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第6课时离散型随机变量的均值与方差基础达标(水平一)1.某袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球,现从中随机摸取1个球,有放回地摸取5次,设摸到的白球数为X,若E(X)=3,则D(X)=().A.85B.65C.45D.25【解析】由题意知XB5,3m+3,因为E(X)=53m+3=3,解得m=2,所以XB5,35,故D(X)=53525=65.【答案】B2.设投掷一枚质地均匀的骰子的点数为,则().A.E()=72,D()=494B.E()=72,D()=3512C.E()=494,D()=72D.E()=494,D()=3516【解析】由题意知,的可能取值为1,2,3,4,5,6.P(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=P(=5)=P(=6)=16,E()=116+216+316+416+516+616=72,D()=1-722+2-722+3-722+4-722+5-722+6-72216=3512.【答案】B3.设随机变量的分布列为P(=k)=Cnk23k13n-k,k=0,1,2,n,且E()=24,则D()的值为().A.8B.12C.29D.16【解析】由题意可知Bn,23,E()=23n=24,n=36.D()=n231-23=3629=8.【答案】A4.某一供电网络有n个用电单位,若每个单位在一天中使用电的机会是p,则供电网络一天中平均用电的单位个数是().A.np(1-p) B.npC.nD.p(1-p)【解析】由题意知,一天中用电单位的个数X服从二项分布,即XB(n,p),故E(X)=np.【答案】B5.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对的概率为12,乙、丙做对的概率分别为m、n(mn),且三位学生是否做对相互独立,记X为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为X0123P14ab124则X的数学期望为.【解析】由题意,得1-12(1-m)(1-n)=14,12mn=124,又mn,解得m=13,n=14.由题意知,a=122334+121334+122314=1124,b=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1-14-1124-124=14.故E(X)=014+11124+214+3124=1312.【答案】13126.一个人有n把钥匙,其中只有一把能打开他的房门,他随意地试开,并将打不开房门的钥匙除去,则打开房门所试开次数X的数学期望是.【解析】由于每次打开房门的概率都是1n,因此E(X)=11n+21n+n1n=n+12. 【答案】n+127.某市教育与环保部门联合组织该市中学生参加环保知识团体竞赛.根据比赛规则,某中学选拔出8名同学组成参赛队,其中初中部选出的3名同学中有2名女生;高中部选出的5名同学中有3名女生.竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.(1)设“选出的4人中恰有2名女生,而且这2名女生来自同一个部”为事件A,求事件A的概率P(A);(2)设X为选出的4人中女生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】(1)由已知得P(A)=C22C32+C32C32C84=635,所以事件A的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4).所以随机变量X的分布列为X1234P1143737114所以随机变量X的数学期望E(X)=1114+237+337+4114=52.拓展提升(水平二)8.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为().A.126125B.65C.168125D.75【解析】X的可能取值为0,1,2,3.大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3个面,所以P(X=3)=8125;大正方体每条棱上对应的小正方体除了两个顶点处的还有3个,一共312=36个小正方体涂有2个面,所以P(X=2)=36125;大正方体每个面上对应的小正方体除去棱上的还有9个,一共96=54个小正方体涂有1个面,所以P(X=1)=54125;还有125-(8+36+54)=27个没有涂漆的小正方体,所以P(X=0)=27125.故E(X)=027125+154125+236125+38125=65.【答案】B9.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发3次球,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)1.75,则p的取值范围是().A.0,712B.712,1C.0,12D.12,1【解析】由已知可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=1p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+31.75,解得p52或p12.又p(0,1),所以p0,12.【答案】C10.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1x2,若E(X)=43,D(X)=29,则x1+x2的值为.【解析】由题意得x123+x213=43,x1-43223+x2-43213=29,即2x1+x2=4,2x1-432+x2-432=23,解得x1=53,x2=23或x1=1,x2=2.x1x2,x1=1,x2=2,x1+x2=3.【答案】311.从一批产品中抽取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n,如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【解析】(1)设“第一次取出的4件产品中恰有3件优质品”为事件A,“第二次取出的4件产品都是优质品”为事件B,“第一次取出的4件产品中全为优质品”为事件C,“第二次取出的1件产品是优质品”为事件D,“这批产品通过检验”为事件E,P(E)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C4312312124+C4412412=364.(2)X的可能取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-C4312312-124=1116,P(X=500)=124=116,P(X=800)=C4312312=14,X的分布列为X400500800P111611614E(X)=4001116+500116+80014=506.25.
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