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第 页1数学思想与方法 试题 A一、单项选择题（每题 4 分，共 40 分）1数学的第一次危机是由于出现了( C )而造成的。A.无理数（或虿） B整数比詈不可约 C无理数（或厄） D.有理数无法表示正方形边长2算法大致可以分为( A )两大类。A多项式算法和指数型算法 B对数型算法和指数型算法C. 三角函数型算法和指数型算法 D单向式算法和多项式算法3反驳反例是用_否定 的一种思维形式。( D )A偶然 必然 B随机 确定 C常缝 变量 D特殊 一般4类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是( B )。A猜测一类比一联想 B联想一类比一猜测 C类比一联想一猜测 D类比一猜测一联想5归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是( D )。A归纳一猜测一特例 B.猜测一特例一归纳 C特例一猜测一归纳 D特例一归纳一猜测6传统数学教学只注重( A )的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。A形式化 B科学化 C系统化 D模型化7所谓统一性，就是( C )之间的协调。A整体与整体 B部分与部分 C.部分与部分、部分与整体 D个别与集体8中国九章算术 的算法体系和古希腊几何原本_的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。( A )A以算为主 逻辑演绎 B演绎为主 推理证明 C 模型计算为主 几何作画为主 D模型计算 几何证明9所谓数学模型方法是( B )。A利用数学实验解决问题的一般数学方法 B利用数学模型解决问题的一般数学方法C利用数学理论解决问题的一般数学方法 D利用几何图形解决问题的一般数学方法10公理化方法就是从( D )出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其它一切命题的一种演绎方法。A一般定义和公理 B特定定义和概念 C特殊概念和公理 D初始概念和公理二、判断题（回答对或错，每题 4 分，共 20 分）1数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。( )2数学公理化方法在其他学科也能起到作用，所以它是万能的。( )3数学模型具有预测性、准确性和演绎性，但不包括抽象性。( )4猜想具有两个显著的特点：一定的科学性和一定的推测性。( )5表层类比和深层类比其涵义是一样的。( )三、简答题（每题 10 分，共 30 分） 1为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？答：运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。回答、各得 4 分；回答得 2 分。2特殊化在数学教学中的作用有哪些？答：利用特殊值（图形）解选择题。 利用特殊化探求问题结论。 利用特例检验一般结果。 利用特殊化探索解题思路。回答、各得 2.5 分。3为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？答：数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。回答、各得 3 分；回答得 4 分。四、开放题（10 分）1.结合自己的教学经验，谈谈目前的数学课程改革呈现的特点。当前我国数学课程改革并不局限在课程上，实际涉及了教育思想、教育目标、教育内容、教育方法等各个方面。可以说，人们对任何时期的数学教育都不会说“满意” ，随着社会的发展、科技的进步，数学教育的改革是永恒的。总结国内外数学教育改革经验，我们认为在当前的数学课程改革中如下问题应特别关注。1 全面贯彻党的教育方针，大力推进素质教育。2 综合考虑数学教育的社会功能和育人功能。第 页23 深刻理解数学“双基”的内涵。4 强调学习的过程和学习的方法。5 课程内容强调书本知识、生活知识、社会实践性知识的联系。6 处理好学生的自主探究式学习与教师的适度引导、帮助的关系。7 加强信息技术与数学课程的整合。B一、判断题（回答对或错，每题 4 分，共 20 分）1数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。( )2一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。( )3反例在否定一个命题时并不具有特殊的威力。( )4不可公度性的发现引发了第二次数学危机。( )5最早使用数学模型方法的当数中国古人。( )二、填空题（每空格 3 分，共 30 分）6数学的第一次危机是由于出现了 而造成的。7传统数学教学只注重 的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。8所谓数学模型方法是9菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征： ，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。10.在计算机时代， 已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。11反驳反例是用 否定 的一种思维形式。12化归方法包含的三个要素是 、 、 。三、简答题（每题 10 分，共 40 分）13简述类比的含义，数学中常用的类比有哪些？14.常量数学应用的局限性是什么？15简述代数解题方法的基本思想。16简述九章算术与几何原本两大著作的特点。四、论述题（10 分）17试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程并加以说明。试卷代号：1173中央广播电视大学 2010-2011 学年度第一学期“开放本科”期末考试数学思想与方法试题答案及评分标准（供参考）2011 年 1 月一、判断题（每题 4 分，共 20 分）1是 2否 3否 4否 5是二、填空题（每空格 3 分，共 30 分）6无理数（或虿）7形式化8利用数学模型解决问题的一般数学方法 9组邻边相等10计算方法11特殊 一般12.化归对象 化归目标 化归途径三、简答题（每题 10 分，共 40 分）13.简述类比的含义，数学中常用的类比有哪些？答：所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法（5 分） 。数学中常用的类似有表层类比、深层类比、沟通类比（5 分） 。14.常量数学应用的局限性是什么？答：在建立了太阳中心理论后，17 世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题（3 分） 。这类问题的核心是物体的运动。面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识：算术、初等代数、初等几何和三解等构成的初等数学，显得无效（3 分） 。由于初等数学都是以不变的数量（即常量）和固定的图形为其研究对象（因此这部分内容也称为常量数学） 。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力（4 分） 。15.简述代数解题方法的基本思想。答：代数解题方法的基本思想是，首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程（5 分） ；然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值（5 分） 。