游戏中的数学用二分法求方程的解.ppt

,游戏中的数学,用二分法求方程的解,一、问题的提出,问题：（1）函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，那么如何找到这个零点？,试解：如果依据定义：f(x)=0，即lnx+2x-6=0。显然这个方程求解是有困难的，那么如何解决这个问题呢？,（）中央电视台由李咏主持的节目“幸运52”中有一项猜商品价格的游戏，他的做法是首先给出商品价格的范围。如果是你，你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢？,二、实际情景,（）有12个乒乓球特征相同，其中只有一个重量异常，现在要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个重量异常的球找出来。,二、实际情景,创意,假设这个重量异常的球比其它11个球重，则首先将12个球分一半称，那个较重的球必定在其中一边上。再将称出的6个较重的球再分一半称。取下天平上的球，从刚才称出的较重的3个球中任意拿出2个分别放在天平两端，如果天平两边不等，则较重的那一边上的球就是那个重量异常的球。如果此时天平两端重量相等，则剩余的第3个球就是那个重量异常的球。反之，如果那个球比其它11球轻，方法则亦然。,首先将12个球分一半称，那个较重的球必定在其中一边上。,再将称出的6个较重的球再分一半称。,从刚才称出的较重的3个球中任意拿出2个分别放在天平两端，如果天平两边不等，较重的那一边上的球就是那个重量异常的球。,如果此时天平两端重量相等，则剩余的第3个球就是那个重量异常的球。,分析：如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？,三、分析问题,在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障，这是一条10km的线路，如何迅速查出故障所在？,二、分析问题,解决方案：如图，首先查处C点，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，则断定故障出在BC段。,闸门,指挥部,C,A,B,二、分析问题,在到BC中点D，这次发现BD正常，可见故障出在CD段；,闸门,指挥部,D,C,A,B,解决方案：如图，首先查处C点，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，则断定故障出在BC段。,二、分析问题,再到CD中点E来查。,闸门,指挥部,D,C,E,A,B,在到BC中点D，这次发现BD正常，可见故障出在CD段；,解决方案：如图，首先查处C点，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，则断定故障出在BC段。,二、分析问题,这样，每查一次，就可以把待查的线路缩成一半，故经过7次查找就可将发生故障的范围缩小到50m100m之间，即一两根电线杆附近。,闸门,指挥部,D,C,E,A,B,再到CD中点E来查。,在到BC中点D，这次发现BD正常，可见故障出在CD段；,解决方案：如图，首先查处C点，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，则断定故障出在BC段。,四、启发应用,以上三个例子对我们有什么启发呢？,我们将方程的根看作商品的价格或故障点，故尔可以采取以上的方法，来寻找方程的零点。设零点为Xo.,第一步：将区间a，b一分为二，即a，cc，b然后验证零点所处的区间。若f(a)f(c)0，则零点在区间a，c上，即Xoa，c。若f(c)f(b)0，则Xoc，b,第二步：将上面的工作重复进行，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。,五、得出结论,定义：对于在区间a.b上连续不断，且f(a)f(c)0的函数y=f(x)。通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection),定义分析：,（1）在没有公式可用来求方程根时，可联系相关函数，用二分法求零点，用二分法求出的函数一般是零点的近似值。,（2）并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间a.b上连续不断且f(a)f(b)0两个条件的函数才能用用二分法求得零点的近似值。,六、实际应用,例1-(1)下列函数图象x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的图象是：,六、实际应用,例-(2)：已知函数f(X)的图象是连续不断的，且有如下对应表：,函数f(X)在哪个区间内有零点？,六、实际应用,六、实际应用,第一步：作大致图象如下：,六、实际应用,第二步：观察图象可知：f(1)f(2)0，说明这个函数在区间（1，2）内有零点Xo取区间（1，2)的中点X1=1.5，计算可知f(1.5)0.33，所以,f(1)f(1.5)0，所以,Xo(1,1.5),六、实际应用,第三步：再取(1，1.5)的中点X2=1.25,用计算器可算得,f(1.25)=-0.87,所以，f(1.25)f(1.5)0，所以X（1.25，1.5）同理，可得Xo(1.375，1.5)。Xo(1.375，1.4375),第四步：由于1.375-1.4375=0.06250.1，故区间（1.375，1.4375)的两个端点精确到了0.1，且近似值都是1.4，故方程的近似解为1.4。,七、归纳总结,归纳总结：（1）确定区间a、b验证f(a)f(b)0，并给出精确度。,（2）求区间a，b的中点；,（3）计算f(X1)值：,A：若f(X1)=0，则X1就是函数的零点；,B：若f(a)f(X1)0，此时Xo(a，X1),C：若f(X1)f(b)0，此时Xo(X1，b),四、总结归纳,（4）判断是否达到精确度要求，即：a-b则零点的近似值为a(或b）。否则重复24，从而决定是否停止计算还是继续计算。,八、收获回放,1：使用二分法的条件及原理,条件：函数是连续不断的，且f(a)f(b)0,原理：使用求中点值，使区间向零点逼近，且达到所要求的近似值。,2：二分法原理：在观察生活时，可用于查找线路、电线、水管、煤气管道故障，用语实验设计、资料查询，用于求方程根的近似解。,