2017年电大高等数学基础复习资料

电大复习 禁止转载高等数学基础复习资料复习资料一一、单项选择题1.设函数 的定义域为 ，则函数 + 的图形关于（C）对称。)(xf )(， )(xfA. B. 轴 C. 轴 D.坐标原点yxy2.当 时，变量（D）是无穷小量。0xA B. C. D. 1xsinx2)1ln(x3下列等式中正确的是（B） A B. C. D. dxdarct)1(22)1(xddxx2)l(xdcot)(tan4下列等式成立的是（A） A B. C. D. )()(ff )()(ff )()(ff )(ff5下列无穷积分收敛的是（C） A B. C. D. 1dx1dx134dx1sinxd二、填空题1函数 的定义域是 24)(xf 2x或2函数 的间断点是 1y1x3曲线 在点（1，1）处的切线的斜率是 xf)(21k4函数 的单调增加区间是 ln2y，05 = dxe22三、计算题1计算极限 4586lim24xx解：原式= = = )(1li4x 12li4x3电大复习 禁止转载2设 ，求 xylnta2y解： =1sec2 xxln2sec3设 ，求 xy35lny解： =)(ll24 x24ln354设 ，求 52cosxydy解： =4)in( 452sinx=dxydx52s5设 ，求 3coy解： =425)sin(xxy 425sinco3x=d dco36.设 ，求xeysiny解： =3ln)(isi x 3lncosixxe=dxy de)cosin7设 ，求 2ly解： = = )(cos12xy x2)sin(122tan8设 是由方程 确定的函数，求 )yiy解：方程两边同时对 求导得：x 22cossinyxx移项合并同类项得： yyin)co(2再移项得： xxysin2电大复习 禁止转载9计算不定积分 dxcos解：原式= =2Cin210计算定积分 exd1l解：原式= = = = =e122)(lnlnexd121422ex4122e11计算定积分 20sixd解：原式= = =120)cos(cox02sin)0(x四、应用题1求曲线 上的点，使其到点 的距离最短xy2 )3(，A解：设曲线 上的点 到点 的距离为 ，则)(y， 0， d= =2)3(yxdx23952求导得： 952x令 得驻点 ，将 带入 中得 ，有实际问题可知该问题存在最大值，所0dxxy2210以曲线 上的点 和点 到点 的距离最短y2)105(， )105(， )3(，A五、证明题当 时，证明不等式 0x)ln(x证明：设 )1l(y 时，0xy求导得： =x1当 ，0xy即 为增函数)ln(y电大复习 禁止转载 当 时，0x0)1ln(xy即 成立)1ln(复习资料二一、单项选择题1设函数 的定义域为 ，则函数 - 的图形关于（D ）对称)(xf )(， )(xfA. B. 轴 C. 轴 D.坐标原点yxy2当 时，变量（C）是无穷小量。0xA B. C. D. 1xsin1xe2x3设 ，则 =（B） xef)( ff)(1(lim0A B. C. D. 2e4e24 （A） dxf)(2A B. C. D. xdxf)(21)(21xf dxf)(25下列无穷积分收敛的是（B） A B. C. D. 0dex 0ex1dx1x二、填空题1函数 的定义域是 )1ln(92xy 231x且2函数 的间断点是 0si， 03曲线 在点（1,2）处的切线斜率是 1)(xf 21k4曲线 在点 处的切线斜率是 5函数 的单调减少区间是 1)(2xy1，6 = dsinCsi三、计算题1计算极限 xx5si6lm0电大复习 禁止转载解：原式= = =56sinlm0x56sinl0x2计算极限 si2l0解：原式= = =5inl0x52sinlm0x3计算极限 3sil0解：原式= = =53inl0x35sinl0x4计算极限 2silm0解：原式= = =32inl0x23sinl0x5设 ，求 2siyy解： = = 422)(sin)l(coxxx312sinl2cosxx6设 ，求 xey2siny解： = =)(ix xxeecosin2x2sin7设 是由方程 确定的函数，求 )xyycsdy解：方程两边同时对 求导得： exsino移项合并同类项得： yexy)(cs再移项得： yyoin所以 = =dxdxecs8计算不定积分 3电大复习 禁止转载解：设 ， ，则 ， ，所以由分部积分法得xuxdv3cosxuxv3sin1原式= =in1si3 Cco93sin9计算定积分 edx1l2解：原式= = = =e1)ln()l( 1)l2(2ex45四、应用题1圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？