16.简述九章算术与几何原本两大著作的特点。答：几何原本特点：封闭的演绎体系、抽象化的内容、公理化的方法：（5分） 九章算术特点：开放的归纳体系、算法化的内容、模型化的方法。 （5 分）四、论述题（10 分）17.答：试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程并加以说明。第 页3这个框图告诉我们：若我们面对的问题 A 解决起来比较困难，可以先将 A 特殊化 A，因为 A与 A 相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由 A所导出的结论 B7，它包含的内涵一般也会比较多(2.5 分)。把信息 B7 反馈到问题 A 中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论 B 就会比较容易一些(2.5 分)。若解决问题 A 仍有困难，则可对 A 再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论 B，使问题A 得以解决(2.5 分)。C一、单项选择题（每题 4 分，共 40 分）1所谓类比，是指( )。A由一类事物推测与另一类事物的相似的一种推理方法B由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法C根据某种事物的属性知道另一种事物的属性的一种方法D两类事物具有可比性的一种推理方法2猜想具有两个显著特点( )。A.推测性与准确性 B科学性与精准性 C准确性与必然性 D科学性与推测性3所谓数学模型方法是( )。A利用数学模型解决问题的一般数学方法 B利用数学原理解决问题的一般数学方法C利用数学实验解决问题的一般数学方法 D利用数学工具解决问题的一般数学方法4数学模型具有( )特性。A抽象性、随机性和演绎性、预测性 B抽象性，准确牲和必然性、预测性C抽象性、准确性和演绎性、预测性 D抽象性、准确性和演绎性、偶然性5概括通常包括两种：经营概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础。上升为普遍的认识( )的认识。 A.由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性 B由个体特性的认识上升为集体特性C有集体特性上升为个体特性 D由属的特性上升为种的特性6.三段论是演绎推理的主要形式，它由（）三部分组成。A. 大结论、小结论和推理 B小前提、小结论和推理C大前提、小结论和推理 D大前提、小前提和结论7.传统数学教学只注重的传授，而忽略对知识发生过程中的挖掘A. 具体化数学知识，数学理论方法 B形式化数学知识，数学思想方法C数学解题强化，数学思想方法 D数学系统结构知识，数学思想方法8.特殊化方法是指在研究问题中， （ ）的思想方法A. 运用特殊方法解决问题B从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合C从对象的一个给定范围出发，进而考虑某个包含于该范围的较小范围D从对象的一个给定区间出发，进而考虑某个包含于该区间的较小区间9.分类方法的原则是（ ）A. 按种类逐步划分 B按作用逐步划分C按性质逐步划分 D不重复，无遗漏，标准同一，按层次逐步划分10数学模型可以分为三类（）A. 人口模型，交通模型，生态模型 B规划模型，生产模型，环境模型C概念型，方法型，结构型 D初等模型，几何 模型，图论模型第 页4二、判断题（回答对或错，每题 4 分，共 20 分）1随机现象就是杂乱无章的现象，无论是个别还是整体，其随机现象都没有规律性。( )2数学学科的新发展分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其结构与原先的一样。( )3我国中小学数学成绩举世公认， “高分必然产生高创造力” ，我国中学生的科学测试成绩名列前茅。( )4我国数学课程标准指出，数学知识就是“数与形以及演绎的知识” 。( )5数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线，而且是两条明线。( )三、简答题（每题 10 分，共 30 分）1简述类比的含义，数学中常用的类比有哪些？2简述计算工具的发展。3简述小学数学加强数学思想方法教学的重要性，具体表现？四、开放题（10 分）结合教材的第 11、12 章，谈谈目前你所在的小学其数学教育教学情况及改革设想。C 答案一、单项选择题（每题 4 分，共 40 分）1B2.D 3A 4C 5.A6D 7B 8B 9D10.C 二、判断题（每题 4 分，共 20 分） 1错 一 2对 3错 4对 5错三、简答题（每题 10 分，共 30 分）1答：所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。类比又称为类比法，或者类比推理。在数学中，常见的类比有：直线和平面的类比，平面与空间的类比，数与式的类比，方程与不等式的类比，数与形的类比，一元与多元的类比，有限与无限的类比。回答、各得 5 分。2答：经历了古代的计算工具；手摇计算机、对数计算尺等机械式计算工具；电动式计算机；机电式计算机；集成电路计算机、大规模集成电路计算机几个主要阶段。回答、各得 2.5 分。3答：数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在：掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。回答、各得 2.5 分。四、开放题（10 分）本题答案不唯一，只要言之有理即可。D一、 填空题1 古代数学大致可以分为两种不同的类型，一种是崇尚逻辑推理，以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用，以（九章算术）为典范。2、在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得（几何原本）3、几何原本所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。4、推动数学发展的原因主要有两个：（1）（实践的需要，（2）理论的需要）数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。5、变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是（微积分）6、（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。7、随机现象的特点是（在一定条件下，看你发生某种结果，也困难不发生某种结果。8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（两边相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段，（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）第 页510、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。11、强抽象就是指通过（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征（一组邻边相等）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。