和横向,方向为矢径方向，,方向为指向质点运动方向,质点的运动学方程：,质点的轨迹方程：,质点的极标与矢径坐标之间关系为：,质点的速度：,极限情形下有：,也随之转动,将与,开的单位圆弧长,同理可求出：,(方向与极坐标轴转动的正方向成右手螺旋关系),据矢量运算法则：,若,为任一旋转矢量，则普遍地有：,引进角速度矢量,上式中出现负号是因为,时，,将趋向于与,相反的方向。,来描述极坐标轴绕原点的转动。,回顾速度表达式：,式中：,表示径向速度分量，,表示横向速度分量,加速度：,式中：,径向加速度分量,横向加速度分量,3、自然坐标系,沿质点轨迹建立一弯曲的“坐标轴”，选择轨迹上一点O为“坐标原点”，并用由原点O至质点位置的弧长s作为质点的位置坐标，坐标增加的方向是人为规定的,自然坐标s不同于一般仅说明长度的弧长，根据原点与正方向的规定，s可正可负。,切向单位向量,主法线单位矢量,对于三维运动的质点，还需引入轨道的副法线方向,其方向满足右手螺旋关系：,(正方向为质点的运动方向),(正方向为轨道曲线的密切面内并指向凹侧),自然坐标轴的几何性质,密切面：由轨迹上无限接近的两点的两条切线所确定的极限平面,质点的速度：,质点的加速度：,仅需要求出,，,由于自然坐标系中的,是随着曲线的,凹凸而改变方向，,所以在对,和,求导时，与前面求单位,(顺时针或逆时针)是确定的，,定，假定曲线凸时为顺时针，那么凹时就为逆时针。,和,方向的到角不确,矢量的导数时略有区别，因前面的正交单位矢量方向的到角,而这里,所以有：,，,质点的加速度为：,质点从1运动到2，采用自然坐标，原点在O处，则从1到2时，,方向的变化量,和,在轨迹凹凸时，方向不变,和,然而，,的角d正负发生了变化,到,的角d以及,到,式中,在自然坐标系下的加速度分量为：,启示我们可以把曲线运动看作是系列圆周运动。,从另一个角度看：考察同平面的运动曲线上三点A、B、C，当A点和C点无限靠近B点时，ABC正好构成曲率半径为的极限圆的一段弧。,化“曲”为“圆”的思想,重要区别：,平面极坐标系,自然坐标系,平面极坐标系：,角为r与ox轴间的夹角,角意义不一样,而自然坐标系：,角为运动点的切线与ox轴间的夹角,4、柱坐标系,投影距离,高度,观察点,天顶,从柱坐标系的建立方式看，与极坐标相比，只是由二维到三,维，增加了一个Z的方向，易推导出速度和加速度的表达式,5、球坐标系,观察点,天顶,天顶角,仰角,投影,距离,方位角,例1.1,一质点沿抛物线,运动，速率为常量c，运动过程中,质点的纵坐标y不断变小。试分别在直角坐标系、极坐标系和自然坐标系中，求出质点的速度和加速度。,解:,（i）直角坐标系中求解,由速度和加速度定义可知：,这是质点平面运动问题。,仅仅需要求出,，再次求导可得,对已知的轨迹方程,又速率为常量,从而有：,又在运动过程中，质点的纵坐标y不断变小,所以有：,两边求导可得：,于是得到速度的表达式：,对速度求导可得加速度的表达式：,（ii）极坐标系中求解,直角坐标系和极坐标系对应关系为：,把已知直角坐标系中的轨迹方程,化为极坐标系方程：,对r求导可得：,仅仅需要求出,又速率为常量,代入,的结果可得,对,求导可得,那么,把,的结果代入速度表达式可得速度为：,化简可得：,（iii）自然坐标系中求解,仅仅需要求出,当质点位于y的区域时，角位于第三象限当质点位于y的区域时，角位于第四象限,因,，,从而有,那么,变形有：,而,，故,所以,对,又,求导有：,不同的坐标系，描述质点的同一运动时，轨迹的方程不相同，这也直接导致了解题的繁简程度不同。关键在于坐标系的选择要恰当。,在解题时，要从运动学量的定义出发，找出其,例题评注：,或其正交分解后的函数关系或表达式，,如例题中的桥梁：,只要找出,求导后就可据定义求出。,中的桥梁。,这也启示我们在求质点的速度和加速度时，只需要找出矢径的表达式或函数关系，或者是在任一种正交坐标系中，找出矢径的正交分解方向的表达式或函数关系，求导即可解出速度和加速度。