l解：假设圆柱体的底半径为 ，体积为 ，则高为 ，所以圆柱体的体积为xV2x=ShV322lx求导得： = = 22231xlxl )32(3xlxl令 =0 得驻点 （ ）Vlx60又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为 和 时，圆柱体的体l36l积最大五、证明题当 时，证明不等式 0xxarctn证明：设 yrt 时， 0y求导得： =21x2当 ，0xy即 为增函数yarctn 当 时，0x0arctxy即 成立arct复习资料三一、单项选择题电大复习 禁止转载1下列各函数对中， （C）中的两个函数相等A ， B ， 2)(xfxg( 2)(xfxg)(C ， D ，3lnlnlnln2当 时，下列变量中（A ）是无穷小量0A B C D)1l(2xxsi x1sixe13当 时，下列变量中（A ）是无穷小量0A B C D)ln(2 sinsinx4当 时，下列变量中（A ）是无穷小量xA B C D)1l(2 xsi x1sixe15函数 在区间（2，5）内满足（D ） 62xyA先单调下降再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单调下降 D单调上升6若 的一个原函数是 ，则 =（B） )(fx1)(fA B C D21x32x1xln7若 的一个原函数是 ，则 =（A） )(fx1)(fA B C D21x32x1xln8下列无穷积分收敛的是（D） A B C D0sind1dx1dx02dxe二、填空题1若函数 ，则 1 02)(xxf， ， )(f2函数 ，在 处连续，则 2 sin)(kf， ， k2函数 ，在 内连续，则 2 1)(2xaxf， ， )0(， a3曲线 在点（2，2）处的切线斜率是 f 41k电大复习 禁止转载4函数 的单调增加区间是 1)(2xy，15 dsinsi三、计算题1计算极限 )3sin(9lm23xx解:原式= = = =6)i(l3x )3(lim)sin(3lxxx )(12设 ，求 eyltany解： xx1sec22 设 ，求 inyy解： 2cos21x3设 ，求 ylny解： = = )sin(cos12xx2cosi4设 是由方程 确定的函数，求 )(y3yeydy解：方程两边同时对 求导得： x2移项合并同类项得： yee)3(2再移项得： 2yx所以 = =dxdxey235计算不定积分 ln1解： 原式= =xdC)(6计算定积分 e12l解：利用分部积分法得电大复习 禁止转载原式= = = =edxx12ln1e)1(e2四、应用题1在抛物线 上求一点，使其与 轴上的点 的距离最短y42x)03(，A解：设曲线 上的点 到点 的距离为 ，则x)(y， )(， d= =2)3(ydx43292求导得： =92x12令 得驻点 ，将 带入 中得 ，由实际问题可知该问题存在最大值，所以0d1xy42y曲线 上的点 和点 到点 的距离最短xy42)2(， )(， )03(，A五、证明题1证明：若 在 上可积并为奇函数，则 =0)(fa， adxf)(证明： 在 上可积并为奇函数，即有x，f aaa dxfxfdf 00)()()(设 ，则 ，当 时， ； 时， ，则上式中的右边第一式计算得：txtxt0t= = = =0)(af0)(af)(atfaf0)(adxf)(代回上式中得 ，证毕d复习资料四一、单项选择题1函数 的图形关于（A）对称2xeyA. 坐标原点 B. 轴 C. 轴 D. xyxy1函数 的图形关于（C）对称2xeyA. B. 轴 C. 轴 D. 坐标原点y2在下列指定的变化过程中， （C）是无穷小量电大复习 禁止转载A. B. C. D. )(1sinx)0(1sinx)0(1lnx)(1xe3设 在 处可导，则 （C） f0 hffh2(lim0A. B. C. D. )(x )(2xf )0xf )(20xf4若 = ，则 =（B） dfF)df)(ln1A. B. C. D. )(lnxx)(l xF)(ln1CxF)1(5下列积分计算正确的是（D） A. B. C. D. 0si1d02dex 02sid0cos1d6下列积分计算正确的是（D） A. B. C. D. in1x10x0inx12x二、填空题1函数 的定义域是 24)1l(xy2x2函数 的定义域是 23若函数 ，在 处连续，则 0)1()2xkxf ke4. 若函数 ，在 处连续，则 )()3f5曲线 在 处的切线斜率是 1(xf)2,(3k6函数 的单调增加区间是 yarctn)(，7若 ，则 Csid)(xf )xfsin8. 