13、演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。14、所谓类比是指（由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法）常称这种方法为类比法，也称类比推理、15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的（矛盾律）16、猜想具有两个显著特点：（具有一定的科学性、具有一定的推测性）17、三段论是演绎推理的主要形式，三段论由（大前提、小前提、结论）三部份组成。18、化归方法是指（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题的答的一种方法）19、在化归过程中，应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）20、在计算机时代，（计算方法）已经成为与理论方法，实验方法并列的第三种科学方法。21、算法具有下列特点（有限性、确定性、有效性）22、算法大致可以分为（多项式算法和指数型算法）23、匀速直线运动的数学模型是（一次函数）24、所谓数学模型方法是（利用数学模型解决问题的一般数学方法）25、分类必须遵循的原则是（不重复、无遗漏、标准同一。）26、所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的）一种思想方法。27、所谓特殊化是指在研究问题过程中（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。28、面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手（演绎证明此猜想为真、或者寻找反例说明此猜想为假），并进一步修正或否定此猜想。29、化归方法的三个要素是（化归对象、化归目标、化归途径）30、根据学生掌握数学思想方法的过程由潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，课相应地将数学思想方法教学设计成（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。31、（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力地纽带，是数学科学地灵魂，它对发展学生的数学能力，通过学生的思维品质都具有十分重要的作用。32、一个概括过程包括（比较、区分、扩张和分析）等几个主要环节。33、算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解决）34、数学从研究对象大致可以分成两大类，（数量关系、空间形式）二、判断题（只要答是或否）1、计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。（是）2、抽象得到的新概念与表达原来的对象的概念之间一定有种属关系（否）3、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明（否）4、九章算术不包括代数、几何内容（否）5、即没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识（是）6、数学模型方法在生物学。经济学、军事学等领域没应用（否）7、在解决数学解时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果（是）8、如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该解的精确解。（否）9、对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类（是）10、数学思想方法教学隶属于教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则，就可实现数学思想方法的教学目标（否）11、由类比法推得的结论必然正确（否）12、有时特殊情况能与一般情况等价（否）13、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴（是）14、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明，不懂几何的人不得入内，这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识（否）15、完全归纳法的一般推理形式是：设 s=A1 A2 An ,由于 A1 A2 An 具有性质 P，因此推断几何 s 中的每一个对象都具有性质 P（否）二简答题1、为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系？几何原本是数学中最早形成的演绎体系。在形式上，它是以少数原始概念，如点、线、面等等，和不证明的公设和公里为基础，运用亚里士多德所创立的逻辑学，把当时所知的几何学中的主要命题全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。在这个整体中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，因此几何原本是一个封闭的演绎体系。另外，从几何原本与当时的社会生产、生活的关系看，它的理论体系的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，几何原本是一个封闭的演绎体系。2、试对九章算术思想方法的一个特点算法化内容加以说明？九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到其他同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案，书中的“术”就是算法。3、简述确定性现象、随机现象的特点，以及确定性数学的局限性？第 页6人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象。其特点是：在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果另一类是随机现象，其特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。4、简述计算机在数学方面的三种新用途？在数学方面，计算机至少有三种新的用途，第一，用来证明一些数学命题，而通常证明这类命题，需要进行异常巨大的计算与演绎工作；第二，用来预测某些数学问题的可能结果；第三，用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的方法。5、简述数学抽象的特征？数学抽象有以下特征：（1）数学抽象具有无物质性。数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。（2）数学抽象具有层次性：数学概念是数学抽象的结果，但是不同的数学概念又表现出数学抽象的层次性。例如，自然数概念是从客观事物中抽象出来的，字母 a 表示的数又是在对数的抽象后的结果。（3）数学抽象过程要凭借分析或直觉;(4)数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象6、简述化归方法在数学教学中的应用？