,如果,是两个正交的矢量，且有,即,或写作,力是物体之间的相互作用,1.2，牛顿定律,力的基本属性：,物质性-力离不开物体,力的三要素：大小、方向、作用点,相互性-施力物体同时也是受力物体,矢量性-力既有大小又有方向，方向用正负来表示,力的独立性-一个力作用于某个物体上产生的效果，,与这个物体是否同时受到其他力的作用无关,静力效果：使物体的形状发生变化(形变)，如拉伸、压缩、扭转、剪切等,动力效果：改变物体的运动状态，如物体的运动速度大小或方向发生变化,据力的性质命名：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力等据力的效果命名：拉力、压力、动力、阻力等据研究对象命名：内力和外力,力的分类：,力的效果：,一些术语：,静力学：研究作用于物体上力系的平衡(理论力学中主要是刚体)力系：是指作用于物体上的一群力,工程中，按作用线所在的位置，可以分为平面力系和空间力系；按其作用线的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系,物体的受力分析：分析某个物体共受几个力，以及每个力的作用位置和方向力系的等效替换(简化)：将作用在物体上的一个力系用另一个与它等效的简单力系来代替。刚体：在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变(理想模型),常用静力学公理：,力的平行四边形规则(矢量性)二力平衡条件(二力大小相等、方向相反，且在同一直线上)加减平衡力系原理(独立性)在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用推1力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。推2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点作用和反作用定律(相互性)作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上刚化原理(等效性)变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变,牛顿时空观(经典力学)：,时间：连续的、均匀的、不停息地流逝,空间：连续的、均匀的、各向同性的,相互独立无关地存在着，与坐标系的选择无关(绝对性),微观系统：原子尺度的客体(需用量子力学处理)主要是发生强作用力或是弱作用力,宏观系统：大小在人体尺度上下几个数量级范围之内的客体。主要是电磁力和引力,介观系统：呈现出微观特征的宏观系统。(如一些线性或环状小尺寸样品在低温下表现出电磁波的量子干涉效应),牛顿第一定律：,任何物体，只要没有外力改变它的状态，便会永远保持其静止或匀速直线运动的状态,自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态,或者使用较为现代的表述：,“自由粒子”是不受任何相互作用的粒子(质点)。,它应该是完全独立的，或者是世界上唯一的粒子。显然不可能真正观察到这样的粒子。但当其它粒子都离它非常远，从而对它的影响可以忽略时，或者其它粒子对它的作用彼此相互抵消时，我们可以把这个粒子看成是“自由”的。,揭示了物体具有保持其运动状态的特性(惯性),牛顿第一定律又称惯性定律,指出了力是改变物体运动状态的原因,惯性定律是不能直接用实验来严格地验证，它是理想化抽象思维的产物。,惯性定律不仅适用于物体运动的整体，也适用于其中一个独立的分量,例如：平抛物体时，物体在水平方向满足惯性定律,地球不是一个精确的惯性系,但由于地球旋转得较慢，只要讨论的问题不是像大气或海洋环流那类牵涉空间范围较大、时间间隔较长的过程，固定在地面上的参考系可看作近似程度相当好的惯性系,惯性定律只适用于惯性系,惯性定律的研究对象为单个物体(质点),物体保持静止或匀速直线运动状态的特性称为惯性,牛顿第二定律：,物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力矢量和的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度的方向与外力矢量和的方向相同,用公式表示，则有：,即：,牛顿第二定律只适用于惯性系,牛顿第二定律的研究对象为单个物体(质点),若研究对象的运动情况较为复杂，它的各部分之间有相对,位移，就必须分隔开来研究，常称之为“隔离体法”,牛顿第三定律：,两物体1,2相互作用时，作用力和反作用力大小相等，方向相反，在同一直线上。