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专题21 三角函数的图象和性质【热点聚焦与扩展】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质： （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；.zk5u./（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.1、正弦函数的性质（1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点）： （5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数（6）单调增区间： 单调减区间：2、余弦函数的性质（1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数（5）对称中心（零点）： （6）单调增区间： ,单调减区间：3、正切函数的性质（1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称中心： （5）零点：（6）单调增区间： 注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：（1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴： （5）零点：（6）单调增区间：,单调减区间：5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：（1）定义域：（2）值域：（3）周期： （4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质【经典例题】例1.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 例2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线x=对称Cf(x+)的一个零点为x=Df(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】例3. 已知函数fx=sinx+0的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )函数fx的最小正周期是2；函数fx在区间12,6上是增函数；函数fx的图象关于直线x=12对称；函数fx的图象可由函数gx=sin2x的图象向左平移3个单位长度得到A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】根据函数f(x)=sin(x+)(0)的部分图象知，T2=3(6)=2,T=2=，=2；根据五点法画图知,2(6)+=0,解得=3；f(x)=sin(2x+3)；对于,函数f(x)的最小正周期是T=，错误；对于,x12,6时,2x+32,23，f(x)在12,6上是减函数，错误；对于,x=12时,2x+3=2，函数f(x)的图象关于直线x=12对称，正确；对于,由f(x)=sin(2x+3)=sin2(x+6)知，函数f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向左平移6个单位长度得到，错误；综上，正确的命题是.故选：C.例4.【2017天津，文理】设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），【答案】 例5.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 .【答案】1【解析】【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.例6. 已知函数f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x-4,4时,f(x)-12.【答案】（1）；（2）见解析.(2)证明因为-4x4,所以-62x+356.-10分所以sin2x+3sin-6=-12.所以当x-4,4时,f(x)-12._14分例7. 设函数（）求的最小正周期（）当时，求函数的最大值和最小值【答案】（1）的最小正周期；（2）的最大值是，最小值是.【解析】试题分析：（1）由二倍角公式将式子化简，再由周期的公式得到结果；（2），, ，进而得到最值.解析：，即，当时， 的最大值是，最小值是例8.【2018届浙江省部分市学校高三上9+1联考】设函数.（1）求的单调递增区间；（2）若角满足， ， 的面积为，求的值.【答案】(1) ， ；(2) .【解析】试题分析：（1）函数解析式利用三角恒等变换化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间；（2）由及的解析式求出的值，再利用三角形面积公式及，求出，然后根据余弦定理即可求出的值.试题解析：（1） ，令， ，得， .又，化简得，则.例9.【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知向量，函数.（1）求的对称中心；（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（1）由，令即可得对称中心；（2）由，得，进而根据正弦函数的图象即可得最值.（2）由（1）得，因为，所以，所以时，即， 的最大值为，当时，即时， 的最小值为.点睛：本题考查的知识点比较多，主要考查二倍角公式、两角差的正弦公式及三角函数的最值，属于中档题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：化成的形式利用配方法求最值；形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；型，可化为求最值 .本题是利用方法的思路解答的.例10【2017江苏，16】 已知向量 （1）若ab,求x的值； （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，fx取得最大值，为3； 时，fx取得最小值，为.【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘： 【精选精练】1函数 的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题 为振幅，有其控制最大、最小值， 控制周期，即，通常通过图象我们可得和， 称为初象，通常解出， 之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.2【2018届河北省衡水金卷一模】已知函数fx=-2cosx0的图象向左平移00,0)的图象求解析式(1)|A|=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2.