化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：（1）利用化归方法学习新知识：数学中许多概念的形成过程或数学的定义，就是渗透着化归的思想方法。实数的引进以及运算法则和大小比较的确定，是建立在有理数运算和大小比较的基础上的，它是借助极限来实现这种转化的。（2）利用化归方法指导解题；（3）利用化归原则理清知识结构：运用化归思想方法可将零星纷乱的知识编织成一张有序的主次分明的知识网络，做到易懂、易记、易用。7、简述用 MM 数学模型解决实际问题的基本步骤，并用框图加以表述？用 MM 方法解决实际问题的基本步骤为（1）从现实原型抽象概括出数学模型；（2）在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解；（3）下数学模型过渡到现实原型，即把研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，便得到实际问题的解答。MM 方法解题的基本步骤框图表示如下：8、试用框图表示用特殊化方法解决实际问题的一般过程？用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示，若我们面对的问题 A 解决起来比较困难，可以先将 A 特殊化为 ，因为 与 A 相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由 所导出的结论 ，它包含的内涵一般也会比较多。把信息 反馈到问题A 中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论 B 就会比较容易一些。若解决问题 A 仍有困难，即可对 A 再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论 B，使问题 A 得以解决。(若信息不够则重复进行)9 简述化归方法的和谐化原则？和谐化是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。例如：10、什么是算法的有限性特点？试举一个不符合有限性特点的例子。一个算法必须在有限步内终止。例如，十进制小数的除法的算法。若取数 4.5 和 3 作为初始数据,计算过程为得到的结果为 1.5.但是对初始数据 20 和 3,计算过程为无论怎样延续这个过程都不能结束,同时也不会中断.如果在某一处中断过程,我们只能得到一个近似的、步准确的结果。而且如果在某一处中断计算过程已经不是执行原来的算法。可见，十进制小数除法对于 20 和 3 这组数不符合算法的“有限性”特点。11、简述培养数学猜想能力的途径？用猜想学习新知识；用猜想探究数学规律用猜想帮助解题。12、简述特殊化方法在数学教学中的应用？答特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检验一般结果；利用特殊化探索解题思路。13、什么是类比猜想？并举一个例子说明人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。例如，分式与分数非常相似，只不过用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。事实也确是如此。14、什么是归纳猜想？并举一个例子说明。人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似地等于 3.14，于是提出了圆周率是 3.14 地猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率地数值为 ，果然和 3.14 很接近。15、简述将化隐为显列为数学思想方法教学的一个原则的理由。由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是由意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层地数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学达到思想方法教学之目的。例如在解决有关应用问题时，为了使学生弄清问题的数量关系，寻找到有效的解题策略，往往借助图示就第 页7能使问题得到解决。这种将图形与数量关系紧密联系起来解决问题的数形方法，教材中并没有明确地表述出来，需要学生用心体会，才能领悟到，但这不是所有学生都能达到的。实施数学思想方法教学，就要求教师按照“化隐为显”的原则，对教材下一番改造制作的功夫。二、解答题1、运用方程模型解答应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”，“用两种不同方法表示同一个量”，“方程个数和未知量个数相等”这三个要点，这是为什么，请阐述你的理解。设想问题已经解出，即在列式时将未知量与已知量同等对待。这是列方程中的一个重要思想，也是它优于算术之处。在算术列式中，未知量只能列在等号左边，且系数必须为 1，已知量只能在等号右边出现。已知量与未知量的地位截然不同，因此列式比较困难，而在方程列式中，已知量与未知量处于同等地位，都可以在等号两边出现，于是列式就容易多了。“用两种不同方法表示同一个量”这是列方程的关键。所谓方程，其实就是用两种不同的方法表示同一个量，并用等号联结起来。“方程个数和未知量个数相等”是为了得到确定的解，这里有一个自由度的思想，当方程个数少于未知量个数时，就会出现不定方程（组），这时方程（组）的解一般会有无穷多个。2 什么是类比推理?类比推理的表示形式？怎样才能增加结论的可靠性？答：所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。常称这种方法为类比法，也称类比推理。类比推理通常可用下列形式来表示：A 具有性质 B 具有性质 因此，B 也可能具有性质 。其中， 分别相同或相似。欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：(1)A 与 B 共同(或相似)的属性尽可能地多些；(2)这些共同(或相似)的属性应是类比对象 A 与 B 的主要属性；(3)这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的；(4)可迁移的属性 d 应该是和 属于同一类型。符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。3、圆周角定理证明思路如下：将圆周角的两边所处的位置分成三种情况，（1）角的一边落在直径上（2）角的两边在某一直径的两侧（3）角的两边在某一直径的同侧。如图所示，先对情况（1）进行证明，然后将情况（2）（3）转化为情况（1）分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。证明中用到下面几种数学思想方法：（1）将圆周角分成三种情况，用到分类方法（2）先证明角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法（3）将其他两种情况转化为角恰有一边在直径上的情况用到化归方法（4）通过对所以三种情况证明，然后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法（5）在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法。4、以“认识长方形对边相等”为内容，设计一个教学片断。（要求（1）教学过程要比较具体，合理具有一定的层次（2）要有与数学知识教学相联系的本课程所学习的数学思想方法教学内容，不少于 300 字。