,用公式表示，则有：,牛顿第三定律只适用于惯性系,牛顿第三定律的研究对象为单个物体(质点),比较作用力和反作用力与二力平衡之间的区别,例1.2,质量分别为2m和m的重物1和重物2，用不可伸长的轻绳l绕过一光滑的轻质滑轮联结。在重物2的下端又用固有长度为L0，劲度系数为k=mg/L0的弹性绳挂上另一质量为m的重物3，整个系统保持在铅直平面内，如图所示，开始时绳子是拉直的，而弹性绳则为固有长度，系统自静止状态释放，分别求出此后各重物的运动状况，以及非弹性绳和弹性绳中的张力大小FT和FT。,分析:,研究的系统各物体间有相对位移，采用隔离体方法,解：,重物3的位置坐标为,，则有约束关系：,弹性绳中的张力为：,令,，由（1）式可知,代入（2）式并与（3）式联立消去FT后得：,由（4）、（5）、（6）式可得：,利用初始条件：,时，,，,代入初始条件有,，,式中,因此系统的振动周期为：,把x的值代入（5）式可得：,代入（4）式可得：,积分两次有,又,代入得,，,代入（2）式可得：,一质量为m的炮弹，以速率v0自仰角为的炮管内射出，设炮弹飞行中受到的空气阻力与炮弹的速度成正比，FRmbv，这里b是常数，求炮弹飞行时的速度和轨道。,例1.3,由于只考虑炮弹的整体飞行情况，可看作质点。炮弹在空中受力如图所示，只有重力和阻力，显然在运用牛顿第二定律的正交分解形式时，只有把坐标轴之一选在阻力方向或重力方向时，运动学方程才能最简，所以可选择直角坐标系或自然坐标系。,分析:,解:,（i）直角坐标系中求解,由牛二定律得炮弹的运动学微分方程：,上式化简可得：,初始条件为：,时，,，,，,利用常微分方程知识求解,特征方程为,可求得,那么其解为：,，,其中,代入初始条件，可得,，,从而可求得,于是,当,为待定常数,，,则,同理，,，,可求得,那么齐次方程的通解为：,则,观察非齐次方程，,为单重根，,代入微分方程可得：,即,于是非齐次方程的通解为：,，,代入初始条件可得,从而可求得：,，,对于,特征方程为,可令特解为：,于是有：,所以炮弹飞行的速度为：,炮弹飞行的轨道为：,，,消去t后可得轨道方程：,，,炮弹飞行中所受的力在自然坐标系中表示为：,由牛二定律得炮弹的运动学微分方程：,（ii）自然坐标系中求解,又,是负的.,由曲率公式知，炮弹的轨迹中，,所以,联立(1)式、(2)式和(3)式有：,又注意到复合导数关系：,于是(4)式可化为：,分别对(5)式两边积分，并利用初始条件可得炮弹的速度：,联立(1)式和(2)式可得：,对(7)式积分可求得在自然坐标系下炮弹的轨迹：,也可求出炮弹飞行的水平距离：,为方便积分，作变换，令,则,从(6)式和(8)式可以看出，当,时，有,评注：,牛顿第二定律的运动学方程形式繁简程度与坐标系的选择有关，从而直接决定了求解过程中的计算量的大小。原则上坐标系的选择会尽可能地把坐标系选择在受力方向上，尤其是变力方向，这样运用牛顿第二定律正交分解的运动学方程时，形式就达到最简。但本题中选择自然坐标系却比直角坐标系计算量要大，是因为空气阻力与速度呈线性关系，若是非线性关系时，自然坐标系就会体现出优越性,例1.4,带电粒子的质量和电荷分别为m和q的粒子束，自O点射入相互垂直的均匀稳定电磁场E、B中，各粒子的初速度与磁场垂直。证明：尽管各粒子初速度的大小和方向有差别，但它们都将聚焦在同一个点f处；距离Of与粒子的质量成正比，与电荷成反比。,解:,因电场和磁场分别垂直，从而受力也相互垂直，所以选择直角坐标系O-xyz如图所示，O点为坐标原点，电场和磁场分别沿y方向和z方向。则有：,，,粒子受到的电磁力为：(粒子做平面运动),质点的运动方程为：,任一粒子的初始条件为：,时，,，,对(2)式积分一次，并利用(4)式的初始条件可得：,把(5)式代入(3)式可得y的二阶常系数微分方程：,只需要求出非齐次方程的特解，于是设特解为：,令,，则(6)式的齐次方程正好是简谐振动方程，,代入(6)式可得：,从而(6)式的解为：,积分常数A和由(4)式中关于,和,的初始条件确定。,把(7)式代入(5)式并积分一次可得关于x的解(设C为积分常数)：,把(4)式中的,时，,，,代入(7)式及其一阶导数式得：,把(4)式中的,时，,，,代入(8)式得：,由(7)式可知，粒子y坐标呈周期性变化，又初始时刻,时，,，,当,时，,此时,，代入(9)式可得粒子的x坐标为：,可以看出，上式结果只与粒子的质量m、电荷q以及电磁场E、B有关，而与粒子的初始速度的大小和方向无关。