若 ，则 co)(f )(fi9若 ，则 sindxxcos三、计算题1计算极限 1)i(lm2x电大复习 禁止转载解：原式= )1(sinlm1xx 22设 ，求 eycosly解： xin3计算不定积分 xed21解：原式= Cx11)(4计算定积分 e1dln解：由分部积分法得原式= = =1exx1)(ll e1ex四、应用题1某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为 R，则高为 ，容器的表2V面积为 S，所以=22R求导得： = =S24V23)(令 =0 得驻点：3R由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为 和32V时用料最省。32V复习资料五一、单项选择题1下列函数中为奇函数的是（C） A. B. C. D. xysinxylnxycos2xy电大复习 禁止转载2在下列指定的变化过程中， （A）是无穷小量A. B. C. D. )0(1sinx)(xe )0(lnx)(sinx3在下列指定的变化过程中， （A）是无穷小量A. B. C. D. )(ix)(x )(l )(i4设 在 处可导，则 （D ） f0 hxffh(2lim00A. B. C. D. )( )(20xf )0f)(20xf5下列等式成立的是（A） A B. C. D. )()(fdxf )()(xfdf )()(fdf )(xfdf6 （C） A B. C. D. )(21xf dxf)(21)(xf dxf)(7下列积分计算正确的是（B） A. B. C. D. 0)(1dex 0)(1ex 012d01二、填空题1函数 的定义域是 xy1)3ln( 31x且2函数 的间断点是 01si2x， ， 03曲线 在 处的切线斜率是 )(ef),(1k4函数 的单调减少区间是 2xy，5若 是 的一个原函数，则 1)(f )(xf326若 是 的一个原函数，则 x 21三、计算题1计算极限 )1sin(32lm1xx解：原式= = = =)i(l1x )3(lim)1sin(l1xxx )1(4电大复习 禁止转载1计算极限 。4532lim1xx解：原式= = = =)(li1xli1x432设 ，求 2sineyy解： xxcosi3设 ，求 3sineydy解： 2sicoxxdyde)3(sin4设 ，求 2sixy解： eycosindxdxx)2(si5设 ，求 inyy解： 2cos21x6计算不定积分 dx2in解：原式= =1siCcos7计算定积分 exd12ln解：由分部积分法得：原式= = =e123l 193ex23四、计算题1欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：假设长方体的底面边长为 ，高为 ，长方体的表面积为 ，则a2hS=ahS42128电大复习 禁止转载求导得： 218aS令 得驻点： (m)04此时高为 =4m23h所以，当长方体开口容器的底面边长为 4m，高为 2m 时用料最省。1欲做一个底为正方形，容积为 32cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：假设长方体的底面边长为 ，高为 ，长方体的表面积为 ，则a2hS=ahS42128求导得： 2令 得驻点： (cm)0此时高为 =2cm23ah所以，当长方体开口容器的底面边长为 4cm，高为 2cm 时用料最省。1欲做一个底为正方形，容积为 62.5cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：假设长方体的底面边长为 ，高为 ，长方体的表面积为 ，则a25.6ahS=ahS42250求导得： 2令 得驻点： (cm)05所以，当长方体开口容器的底面边长为 5cm，高为 2.5cm 时用料最省。复习资料六一、单项选择题1下列函数中为偶函数的是（D） A. B. C. D. xysin)(xy2xycos)1ln(2xy2下列极限中计算不正确的是（B） A. B. C. D. 1lim0xe01sinlmxx 1lim2x0silmx3函数 在区间（-5,5）内满足（A） 62yA先单调下降再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单调下降 D单调上升4若函数 ，则 （A ） xfsin)(dxf)(A. B. C. D. CxsincoxsinCxcos电大复习 禁止转载5 =（D） 2sindxA. 0 B. C.1 D. 25 =（A） 2sinxdA. 