2017年电大数学思想与方法小抄

.数学思想与方法一、单项选择题1算法的有效性是指（ C ） 。P.122C如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解2所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（A ）的一种思想方法。P156A由数思形、见形思数、数形结合考虑问题3古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用，以（ D ）为典范。P1D中国的九章算术4数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（ B ）的趋势。P46B数学的各个分支相互渗透和相互结合5学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（ B ） 。P197B潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段6在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是（B ） 。P1B古希腊欧几里得的几何原本7随机现象的特点是（A ） 。P23A在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果8演绎法与（ D ）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。P67D归纳法9在化归过程中应遵循的原则是（ A ） 。P105A简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则10 （C ）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。P191C数学思想方法11所谓类比，是指（ B ） 。P75B由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法12猜想具有两个显著特点：（ D ） 。P73D科学性与推测性13所谓数学模型方法是（ A ） 。P132A利用数学模型解决问题的一般数学方法14数学模型具有（ C ）特性。P131C抽象性、准确性和演绎性、预测性15概括通常包括两种：经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识（ A ）的认识。P64A由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性16三段论是演绎推理的主要形式，它由（D ）三部分组成。P94D大前提、小前提和结论17传统数学教学只注重（B ）的传授， 而忽略对知识发生过程中（ ）的挖掘。P183B形式化数学知识，数学思想方法18特殊化方法是指在研究问题中， （ B ）的思想方法。P164B从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合19分类方法的原则是（ D ） 。P151D不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分20数学模型可以分为三类：（ C ） 。P131C概念型、方法型、结构型21数学的第一次危机是由于出现了（ C ）而造成的。P82C无理数（或 ）222算法大致可以分为（ A ）两大类。P128A多项式算法和指数型算法23 归纳法是通过对一些（ ）情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。B. 个别的、特殊的.24类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是（ B ） 。P78B联想 类比 猜测25归纳猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤是（ D ） 。P74D特例 归纳 猜测（想）26所谓统一性，就是（ C ）之间的协调。P46C部分与部分、部分与整体27中国九章算术 （ A ）的算法体系和古希腊几何原本 （ ）的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。P1A以算为主 逻辑演绎28公理化方法就是从（ D ）出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其它一切命题的一种演绎方法。P95D初始概念和公理29数学的第二次危机是 17世纪伴随牛顿和莱布尼兹创立（ A ）而产生的。P83A微积分30我国数学课程标准 （实验稿）的总体目标指出，数学知识包括（ B ）和( ） 。P183B数学事实 数学活动经验31所谓特殊化是指在研究问题时， （ D ）的思想方法。P164D从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合32不完全归纳法是根据（ D ） ，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。P68D对某类事物中的部分对象的分析33公理化的三条逻辑上的要求是（ D ） 。P37D独立性、无矛盾性、完备性34 九章算术系统地总结了先秦和东汉初年我国的数学成就，经过历代名家补充、修改、增订而逐步形成，现传世的九章算术是三国时期魏晋数学家（ B ）注释的版本。P6B刘徽35 几何原本是一本极具生命力的经典著作，全书共十三卷 475个命题，包括 5个（ C ） 、5个（ ） 。P2C公式 公理36数学思想方法教学主要有（ B ）三个阶段。P198B多次孕育、初步理解、简单应用37化隐为显原则是数学思想方法教学原则之一，它的含义就是把隐藏在数学知识背后的（ A ）显示出来，使之明朗化，以达到教学目的。P199A数学思想方法38在数学学科中人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学，如代数、几何、方程、微积分等。但是确定数学无法定量地揭示（ ） ，它的这种局限性迫使数学家们建立一种专门分析（ A ）的数学工具。这个数学工具就是（ ） 。P22A随机现象 随机现象 概率理论和数理统计39 小学生的思维特点是（ D ） 。P197D具体形象思维40.古埃及数学最辉煌的成就可以说是（ ）的发现。B. 四棱锥台体积公式41. 欧几里得的几何原本几乎概括了古希腊当时所有理论的（ ） ，成为近代西方数学的主要源泉。C. 数论及几何学42. 