由此证毕。,y值不变，仍为0,例1.5,质量为m的小球，穿在竖直放置的螺纹形光滑铁丝上，自静止向下滑动，如图所示，求小球的速度v和铁丝对小球的约束力FN分别与小球下滑距离z的关系。已知铁丝的曲线方程可写为：x=rcos,y=rsin,z=b,解:,由于铁丝光滑，小球只受重力和铁丝的约束力，且约束力在切向方向没有分量宜选用自然坐标系(n,，b三方向)。图中为柱坐标系(,，z三方向)。,小球的受力在自然坐标系中表示为：,考虑到铁丝的曲线方程的形式，宜选用柱坐标系。,由铁丝的曲线方程可知小球的元位移为：,显然,于是有,所以,，,把副法线方向的单位矢量化为柱坐标系为：,于是把(1)式化为柱坐标系为：,由小球的轨迹方程可知，小球做圆周运动和竖直方向,的变加速直线运动，可列出其运动学方程：,又小球的约束方程为：,小球的运动的初始条件为：,当,时，,由(9)式可知：,代入(8)式后，再联立(7)式可得：,把(12)的结果代入(7)式可得：,要求FNn与下滑距离z的关系，,由(12)式可知：,就必须先求,把(14)最后两项对z积分一次，利用初始条件(10)式可得：,把(15)式代入(11)式中第一式有：,把(15)式的结果代入(6)式可得FNn与下滑距离z的关系：,由柱坐标中速度的定义可得小球的速度为：,由(5)、(13)、(16)可得小球受到的约束力为：,评注：,由本题可看出，在解题时，不会仅限于一种坐标系，我们会根据解题的方便，视研究对象的受力情况以及运动的轨迹选择合适的坐标系，利用坐标之间的转化来减少计算量也可使用同一坐标系，而选用不同的原点，如习题1.4,1.3，质点运动的基本定理,质点动量定理,微分形式：,(牛顿第二定律的另一形式),积分形式：,由质点动量定理的微分形式知，当质点的合力,为0时，,质点的总动量或正交分解方向上的合动量守恒。,又质点的动量定理为矢量式，所以在某一正交分,或质点的某一正交分解方向上的合力,解方向上，质点的动量定理依然成立。,质点动量矩定理(角动量定理),角动量的定义：,又,利用位矢左叉乘等式两边有：,所以得到质点的动量矩定理的微分形式和积分形式：,力矩的定义：,式中利用了,，,因为质点的动量矩定理是矢量式：,当质点的合力矩为0时，那么该质点的角动量守恒,在某一正交分解方向上的合力矩为0，那么该正交分解方向上的角动量守恒(定轴),在某一正交分解方向上仍成立,定点角动量和定轴角动量之间的关系：,定点力矩和定轴力矩之间的关系：,如图质量为m的质点，绕O点作定点转动，数据已在图中,给出，有时需要知道对l方向的力矩和角动量,这正好是定点O角动量在l方向上的分量：,质点动能定理,动能的定义：,又,利用速度点乘等式两边有：,即,两边在t1到t2积分，可得：,功的定义：,(质点动能定理),因此牛顿第二定律与这三个定理中的任何一个都不是相互独立的。从而我们在求解问题时需要视问题的情况和计算方便来进行选择。,从质点的动量定理、质点的动量矩定理以及质点的动能定理的推导可以看出，这三个定理都是由牛顿第二定律推演出来的。,1.4，保守力、势能和机械能守恒定律,假如力仅为坐标,的单值的、有限的和可微的函数，,则在空间区域每一点上，都将有一定的力作用着，此力只,和该点的坐标有关，我们把这空间区域叫做,如果力场本身随着时间而变化，质点所受的力还是时间t,力场,不稳定力场,如果力场不随时间变化，质点所受的力不是时间t的显函,的显函数，则这样的力场称为,数，则称这样的力场称为,稳定力场,沿任意闭合回路作功(或者说抵抗它作功)为零的力，或者是能够被表示成某一标量函数的梯度的力称作,，,，,，,，,保守力(,)，反之，则是非保守力,(判断保守力),(判断保守力场),称为势能函数,保守力的特性：,保守力场可以表示为势能函数的负梯度,保守力具有无旋性,保守力作功与路径无关,在保守力作用上，质点的机械能守恒,势能函数的极小处是稳定平衡点，势能函数的极大处为不稳定平衡点,由于力总是指向势能降低的方向，所以质点稍稍偏离平衡位置时，从力的方向可以看出质点是不处于稳定的平衡点。,例1.6,质点自光滑圆滚线的尖端无初速度地下滑，因而质点只受到重力和轨道约束力，如图。又知轨道方程为圆滚线约束力不做功，显然用机械能量守恒(或牛顿第二定律)与约束方程相结合来求解较为简便。