0 B. C.1 D. 2二、填空题1若函数 ，则 2 02)(xexfx )(f1若函数 ，则 -3 13)(2fx )(f2函数 的间断点是 32y3x3曲线 在 处的切线斜率是 xfsin)()1(，0k4函数 的单调减少区间是 2，5若 ，则 Cxdxfcos)( )(xfx2sin三、计算题1计算极限 x2inlm0解：原式= =1six2设 ，求 2eyy解： =xx22 22xe3计算不定积分 de解：原式= =x2Cx4计算定积分 10de解：由分部积分法得：原式= = =10xx01x1)(e电大复习 禁止转载四、应用题某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为 R，则高为 ，容器的表2V面积为 S，所以=22R求导得： = =S24V23)(令 =0 得驻点：3R由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为 和 时用32V3料最省。复习资料七一、单项选择题1设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（C）对称)(xf， )(xfA. B. 轴 C. 轴 D.坐标原点yxy2函数 在 处连续，则 （） 05sin)(kxf， ， kA.1 B.5 C. D.0513下列等式中正确的是（C） A. B. C. D. dx)(2dx2)(dxx2)ln(xdcot)(tan4若 是 的一个原函数，则下列等式成立的是（A） F(fA. B. )()aFxdfxa )()(afbdxFbaC. D. ( Ff5下列无穷限积分收敛的是（D） A. B. C. D. 1dx1dx0dxe12dx6下列无穷限积分收敛的是（D） 电大复习 禁止转载A. B. C. D. 1sinxd12dx02dxe1dx7下列无穷限积分收敛的是（D） A. B. C. D. 1si 12x02x1x8下列无穷限积分收敛的是（D） A. B. C. D. 0sinxd1dx01dx13dx二、填空题1函数 的定义域是 xf5)3l() 53x2已知 ，当 时， 为无穷小量fsin1(0)(f3曲线 在(， 0)处的切线斜率是 xi)1k4函数 的单调减少区间是 2y2，5 = 0 123dx三、计算题1计算极限 xx4sin8talm0解：原式= = = =2x8cos4il0xx8cos4liminl0012设 ，求 2sineyy解： 2sicosxx3计算不定积分 din解：原式= =xsi2Cxcos24计算定积分 ed1ln解：由分部积分法得：电大复习 禁止转载原式= = = =edxx1223ln194323ex)94(23e234计算定积分 e1l解：由分部积分法得：原式= = = =edxx1221ln1421e)4(21e四、计算题1求曲线 上的点，使其到点 A（0，2）的距离最短2xy解：设曲线 上的点 到点 A（0，2）的距离为 ，则)(y， d= =22)(yxd43y求导得： 432令 得驻点 ，将 代入 中得 ，由实际问题可知该问题存在最大值，所0dy2xy26以曲线 上的点 和点 到点 A（0，2）的距离最短2x)236(， )36(，复习资料八一、单项选择题1设函数 的定义域为 ，则函数 - 的图形关于（D ）对称)(xf )(， )(xfA. B. 轴 C. 轴 D.坐标原点yxy2当 时，下列变量中（C）是无穷大量0xA B. C. D. 101xx23设 在点 处可导，则 （B） )(f1hffh)(lim0A. B. C. D. 2 )(ff )1(2f4函数 在区间（2，4）内满足（A ） 362xyA先单调下降再单调上升 B单调上升 C先单调上升再单调下降 D单调下降电大复习 禁止转载5 =（B） 23)1cos(dxxA. 0 B. C. 2 D. 2二、填空题1函数 的定义域是 xf6)ln() 6x2函数 的定义域是 1()4ln2)f342x且2函数 的间断点是 0si)(xxf， 0x3函数 的单调减少区间是 xey )(，4函数 的驻点是 5422x4函数 的驻点是 )1(xy15无穷积分 ，当 1 时是收敛的1dp三、计算题1计算极限 23)sin(lm21xx解：原式= = =)(il1x 21lim)sin(l1xx1)(2设 ，求 eysin2y解： = = )(si)(22 xx xexcossin223.计算不定积分 d21co解：原式= =xsCsin4计算定积分 ed1l解：原式= = = =1exx1ln)1(e电大复习 禁止转载复习资料九一、单项选择题1下列各函数中， （B）中的两个函数相等A. B. xgxf ln2)(ln)(2， xgxfln5)(ln)(5，C. D. ， 2，2当 时，变量（C）是无穷大量0xA B. C. D. sinx113x )2ln(x3设 在点 处可导，则 （A） )(fhffh)0(2lim0A. B. C. D. 02 )(1f )(2f )0(21f5下列无穷限积分收敛的是（C） A. B. C. D. 0cosxd1dx13dx0dxe二、填空题1若 ，则 = 2)(2xxf )(xf22函数 的间断点是 x103已知 ，则 = 0 2sin)(f )(f4函数 的单调减少区间是 )xy，15 = dex22三、计算题1计算极限 96lim23x解：原式= = = =)(li3x 32lix652设 ，求 eylncosdy解： =xx1i xe1sin则 = =dy de)si(电大复习 禁止转载3计算不定积分 dxe解：原式= =x2Cx4计算定积分 103dex解：设 ， ，则 ， ，所以由分部积分法得uvdxuxev31原式= = = =1033xex093x)9(3213e四、应用题1圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？