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,第二章序列算子与灰色序列生成,6.1序列算子(sequenceoperator)一、冲击扰动系统预测陷阱定义6.1.1设为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为其中为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列.要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X(0)的系统之变化规律的正确把握和认识,必须首先跨越障碍.如果不事先排除干扰,而用失真的数据X直接建模、预测，则会因模型所描述的并非由X(0)所反映的系统真实变化规律而导致预测的失败。,二、缓冲算子公理(theaxiomsofbufferoperator)定义6.1.2设系统行为数据序列为X=(x(1),x(2),x(n),若k=2,3,n,x(k)-x(k-1)0则称X为单调增长序列;1中不等号反过来成立,则称X为单调衰减序列;存在k,k1,有x(k)-x(k-1)0 x(k1)-x(k1-1)0则称X为随机振荡序列.设M=maxx(k)|k=1,2,n,m=minx(k)|k=1,2,n称M-m为序列X的振幅.,定义6.1.3设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算子,X经过算子D作用后所得序列记为XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d)称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列.序列算子的作用可以进行多次,若D1,D2,D3皆为序列算子,我们称D1D2为二阶算子,并称XD1D2=(x(1)d1d2,x(2)d1d2,x(n)d1d2)为二阶算子作用序列.,公理6.1.1(不动点公理,AxiomofFixedPoints)设X为系统行为数据序列,D为序列算子,则D满足x(n)d=x(n)公理6.1.2(信息充分利用公理,AxiomonSuffi-cientUsageofInformation)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k),k=1,2,n,都应充分参与算子作用的全过程.公理6.1.3(解析化、规范化公理,AxiomofAna-lyticRepresentations)任意的x(k)d，皆可由一个统一的x(1),x(2),x(n)的初等解析式表达。,定义6.1.4称上述三个公理为缓冲算子三公理(threeaxiomsofbufferoperators),满足缓冲算子三公理的序列算子,称为缓冲算子,一阶、二阶、缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、缓冲序列(buffersequences)。定义6.1.5设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时:若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,我们称缓冲算子D为弱化算子;若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强化算子.,三、缓冲算子的性质定理6.1.1设X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子x(k)x(k)dD为强化算子x(k)x(k)d定理6.1.2设X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子x(k)x(k)dD为强化算子x(k)x(k)d定理6.1.3设X为振荡序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子maxx(k)maxx(k)dminx(k)minx(k)d2D为强化算子maxx(k)maxx(k)dminx(k)minx(k)d,四、实用缓冲算子的构造定理6.1.4设原始数据序列X=(x(1),x(2),x(n),令XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d)其中则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子(weakeningoperator).推论6.1.1对于定理6.1.4中定义的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,x(n)d2),则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化算子。,定理6.1.5设原始序列和其缓冲序列分别为X=(x(1),x(2),x(n)XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d)其中x(n)d=x(n)则当X为单调增长序列或单调衰减序列时,D皆为强化算子(strengtheningoperator).推论6.1.2设D为定理6.1.5中定义的强化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)则D2对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算子.,定理6.1.6设X=(x(1),x(2),x(n),令XDi=(x(1)di,x(2)di,x(n)di)其中x(1)d1=x(1),x(1)d2=(+1)x(1)x(n)di=x(n)i=1,2则D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列为强化算子.推论6.1.3对于定理6.1.6中定义的D1,D2,则,分别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子.,6.2均值生成(GenerationsBasedonAverage),在收集数据时,常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺(也称空穴,blank)也有一些数据序列虽然数据完整,但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据,给研究工作带来很大困难,这时如果剔除异常数据就会留下空穴.因此,如何有效的填补空穴,自然成为数据处理过程中首先遇到的问题,均值生成是常用的构造新数据,填补老序列空穴,生成新序列的方法.,定义6.2.1设序列X=(x(1),x(2),x(k),x(k+1),x(n)x(k)与x(k+1)为X的一对紧邻值,x(k)称为前值,x(k+1)称为后值,若x(n)为新信息,则对任意k=n-1,x(k)为老信息.定义6.2.2设序列X在k处有空穴,记为(k),即X=(x(1),x(2),x(k-1),(k),x(k+1),x(n)则称x(k-1)和x(k+1)为(k)的界值,x(k-1)为前界,x(k+1)为后界,当(k)由x(k-1)与x(k+1)生成时,称生成值x(k)为x(k-1),x(k+1)的内点.定义6.2.3设x(k)和x(k-1)为序列X中的一对紧邻值,若有x(k-1)为老信息,x(k)为新信息X*(k)=x(k)+(1-)x(k-1)则称X*(k)为由新信息与老信息在生成系数下的生成值(generatedvalue).,定义6.2.4设序列X=(x(1),x(2),x(k-1),(k),(k+1),x(n),为在k处有空穴(k)的序列,而X*(k)=0.5x(k+1)+0.5x(k-1)为非紧邻均值生成数,用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列(generatedmeansequenceofnonconsecutiveneighbors).定义6.2.5设序列X=(x(1),x(2),x(n),若X*(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)则称X*(k)为紧邻均值生成数.由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列(generatedmeansequenceofconsecutiveneighbors).在GM建模中,常用紧邻信息的均值生成.它是以原始序列为基础构造新序列的方法.,6.3级比与光滑比(StepwiseandSmoothRatios)当序列的起点和终点为空穴,这时,就无法采用均值生成填补空缺,只有转而考虑别的方法.级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法.定义6.3.1设序列X=(x(1),x(2),x(n)我们称,为序列的级比(stepwiseratio).称,为序列的光滑比(smoothratio).,定义6.3.2设X为端点是空穴的序列:X=(1),x(2),x(n-1),(n)若用(1)右邻的级比(或光滑比)生成x(1),用(n)左邻的级比(或光滑比)生成x(n),则称x(1)和x(n)为级比(或光滑比)生成;按级比生成(或光滑比生成)填补空穴所得的序列成为级比生成(或光滑比生成)序列.命题6.3.1设X是端点为空穴的序列,那么若采取级比生成,则x(1)=x(2)/(3)x(n)=x(n-1)(n-1)2若采取光滑比生成,则,命题6.3.2级比与光滑比有下述关系:,命题6.3.3若X=(x(1),x(2),x(n)为递增序列,且有对于k=2,3,n,(k)0,存在N,使k,N0,存在N,使k,N0,则称序列X(0)为非波动增长序列对于k=1,2,n,恒有(1)x(0)(k)0,(1)x(0)(k2)0而x(r)为X(0)的r次累加生成序列,则X(0)必为r阶弱随机序列.,则当b=0时,称X(t)为齐(homogeneous)指数函数;b0时,称X(t)为非齐次(non-homogeneous)指数函数定义6.5.4设序列X=(x(1),x(2),x(n),若对于任意的k,x(0)(1),定义6.5.3设连续函数为,则称X为齐次指数序列,则称X为非齐次指数序列,定理6.5.2X为齐次指数序列的充分必要条件是,对于k=1,2,n,恒有(k)=const成立.定义6.5.5设序列X=(x(1),x(2),x(n),若则称序列X具有负的灰指数规律则称序列X具有正的灰指数规律则称序列X具有绝对灰度为的灰指数规律0.5时,称X具有准指数规律(thelawofquasi-exponent),定理6.5.3设X(0)为非负准光滑序列,则X(0)的一次累加生成序列X(1)具有准指数规律.定理6.5.4设X(0)为非负序列,若X(r)具有指数规律,且X(r)的级比(r)(k)=,则有,
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