至于坐标系的选择约束力为变力，选自然坐标系会更好,分析：,由题意和图示可知，=-,解：,质点自光滑圆滚线的尖端(y=0)无初速度下滑时的受力如图，,从而不妨取k=0，,(i)直角坐标系中求解,所以,质点的受力为：,于是初始条件可以写为：,时，,，,那么质点初始时刻在,约束方程：,，,则质点的运动学方程可写为：,至此，联立(1)、(2)、(3)和(6)式便可求出约束力，但较复杂,由(4)式可得：,，,，,结合(2)、(3)式可知，要求约束力关键在于求出,和,由分析知本题中机械能守恒，虽然它是由牛二定律导出的，,但利用它将大大简化计算量，而不必先解关于的微分方程,质点机械能守恒：,联立(4)、(5)和(7)式可得：,化简得：,或,那么,代入(6)式可得：,代入(2)式可得：,于是质点对圆滚线的压力为：,(ii)自然坐标系中求解,质点的受力为：,质点的运动方程：,由约束方程有：,，,又,化简：,因,从而易得：,例1.7,解：,（i）由保守力的性质可知，质点在稳定平衡点时，势能函数取极小值，所以有：,于是质点的稳定平衡点在x=-a处，势能曲线如图。,（ii）由保守力性质可知，作用于质点的力为：,质点在平衡位置x=-a处附近作振动，则可以把质点的受力在x=-a处用Taylor级数展开，其值为：,附Taylor级数公式：,也可先化成下面的形式后，再展开。,于是质点在平衡位置附近振动时所受的力可近似地表示成：,力的形式正好符合简谐振动，从而易得其解：,式中,那么，质点的振动周期为：,（iii）由于质点受到的是保守力，所以机械能守恒：,由质点的势能函数关系图知：,（a）质点在平衡位置附近振动，故质点被限制在x=-a附近，这也同时要求了质点的动能应小于势能的值，否则会,所以质点在平衡位置附近振动的条件为：,跑出x=-a附近，而不符合题意。即,从而质点在平衡点x=-a处速度的大小应为：,（b）逃逸至-的条件是,故,（c）逃逸至+的条件是跨跃V(x=+a),故,1.5，质点运动的相空间和相轨迹(了解),线性系统输入和输出成比例，可应用叠加原理,或,实际系统中，总是含有非线性系统成分，为非线性系统,非线性系统输入和输出不成比例，不可应用叠加原理,小信号范围内总是可以把非线性系统化成线性系统来处理,非线性系统的特征：,输出响应与输入信号大小和系统初态有关系统稳定性与输入信号大小和系统初态有关会产生自激振荡可能产生跳跃谐振会产生波形畸变,相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法,相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析,相平面法不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给,出系统运动轨迹的清晰图像,设一个二阶系统可以用下面的常微分方程,来描述。,是,和,的线性或非线性函数。,在一组非全零初始条件下（,和,不全为零），系统,的运动可以用解析解,和,描述,如果取,和,构成坐标浃面，则系统,每一个状态均对应于该平面上的一点,当t变化时，这一点在,平面上描绘,出的轨迹，表征系统状态的演变过程,该轨迹就叫做相轨迹,这个平面称相平面,其中,相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图,相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件下的运动过程,相轨迹的性质：,相平面的上半平面中，,，相迹点沿相轨迹向x轴正方向,移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面,，相轨迹箭头向左。,总之，相迹点在相轨迹上总是按顺时针方向运动。当相轨,迹穿越x轴交点处有,，因此，相轨迹总是以,方向,通过x轴。,通过相平面上任一点的相轨迹在该点处的斜率为：,相平面上任一点(,，,)，只要不同时满足,和,，则a是一个确定的值。这样，,通过该点的相轨迹不可能多于一条，相轨迹不会,在该点相交。这些点就是相平面上的普通点。,相平面上同时满足,和,的点处，,a不是一个确定的值。,通过该点的相轨迹有一条以上。这些点是相轨迹,的交点，称为奇点。,显然奇点只分布在相平面的x轴上。,由于奇点处,，故奇点也称平衡点。,对于二阶线性系统(,)，奇点为坐标原点。,