l解：假设圆柱体的底半径为 ，体积为 ，则高为 ，所以圆柱体的体积为xV2x=ShV322lx求导得： = = 22231xlxl )32(3xlxl令 =0 得驻点 （ ）Vlx60又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为 和 时，圆柱体的体l36l积最大复习资料十一、单项选择题1设函数 的定义域为 ，则函数 - 的图形关于（A ）对称)(xf )(， )(xfA. 坐标原点 B. 轴 C. 轴 D. xyxy2当 时，变量（D）是无穷小量0xA. B. C. D. 1xsin)2ln(xx1sin3设 在 处可导，则 （C） )(f0 hffh2)(lim00A. B. C. D. 21x 0f )(10xf )(20f电大复习 禁止转载4若 = ，则 =（B） dxf)(CF)(dxf)(1A. B. C. D. )(x)(2xF)(1CxF)(215 =（A） 27)cos(dxA. 2 B. C. D. 02二、填空题1函数 的定义域是 xxf21)5ln() 5x2 = xx)(lim21e3曲线 在(1， 3)处的切线斜率是 2f 2k4函数 的单调增加区间是 )1ln(xy，05若 ，则 = Cdfta)(xf2cos1三、计算题1计算极限 32)sin(lm3xx解：原式= = =)1(il3x 1lim)3sin(lxx41计算极限 2sinl3xx解：原式= = =)1(ilm3x 1li3)sin(l3xx41计算极限 652sinl2xx解：原式= = =)3(il2x 31lim2)sin(l2xx2设 求 xey5lny解： 1电大复习 禁止转载3计算不定积分 dx21sin解：原式= =iCco4计算定积分 edx12ln解：设 ， ，则 ， ，所以由分部积分法得ulvdxu1v原式= = = =edxx12ln0e)1(e2四、应用题1某制罐厂要生产一种体积为 V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：本题含义是求无盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为 R，则高为 ，容器的表2V面积为 S，所以=22R求导得： = =S2V23)(令 =0 得驻点：3R由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为 和 时用料最3V省。复习资料十一一、单项选择题1函数 的定义域是（D ） )1ln(xyA. B. C. D. 2)0(， )1()0， )1(， )2()1， 2若函数 ，在 处连续，则 （B） sixkxf， ， kA. B. C. D. 121213下列函数中，在（-，+）内是单调减少的函数是（A） 电大复习 禁止转载A. B. C. D. xy)21(3xyxysin2xy4下列函数在区间（-，+）上单调减少的是（A） A. B. C. D. cos225若 的一个原函数是 ，则 =（A） )(xf xsindxf)(A. B. C. D. CcssinCxcos6下列无穷限积分收敛的是（C） A. B. C. D. 1dx1dx13dx13d7下列无穷限积分收敛的是（C） A. B. C. D. 1dx1dx134dx1sinxd二、填空题6函数 ，则 72)(xxf )(xf627函数 的间断点是 32y38已知 ，则 0 xfln)()2(f9函数 的单调减少区间是 12y )1(，10若 的一个原函数为 ，则 )(xf xlnfx三、计算题11计算极限 )1sin(32lm1xx解：原式= = =)i(l1x )3(lim)1sin(l1xxx 4)1(12设 ，求 y3lny解： = = =)(l)(33x)(lnl3221xx21ln312设 ，求 cosyxy解： = = )(in3l2x2sin3lxx电大复习 禁止转载12设 ，求 xeylncosdy解： = =x1)i(sxe1sicos= =dy dxenco13计算不定积分 x21解：原式= =xde1C114计算定积分 12ln解：原式= = = = =exd13lexd13lnl edx123193e23