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（ ）的方法。D. 天文测量43.几何原本中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（ ） 。D. 柏拉图学派44.数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（ ）已经形成了一些几何与数目概念。C. 六七千年前45.在丢番图时代(约 250)以前的一切代数学都.是用（ ）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（ ）表示。B. 文字，文字46.古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（ ） ，这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。A. 100亿年47.巴比伦人是最早将数学应用于（ ）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程A. 商业48.九章算术成书于（ ） ，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。A. 西汉末年49.根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（ ）中演绎出的结论。D. 初始原理50.几何原本就是用（ ）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。D. 逻辑51.九章算术确定了中国古代数学的框架，不仅以（ ）归纳体系、 （ ）内容、 （ ）方法为特点影响我国数学成就的建立，而且在培养和造就我国数学家方面起到了促进作用。D. 开放的、算法化的、模型化的52.九章算术确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点。 九章算术亦有其不容忽视的缺点：没有任何（ ）数学概念的定义，也没有给出任何（ ） 。C. 数学概念,推导和证明53. 欧几里得的几何原本是一本极具生命力的经典著作,它的著名的平行公设是（ ） 。C. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交54.几何原本最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容：（ ） 。A. 定义、公理、公设、命题55.九章算术是中国汉族学者在古代第一部数学专著，它的内容十分丰富，全书采用（ ）的形式，与生产、生活实践密切相关。B. 问题形式56.九章算术是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，成书于（ ）左右。A. 公元一世纪57.九章算术的叙述方式以（ ）为主，先给出若干例题，再给出解法；几何原本的叙述方以（ ）为主，先给出公理，再通过逻辑推出其他命题。B. 归纳,演绎58.九章算术是我国古代的一本数学名著。“算”是指（ ） ， “术”是指（ ） 。D. 算筹、解题方法59.几何原本的理论体系并不是完美无缺的,比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在（ ）中起什么作用。D. 逻辑推理60. 从 16世纪开始，自然科学研究的中心问题是运动，科学家们相信对各种运动过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究可以用数学来描述。因此，作为运动着的量的一般性质及各个数量之间存在着相依而变的规律，科学家们引出了数学的一个基本概念（ ） 。D. 函数61.初等数学都是以（ ）为其研究对象，运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象，对于运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。B. 不变的数量和固定的图形62.就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定数学到随机数学等是数学思想方法的几次重要突破。代数形.成解决了具有复杂（ ）的问题，变量数学创立刻划了（ ）的事物与现象，随机数学出现揭示了（ ）背后所蕴涵的规律。D. 数量关系，运动与变化，随机现象63.代数不但讨论正整数、正分数和零，而且讨论负数、虚数和复数。其特点是用（ ）来表示各种数A. 字母符号64. 第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。而这场争论是指（ ） 。B. 无穷小量究竟是不是零65. 算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种（） ，并依据问题的条件列出用（ ）表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。D. 已知数据，已知数据66.人们在社会实践活动常常遇到两类截然不同的现象，一类是确定性现象；另一类是随机现象。随机现象并不是杂乱无章的现象，当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性。于是，一种专门适用于分析随机现象的数学工具（ ）诞生了。B. 概率理论与数理统计67.变量数学产生的数学基础应该是（ ） ，标志是（ ） 。C. 解析几何、微积分68.第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前 400年左右的古希腊时期，自（ ）的发现起，到公元前 370年左右，以（ ）的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派。A. 69.代数学形成过程经历了漫长过程：（ ） 。B. 文字代数，简写代数，符号代数70.客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。因此，数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构：（ ）,然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构。可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。