将教学过程设计成四个层次：（1）让学生说一说，我们周围有哪些长方形物体？学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。（2）要求学生仔细观察：看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系？学生经过观察后，会猜想：长方形相对的两条边长度相等。（3）教师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！我们怎样才能验证长方形相对的两条边长短相等呢？这时，学生会想出许多办法，如：用尺量、将图形对折等方法。教师顺势引导学生通过量量、折折的具体*作，确信长方形相对的两条边长短相等。教师板书：长方形对边相等。接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。（4）巩固长方形对边相等的认识。利用多媒体展示下面的长方形：师：如何填写括号内的数字？为什么要求学生会用“因为 所以”句式回答。如因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是 4 厘米，所以它的对边也是 4 厘米。一、填空题(本大履满分 30 分。本大题共有 10 题，每个空桔填对得 3 分，否则一律得零分)1 几何原本所开创的 公理化 方法不仅成为 种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展2随机现象的特点是 在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果 。3等腰三角形概念的抽象过程，就是把一个新的特征： 两边相等 加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化4类比法是指， 由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 的一种推理方法5。面对一个问愿，经过认真的观察和思考，过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面人手；演绎证明此猜想为真；或者 寻找反例说明此猜想为假 并且进一步修正成否定此猜想6化归方法包含的三个要素是： 化归对象、化归日标、化归途径 。7算法的有效性是指， 如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解 8数学的研究对象大致可以分成两类 研究数量关系， 研究空间形式 。第 页89。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象， 不重复无遗漏 进行的划分。10根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成 多次孕育、初步理解、简单应用 三个阶段。二、判断 (本大题满分 10 分。本大题共有 5 题，请在每题后面的圆括号内填写”是”或否 ，答对得 2 分，)1， 九章算术不包括代数、几何内容否2抽象和概括是两种完全不同的方法 否3没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识是4数学模型方法是物理学、工程学的专利，在生物学、经济学、军事学等领域投有应用否5在解决敷学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能奏效是三、简答题(本大题满分 30 分。本大题共有 5 题，只要筒明扼要地写出答案，每题均为 6 分)1为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系?、 几何原本 以少数原始概念和公设、公理为基础，运用逻辑规则将当时所知的几何学中的主要命题 (定理 )全都推出来，从而形成一个井然有序的整体在这个体系中，除了逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或 dS面已证明的定理，并且引入的概念 (除原始概念 )也基本上符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西 另外 几何原本 )回避任何与社会生产现实生括有关的应用问题，对社会生活的各个领域来说也是封闭的因此， (几何原本 )是一个相对封闭的演绎体系2简述计算机在数学方面的三种新用途。第一，用来证明一些数学命题；第二，用来预测某些数学问题的可能结果，第三，用来验证某些数学问题的结果的正确性3试用框阄表示出 MM 方法解题的基本步骤。MM 方法解题的基本步骤可用框图表示为：4简述化归方法在数学教学中的应用。化归方法在数学教学中的应用至少有以下三个方面：1)利用化归方法学习新知识， 利用化归方法指导解题， 利用化归方法整理知识结构5什么是算法的有限性特点?试举一个不符合算法有限性特点的例子算法的有限性是指一个算法必须在有限步之内终止以十进翻小数的除法这个算法为例，如取敷 2 和 3 作为初始数据，则有 2-3=O 6666无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断因此，除法对于 2 和 3 这组数不符合算法有限性特点四、解答题(本大题满分 30 分。本大属共有 2 题，每题均为 15 分)1圆周角定理证明思路如下：将四周角的两边所处的位置分成三种情况：角的一边落在直径上；角的两边在某直径的两侧，角的两边在某一直径的同侧如上田所示先对情况进行证明，然后将情况、转化为情况分别进行证明最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。该证明中需用到 ”F 面几种数学思想方法， 将圃周角分成三种情况，用到分类方法； 先证明情况 而情况 是角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法： 通过对所有三种情况的证明，最后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法， 在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法2以“三角形面积公式为内容，没计一个教学片断。(要求：教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次：要有与数学知识教学相联系的本课程中学习的数学思想方法教学内容不少于 300 字)一、填空题(每题 3 分，共 30 分)1学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段 潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段 。2强抽象就是指，通过 把一些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象过程 而形成新概念的抽象过程3菱形概念的抽象过程就是把个新的特征： 一组邻边相等 加入到平行四边形概念中去，匣平行四边形概念得到了强化。4分类必须遵循的原则是 不重复， 无遗漏， 标准同一 按层次逐步划分 。5面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假 并且进一步修正或否定此猜想。6 几何原本所开创的 公理化 方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。7变量数学产生的数学基础是 解析几何 ，标志是 微积分 。8 数学基础知识和数学思想方法 是数学教学的两条主线。