(2)由函数的周期T求,T=2.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.3【2018届广东省佛山市高三检测（二）】已知函数fx=sinx-4(0)的图象在区间1,2上不单调,则的取值范围为( )A. 38,+ B. 38,3478,+ C. 38,7874,+ D. 34,+【答案】B【解析】因为x(1,2)时x-4(-4,2-4)，因此的取值范围为(38,34)(78,74)(118,114)(4k+38,4k+34)=(38,34)(78,+)，选B.【点睛】函数y=Asin(x+)+B(A0,0)的性质(1)ymax=A+B，ymin=A-B.(2)周期T=2.(3)由 x+=2+k(kZ)求对称轴(4)由-2+2kx+2+2k(kZ)求增区间; 由2+2kx+32+2k(kZ)求减区间4【2018届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考模拟（三）】已知函数f(x)=2sin(x+)(0,02) f(x1)=2,f(x2)=0，若|x1-x2|的最小值为12，且f(12)=1，则f(x)的单调递增区间为（ ）A. -16+2k,56+2k,kZ B. -56+2k,16+2k,kZ.C. -56+2k,16+2k,kZ D. 16+2k,76+2k,kZ【答案】B【解析】分析：易知|x1-x2|的最小值为T4，从而得，再将f(12)=1代入求解的=3，令-2+2kx+32+2k,kZ，即可得解.详解：由f(x1)=2,f(x2)=0，且|x1-x2|的最小值为12，可知：T4=12，T=2=，又f(12)=1，则=3+2k,kZ，点睛：研究三角函数f(x)=Asin(x+)的性质，最小正周期为2|，最大值为|A|.求对称轴只需令x+=2+2k,kZ，求解即可，求对称中心只需令x+=k,kZ，单调性均为利用整体换元思想求解.5【2018届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模】函数fx=1-3sin2x+6的值域为_【答案】-2,4【解析】-1sin(2x+6)1-3-3sin(2x+6)3-21-3sin(2x+6)4函数fx=1-3sin2x+6的值域为-2,4.6【2018届四川省雅安市高三下学期三诊】函数f(x)=3sin(2x+3)的图象在区间(0,2)上的对称轴方程为_【答案】x=127【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】已知函数fx=sinx+74+cos(x-34)(）求f(x)的最小正周期和最大值;()求函数y=f(-x)的单调减区间【答案】（）最小正周期是2，最大值是2（）(54+2k，94+2k)(kz) 【解析】试题分析：1利用两角和与差的余弦公式，二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，即可得到f(x)的最小正周期和最大值2先求出f(-x)=2sin(x-34)，再求单调区间解析：（）因为sin(x74)cos(x34），所以f(x)2sin(x74）=-2sin(x+34).所以函f(x)的最小正周期是2，最大值是2（）因为f(-x)=2sin(x-34)，所以单调递减区间为(54+2k，94+2k)(kz)8【浙江省台州中学2018届第三次统练】已知向量, ，记(1) 若 ，求的值；(2) 在锐角 中，角 的对边分别是 且满足 ，求 的取值范围【答案】（1）；(2) .点评：1.本题考查解三角形，利用正弦定理进行边角互化，继而求出的值；高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.9.【2018届四川省雅安市高三下学期三诊】已知函数fx=2cos2x+sin76-2x-1 xR.（1）求函数fx的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知fA=12，若b+c=2a，且ABAC=6，求a的值.【答案】（1）最小正周期：T=，单调递增区间为：k-3,k+6(kZ)；（2）a=23.【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换可得f(x)=sin(2x+6)，从而可得函数fx的最小正周期，再根据2k-22x+62k+2(kZ)可解得单调增区间；（2）由fA=12，可得A的值，再根据b+c=2a及ABAC=6，即可解得bc，结合余弦定理，即可求得a的值.试题解析：（1）f(x)=sin(76-2x)-2sin2x+1=-12cos2x+32sin2x+cos2x=12cos2x+32sin2x =sin(2x+6).最小正周期：T=22=， A=3 又2a=b+c， ABAC=bccosA=12bc=6bc=12，cosA=12=(b+c)2-a22bc-1=4a2-a224-1=a28-1a=23.10【2018届北京市京源学校高三十月月考】 已知函数, .（）求函数的最大正周期与单调增区间值;（）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（）最小正周期是: ,；（）最小值为0，最大值为1.【解析】试题分析：（）利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为 ，故而可得周期，解不等式可得单调增区间；（）根据的范围，计算出的范围，结合正弦函数的性质可得其最值.试题解析：（） 所以,即,所以, 当且仅当时, 取最小值, ,当且仅当时,即时取最大值, .11.【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2xcos2x sin x cos x（xR）（）求的值（）求的最小正周期及单调递增区间【答案】（）2；（）最小正周期为，单调递增区间为【解析】（）由与得【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解12【2018届广西陆川县中学高三12月月考】已知函数.（）求函数在的单调递减区间；（）在锐角中，内角， ， ，的对边分别为， ， ，已知， ， ，求的面积.【答案】（1）和；（2）.试题解析：（）由已知得 .， 又函数在的单调递减区间为和. （）由（1）知锐角， 又，即.又 .
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