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3.1导数的概念及运算考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义2017课标全国,14;2017天津,10;2016山东,10;2015课标,14;2015课标,16选择题、填空题2.导数的运算1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数2016天津,10;2015天津,11选择题、解答题分析解读本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.五年高考考点一导数的概念与几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A2.(2014陕西,10,5分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()A.y=12x3-12x2-xB.y=12x3+12x2-3xC.y=14x3-xD.y=14x3+12x2-2x答案A3.(2017天津,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案14.(2017课标全国,14,5分)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=05.(2016课标全国,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x6.(2015课标,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则a=.答案17.(2015课标,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案88.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.答案(e,e)教师用书专用(915)9.(2014广东,11,5分)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案5x+y+2=010.(2013江西,11,5分)若曲线y=x+1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则=.答案211.(2013广东,12,5分)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.答案1212.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x2ex.已知曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解析(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为2,所以f (1)=2,又f (x)=ln x+ax+1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2ex,当x(0,1时,h(x)1-1=0,所以存在x0(1,2),使得h(x0)=0.因为h(x)=ln x+1x+1+x(x-2)ex,所以当x(1,2)时,h(x)1-1e0,当x(2,+)时,h(x)0,所以当x(1,+)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x(0,x0)时, f(x)g(x),所以m(x)=(x+1)lnx,x(0,x0,x2ex,x(x0,+).当x(0,x0)时,若x(0,1,m(x)0;若x(1,x0),由m(x)=ln x+1x+10,可知00,m(x)单调递增;x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减,可知m(x)m(2)=4e2,且m(x0)0,函数f(x)在(0,+)上单调递增,当a0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).当a=-12时,=0,f (x)=-12(x-1)2x(x+1)20,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当a-12时,0,g(x)0,f (x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当-12a0,设x1,x2(x10,所以x(0,x1)时,g(x)0,f (x)0,f (x)0,函数f(x)单调递增,x(x2,+)时,g(x)0,f (x)0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a0时,函数f(x)在(0,+)上单调递增;当a-12时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当-12a0且g(1)0,即-3t-1时,因为g(-1)=t-70,所以g(x)分别在区间-1,0),0,1)和1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-,0)和(1,+)上单调,所以g(x)分别在区间(-,0)和1,+)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.15.(2013北京,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.(1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a)处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.解析由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f (x)=x(2+cos x).(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a)处与直线y=b相切,所以f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.(2)令f (x)=0,得x=0.f(x)与f (x)的情况如下:x(-,0)0(0,+)f (x)-0+f(x)1所以函数f(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,所以f(0)=1是f(x)的最小值.当b1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b1时,f(-2b)=f(2b)4b2-2b-14b-2b-1b,f(0)=11时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+).考点二导数的运算1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为.答案32.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数, f (x)为f(x)的导函数.若f (1)=3,则a的值为.答案3三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一导数的概念与几何意义1.(2018广东佛山一中期中考试,11)已知f(x)=(x+a)ex的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案A2.(2017四川名校一模,6)已知函数f(x)的图象如图, f (x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是()A.0f (2)f (3)f(3)-f(2)B.0f (3)f (2)f(3)-f(2)C.0f (3)f(3)-f(2)f (2)D.0f(3)-f(2)f (2)0,2ax+2+a,x0,且f(-1)=f(1),则当x0时,f(x)的导函数f(x)的极小值为.答案25.(2017天津红桥期中联考,16)若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案(-,0)三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2018广东惠州一调,21)设函数f(x)=lnx+1x.(1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程;(2)当x1时,不等式f(x)-1xa(x2-1)x恒成立,求a的取值范围.解析(1)根据题意可得,f(e)=2e,f (x)=-lnxx2,所以f (e)=-ln ee2=-1e2,所以曲线在点(e,f(e)处的切线方程为y-2e=-1e2(x-e),即x+e2y-3e=0.(2)根据题意可得,f(x)-1x-a(x2-1)x=lnx-a(x2-1)x0在x1时恒成立,令g(x)=ln x-a(x2-1)(x1),所以g(x)=1x-2ax,当a0时,g(x)0,所以函数y=g(x)在1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=0,所以不等式f(x)-1xa(x2-1)x成立,故a0符合题意;当a0时,令1x-2ax=0,解得x=12a(舍负),令12a=1,解得a=12,当0a1,所以在1,12a上,g(x)0,在12a,+上,g(x)0恒成立,又0a12,所以h(a)h12=-ln12-2+12=ln 2-320,所以存在g1a0,所以0a12不符合题意;当a12时,12a1,g(x)0时,f(x)0恒成立,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)=1e,所以切点坐标为-1,1e,f (x)=ex-2x-2,所以f (-1)=1e,故曲线y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程为y-1e=1ex-(-1),即y=1ex+2e.(2)对f(x)=ex-ax2-2ax-1求导得f (x)=ex-2ax-2a,令g(x)=f (x)=ex-2ax-2a(x0),则g(x)=ex-2a(x0).当2a1,即a12时,g(x)=ex-2a1-2a0,所以g(x)=f (x)=ex-2ax-2a在(0,+)上为增函数,所以g(x)g(0)=1-2a0,则f(x)在(0,+)上为增函数,所以f(x)f(0)=1-0-0-1=0,故a12时符合题意.当2a1,即a12时,令g(x)=ex-2a=0,得x=ln 2a0,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表,x(0,ln 2a)ln 2a(ln 2a,+)g(x)-0+g(x)减函数极小值增函数当x(0,ln 2a)时,g(x)g(0)=1-2a0,即f (x)0.所以f(x)在(0,ln 2a)上为减函数,所以f(x)0,在(ln 2,+)上,g(x)0恒成立,则下列不等式成立的是()A.f(-3)f(4)f(-5)B.f(4)f(-3)f(-5)C.f(-5)f(-3)f(4)D.f(4)f(-5)f(-3)答案A2.(2017辽宁大连期中联考,6)已知函数f(x)=x2 008,则f 12 00812 007=()A.0B.1C.2006D.2007答案B方法2利用导数的几何意义求曲线的切线方程3.(2018河南天一大联考,10)已知f(x)是定义在R上的单调函数,满足ff(x)-ex=1,则曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程为()A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1答案A4.(2016辽宁实验中学分校期中,20)已知函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a(a,bR),其导函数f (x)的图象过原点.(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;(2)若存在x0,使得f (x)=-9,求a的最大值;解析(1)f (x)=x2-(a+1)x+b,由题意得f (0)=0,故b=0.所以f (x)=x(x-a-1).当a=1时,f(x)=13x3-x2+1,f (x)=x(x-2),故f(3)=1,f (3)=3.故函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.(2)由f (x)=-9,得x(x-a-1)=-9.当x0时,-a-1=-x-9x=(-x)+-9x2(-x)-9x=6,所以a-7.当且仅当x=-3时,a=-7,故a的最大值为-7.
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