9 深层类比又称实质性类比，它是通过 对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析 而得到的类比。10一个概括过程包括 比较、区分、扩张、分析 。 二、判断题(每题 2 分，共 10 分。在括号里填上是或否)1 九章算术不包括代数、几何内容。( 否 )第 页92既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识( 是 )3对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。( 是 ) 4特殊化是研究共性中的个性的一种方法。( 否 ) 5数学模型方法应用面很窄。( 否 ) 三、简答题(每题 6 分，共 30 分) 1简述培养数学猜想能力的途径。答：猜想能力培养可以通过数学教学，如： 新知识的学习、 数学规律的寻求、 解题思路的探索等途径来实现。2简述特殊化方法在数学教学中的应用。答： 利用特殊值 (图形 )解选择题； 利用特殊化探求问题结论； 利用特例检验一般结果； 利用特殊化探索解题思路。3什么是归纳猜想?井举一个例子说明。答： 人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。 例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后发现它们的比值总是近似地等于 3 14，于是提出了圆周率是 3 14 的猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率的数值为 ，果然和 3 14 很接近4简述概括与抽象的关系。答： 概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的溉念之间不一定有种属关系。 概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。 概括和抽象虽有差别，但又是互相联系，密不可分的。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述 “收括 ”操作实际上也是一个概括过程，有人就把 “收括 ”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。5在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题?答：为了叨实加强数学思想方法教学，应注意以下几点事项： 要把数学思想方法的学习纳入数学目标，并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程； 重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标， 做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作； 不同类型的数学思想方法应有不同的教学要求； 注意不同数学思想方法的综合运用。四、解答题(每题 15 分，共 20 分)1圆周角定理证明思路如下： 将圆周角的两边所处的位置分成三种情况：角的一边落在直径上；角的两边在某一直径的两铡；角的两边在某一直径的同侧。如上图所示。先对情况进行证明，然后将情况、转化为情况分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。 试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法答：该证明中用到下面几种数学思想方法： 将圆周角分成三朴情况，用到分类方法； 先证明角恰有 边正直径上的特殊情况，用别特殊化方法。 将其他两种情况转化为角恰有 边在直径上的情况，用到化归方法； 通过对所有三种情况的证明然后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法 在证明过程巾需要进行演绎推理因此用到演绎方法。2论述几何原本思想方法的特点。 答：因为在几何原本中除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理酌证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过酌定理并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求原则上不再依赖其它东西。所以 几何原本是一个封闭的演绎体系。抽象化的内容 几何原本中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此几何原本的内容是抽象的。公理化的方法几何原本的第一篇中开头 5 个公设和 5 个公理是全书其它命题证明的基本前提，接着给出 23 个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较 它们的区别。 答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量， 收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具 体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含 已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对 方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数 解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而 代数方法的关键之处是列方程。2、比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数 学的局限。 答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性 现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条 件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之 间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。 随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果， 也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不 存在必然性联系。 在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些 数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性 现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件 和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确第 页10定数学来加以定量 描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴 涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。3 叙述 抽象的含义及其过程。