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第一讲函数图象与性质考点一函数及其表示1函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则2分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数对点训练1(2018广东深圳一模)函数y的定义域为()A(2,1) B2,1C(0,1) D(0,1解析由题意得解得0x1，故选C答案C2(2018山西名校联考)设函数f(x)lg(1x)，则函数ff(x)的定义域为()A(9，) B(9,1)C9，) D9,1)解析ff(x)flg(1x)lg1lg(1x)，则9x1.故选B答案B3设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)解析若a0，则f(a)1a71a3，故3a0；若a0，则f(a)11，解得a1，故0a1.综合可得3a1，排除C、D选项故选B答案B角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等【例2】设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则实数a的取值范围是()A BC D解析设g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)h(x0)，因为g(x)ex(2x1)，可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故即所以a1.答案D函数图象识别与应用的解题要领(1)已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究对点训练1角度1(2018贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)1Df(x)x解析由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C若函数为f(x)x，则x时，f(x)，排除D，故选A答案A2角度2(2018福建漳州八校联考)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有三个零点，则实数m的取值范围是_解析令g(x)f(x)m0，得f(x)m，则函数g(x)f(x)m有三个零点等价于函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：当x0时，f(x)x2x2，若函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0)4函数的对称性(1)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称(3)若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值【例1】(2017北京卷)已知函数f(x)3xx，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数解析易知函数f(x)的定义域关于原点对称f(x)3xxx3xf(x)，f(x)为奇函数又y3x在R上是增函数，yx在R上是增函数，f(x)3xx在R上是增函数故选A答案A快速审题看到奇偶性的判断，想到用x代x；看到单调性的判断，想到函数的构成角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合 解析f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0上单调递增，f(x)在区间0，)上单调递减根据函数的对称性，可得f()f()，答案B函数3个性质的应用要领(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解对点训练1角度1(2018湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()Ayex BytanxCyx3x Dyln解析函数yex不是奇函数，不满足题意；函数ytanx是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数yx3x是奇函数，当x时，y3x210，为减函数，不满足题意；函数yln是奇函数，在定义域(2,2)内，函数t1为增函数，函数ylnt也为增函数，故函数yln在定义域内为增函数，满足题意，故选D答案D2角度2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0，解得x或0x，此时，f(x)递增；令f(x)0，解得x，此时，f(x)递减由此可得f(x)的大致图象故选D答案D3(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbc0时，f(x)f(0)0，当x1x20时，f(x1)f(x2)0，x1f(x1)x2f(x2)，g(x)在(0，)上单调递增，且g(x)xf(x)是偶函数，ag(log25.1)g(log25.1).2log25.13,120.82，由g(x)在(0，)上单调递增，得g(20.8)g(log25.1)g(3)，ba1的x的取值范围是_解析当x时，f(x)f2x2x2x1；当02x1；当x0时，f(x)fx112x，f(x)f12x1x，即x0.综上，x.答案5(2018江苏卷)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则ff(15)的值为_解析f(x4)f(x)，函数f(x)的周期为4，f(15)f(1)，fcos，ff(15)f.答案1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第510或第1315题的位置上，难度一般主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断2此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大热点课题4动点变化中函数图象辨析 感悟体验1(2018长沙模拟)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，的图象大致为()解析由题意知，f(x)|cosx|sinx，当x时，f(x)cosxsinxsin2x；当x时，f(x)cosxsinxsin2x，故选B答案B2(2018南昌二模)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FMx，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是()解析当x时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x时，V(x)增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C答案C专题跟踪训练(十)一、选择题1(2018河南濮阳检测)函数f(x)log2(12x)的定义域为()A BC(1,0) D(，1)解析要使函数有意义，需满足解得x且x1，故函数的定义域为(，1).答案D2(2018山东潍坊质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的是()Ay|log3x| Byx3Cye|x| Dycos|x|解析A中函数是非奇非偶函数，B中函数是奇函数，D中函数在(0,1)上单调递减，均不符合要求，只有C正确答案C3(2018湖北襄阳三模)已知函数f(x)则f(2)()A B C3 D3解析由题意，知f(2)f(1)1f(0)2cos023，故选D答案D4(2018太原阶段测评)函数yx1的图象关于直线yx对称的图象大致是()解析因为yx1的图象过点(0,2)，且在R上单调递减，所以该函数关于直线yx对称的图象恒过点(2,0)，且在定义域内单调递减，故选A答案A5(2018石家庄高三检测)若函数yf(2x1)是偶函数，则函数yf(x)的图象的对称轴方程是()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析f(2x1)是偶函数，f(2x1)f(2x1)f(x)f(2x)，f(x)图象的对称轴为直线x1，故选A答案A6(2018山东济宁二模)已知函数yf(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2(0，)，都有(x1x2)f(x1)f(x2)f(b)f(c) Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)f(a)解析由题意易知f(x)在(0，)上是减函数，又|a|ln1，b(ln)2|a|,0cf(|a|)f(b)又由题意知f(a)f(|a|)，f(c)f(a)f(b)故选C答案C7(2018山西四校二次联考)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析当a0时，f(x)|x|在(0，)上单调递增；当a0时，由f(x)|(ax1)x|0得x0或x0，结合图象知f(x)在(0，)上单调递增，所以充分性成立，反之必要性也成立综上所述，“a0”是“f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增”的充要条件，故选C答案C8(2018安徽淮北一模)函数f(x)ln|x|的图象大致为()解析当x0时，函数f(x)lnx，f(2)ln22，故排除A，选B答案B9(2018山东济宁一模)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1.则f(2017)f(2018)的值为()A2 B1 C0 D1解析函数f(x)是(，)上的奇函数，f(x)f(x)，由f(x)的图象关于x1对称，得f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，f(x)的周期T4.当x0,1时，f(x)2x1.f(2017)f(2018)f(1)f(2)f(1)f(0)21111.故选D答案D10如图，已知l1l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令ycosx，则y与时间t(0t1，单位：s)的函数yf(t)的图象大致为()解析如图，设MON，由弧长公式知x.在RtAOM中，|AO|1t，cos1t，ycosx2cos212(1t)21.又0t1，故选B答案B11(2018安徽池州模拟)已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x24,8，当x10；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数；若af(6)，bf(11)，cf(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是()Aabc BbacCacb Dcba解析yf(x4)是偶函数，函数f(x)的图象关于直线x4对称f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，即函数f(x)是周期为8的周期函数bf(11)f(3)f(5)，cf(2017)f(1)f(7)对任意的x1，x24,8，当x10，函数f(x)在4,8上单调递增，bac，故选B答案B12已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)()A0 Bm C2m D4m解析因为f(x)2f(x)，所以f(x)f(x)2.因为0，1，所以函数yf(x)的图象关于点(0,1)对称函数y1，故其图象也关于点(0,1)对称所以函数y与yf(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i0，i2m，所以(xiyi)m.答案B二、填空题13(2018石家庄质检)函数的定义域为_解析由题意得解得0时单调递增，且f(1)0，若f(x1)0，则x的取值范围为_解析奇函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，函数f(x)在(，0)上单调递增，且f(1)0，则1x1时，f(x)0；x1或0x1时，f(x)0即1x11，解得0x2.答案(0,1)(2，)16(2018河南许昌二模)已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm等于_解析f(x)2，设g(x)，则g(x)g(x)(xR)，g(x)为奇函数，g(x)maxg(x)min0.Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，Mm2g(x)max2g(x)min4.答案4
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