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专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.(2018全国,理4)若sin =,则cos 2=()A.B.C.-D.-2.已知cos(-2)sin-4=-22,则sin +cos 等于()A.-72B.72C.D.-3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或234.在ABC中,ABC=4,AB=2,BC=3,则sinBAC等于()A.1010B.105C.31010D.555.已知在ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120,a=2b,则tan A=.6.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=513,a=1,则b=.7.(2018全国,理15)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.8.在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.9.在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.10.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.二、思维提升训练12.若02,-20,cos4+=13,cos4-2=33,则cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-6913.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=acos C.当3sin A-cosB+4取最大值时,角A的大小为()A.3B.4C.6D.2314.在ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=3,BC=8,BD=7,则ABC的面积为.15.已知sin4+sin4-=16,2,则sin 4的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.17.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3C2,且ba-b=sin2CsinA-sin2C.(1)判断ABC的形状;(2)若|BA+BC|=2,求BABC的取值范围.专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.B解析 cos 2=1-2sin2=1-2132=79.2.D解析 cos(-2)sin-4=-cos2sin-4=sin2-2sin-4=2cos-4=2cos +2sin =-22,sin +cos =-12,故选D.3.D解析 由(a2+c2-b2)tan B=3ac,得a2+c2-b22ac=32cosBsinB,即cos B=32cosBsinB,则sin B=32.0B,角B为3或23.故选D.4.C解析 在ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BABCcosABC=(2)2+32-223cos4=5.解得AC=5.由正弦定理BCsinBAC=ACsinABC,得sinBAC=BCsinABCAC=3sin45=3225=31010.5.32解析 由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180-A-120=60-A,所以sin A=2sin(60-A),即sin A=3cos A-sin A,所以2sin A=3cos A,故tan A=32.6.2113解析 因为cos A=,cos C=513,且A,C为ABC的内角,所以sin A=35,sin C=1213,sin B=sin-(A+C)=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.7.-解析 (sin +cos )2+(cos +sin )2=1,sin2+cos2+cos2+sin2+2sin cos +2sin cos =1+1+2sin(+)=1.sin(+)=-12.8.解 (1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(2)由(1)知A+C=34.2cos A+cos C=2cos A+cos34-A=2cos A-22cos A+22sin A=22cos A+22sin A=cosA-4.因为0A0,所以A0,4,于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sin A22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.11.解 (1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A为锐角,所以cos A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.二、思维提升训练12.C解析 cos4+=13,02,sin4+=223.又cos4-2=33,-20,sin4-2=63,cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.13.A解析 由正弦定理,得sin Csin A=sin Acos C.因为0A0,从而sin C=cos C.又cos C0,所以tan C=1,则C=4,所以B=34-A.于是3sin A-cosB+4=3sin A-cos(-A)=3sin A+cos A=2sinA+6.因为0A34,所以6A+61112,从而当A+6=2,即A=3时,2sinA+6取最大值2.故选A.14.203或243解析 在CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-28tcos3,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,ABC的面积S=12108sin3=203;当t=5时,CA=12,ABC的面积S=12128sin3=243.故ABC的面积为203或243.15.-429解析 因为sin4+=sin2-4-=cos4-,所以sin4+sin4-=sin4-cos4-=12sin2-2=12cos 2=16,所以cos 2=13.因为2,所以20,tan Btan C0,所以tan A+2tan Btan C22tanAtanBtanC,当且仅当tan A=2tan Btan C时,等号成立,即tan Atan Btan C22tanAtanBtanC,解得tan Atan Btan C8,即最小值为8.17.解 (1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sin B=sin 2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,3C2,23B(舍去).若B+2C=,又A+B+C=,A=C,ABC为等腰三角形.(2)|BA+BC|=2,a2+c2+2accos B=4.又由(1)知a=c,cos B=2-a2a2.而cos B=-cos 2C,12cos B1,1a243.BABC=accos B=a2cos B,且cos B=2-a2a2,a2cos B=2-a223,1.BABC23,1.
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