答：抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律的思维过程。人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。4、括的含义及其过程。答：概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。概括通常可分为经验概括和理论概括两种。经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节5、简述公理方法历史 发展的各个阶段答：公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。第一个具体的公理体系就是欧几里得的几何原本。非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。希尔伯特的几何基础开创了形式化的公理体系的先河，现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，现代科学也尽量采用形式公理法作为研究和表述手段。6、简述化归方法 并举例说明。答：所谓“化归” ，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。数学方法论中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。例如：要求解四次方程 可以令 ，将原方程化为关于 的二次方程 这个方程我们会求其解： 和 ，从而得到两个二次方程： 和 这也是我们会求解的方程，解它们便得到原方程的解： ， ， ， .这里所用的就是化归方法。7、简述计算和算法 的含义。答：计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数的过程，是一种最基本的数学思想方法。随着电子计算机的广泛应用，计算的重要意义更加凸现，主要表现在以下几个方面：(1)推动了数学的应用；(2)加快了科学的数学化进程；(3)促进了数学自身的发展。算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。所谓一个算法它实质上是解决一类问题的一个处方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地进行操作，就能引导到问题的解决。在一个算法中，每一个步骤必须规定得精确和明白，不会产生歧义，并且一个算法在按有限的步骤解决问题后必须结束。数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题，因此，算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。另外，算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面：(1)用于表述科学结论的一种形式；(2)作为表述一个复杂过程的方法；(3)减轻脑力劳动的一种手段；(4)作为研究和解决新问题的手段；(5)作为一种基本的数学工具。8 简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。答：数学教学中引起“分类讨论”的原因有：数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论；数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要分类讨论；有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论；许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同，会使问题出现不同的结果。因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。9 简述 国家数学课程标准 的几个主要特点。答：把“现实数学”作为数学课程的一项内容；把“数学化” 作为数学课程的一个目标；把“ 再创造”作为数学教育的一条原则。把“ 已完成的数学”当成是“ 未完成的数学” 来教，给学生提供“ 再创造”的机会；把“问题解决”作为数学教学的一种模式；把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方法；把 “数学活动”作为数学课程的一个方面。强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会 ”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”；把“ 合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作” ，并能“与他人交流思维的过程和结果”；把“现代信息技术” 作为学生学习数学的一种工具。10 简述数学思想方法教学的主要阶段。答：数学思想方法教学主要有三个阶段：多次孕育、初步理解和简单应用三个阶段。二、论述题 1、论述社会科学数学化的主要原因。 答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必 然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面： 第 页11第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学 数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系 的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会 历史现象的新的数学分支。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过 量化后可以进行数值处理。 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。 答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致 了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析 基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理 逻辑和一批现代数学的产生。 由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新 的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发 展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的结果就是数学领域的发展。3、叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。答：不完全归纳法的一般推理形式是：设 S= ；由于具有属性 p，具有属性 p，具有属性 p，因此推断 S 类事物中的每一个对象都可能具有属性 p。4、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性？答：类比推理通常可用下列形式来表示：A 具有性质B 具有性质因此，B 也可能具有性质。
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