C. 代数结构、序结构和拓扑结构71.哥德尔不完备性定理是他在 1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。它证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是（ ）的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。A. 自洽72.公理方法就是从（ ）出发，按照一定的规定（逻辑规则）定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。A. 初始概念和公理73.第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的（ ） ，促使了数理逻辑这门学科诞生，其中，十九世纪七十年代康托尔创立的（ ）是产生危机的直接来源。B. 数学化集合论74.公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：（ ） ，用它们建构起来的理论体系典范分别对应的是几何原本 、 几何基础和 ZFC公理系统。D. 实质公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段75.罗素悖论引发了数学的第三次危机，它的一个通俗解释就是理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城.所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”现在的问题是：如果理发师的胡子长了，他能给自己刮脸吗？（ ）C. 无结果76.为避免数学以后再出现类似问题，数学家对集合论的严格性以及数学中的概念构成法和数学论证方法进行逻辑上、哲学上的思考，其目的是力图为整个数学奠定一个坚实的基础。随着对数学基础的深入研究，在数学界产生了数学基础研究的三大学派：（ ） 。D. 逻辑主义、直觉主义、形式主义77.自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究对象是否具有（ ） ，定量研究揭示研究对象具有某种特征的（ ） 。A. 某种特征数量状态78.哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们：真与可证是两个概念， （ ） 。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。C. 可证的一定是真的，但真的不一定可证79.强抽象就是指通过把些（ ）加入到某一概念中而形成（ ）的抽象过程。A. 新特征新概念80.弱抽象又称“概念扩张式抽象” ，是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。这时，原型成为新的概念或理论的（ ） 。A. 特例81. 例如， “等腰直角三角形等腰三角形直角三角形三角形”这是一个（ ）过程。弱抽象82.概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个（ ） 。D. 属概念83. 例如， “菱形等边四边形平行四边形四边形”这是一个（ ）过程。A. 强抽象84.人们在思维中，抽象过程是通过一系列的（ ）的思维操作实现的。C. 比较、区分、舍弃和收括85.抽象是对同类事物抽取其（ ）的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。D. 共同86. 一个概括过程包括（ ）等几个主要环节。D. 比较、区分、扩张和分析87. 概括就是把同类事物的（ ）联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。B. 共同属性88.抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有（ ） 。A. 种属关系89.猜想就是根据事物的现象，对其本质属性进行（ ） ，或者是根据一类事物中的个别事物的属性对该类事物的共同属性进行（ ） ，这样的思维方法叫做猜想。D. 推测、推测90.人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（ ） 。A. 类比猜想91.人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（ ） 。C. 归纳猜想法92. 数学猜想具有两个明显的特点：（ ）与（ ） 。B. 科学性、推测性93.完全归纳法是根据对某类事物中的（ ）.的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。C. 每一对象94.反驳反例是用（ D ）否定（ ）的一种思维形式。P81D特殊 一般95.反例反驳的理论依据是形式逻辑的( )A. 矛盾律96.三段论：“偶数能被 2整除，是偶数，所以能被 2整除” 。A. “是偶数”是小前提97. 三段论：“因为 3258的各位数字之和能被3整除，所以 3258能被 3整除” 。D. “各位数字之和能被 3整除的数都能被 3整除”是省略的大前提98.在化归过程中应遵循以下几个原则：（ ） 。C. 简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则99. 数学公理发展有三个阶段：欧氏空间、各种几何空间、 （ ） 。C. 一般意义上的空间100.演绎推理是以一个（ ）一般性判断（或再加上一个特殊的判断）为前提，推出一个作为结论的判断的推理形式。A. 个别的或特殊的101. 化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类（ ）的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。A. 已经能解决或者比较容易解决102.古希腊欧几里得的几何原本是人们所建立的第一个公理体系，由于它具有特定的研究对象，其公理以人们的直观经验为基础反映为认为公理是自明的，所以称为（ ）的公理体系。C. 具体103.演绎推理的根本特点是（ ） 。C. 前提为真，结论必真104. 化归方法包括三个要素：（ ） 。D. 化归对象、化归目标和化归途径105.化归的途径：（ ） 。B. 分解、组合、恒等变形106.在古代的游戏与赌博活动中就有（ ）的雏形，但是作为一门学科则产生于 17世纪中期前后，它的起源与一个所谓的点数问题有关。A. 概率思想107.算法具有下列特点：（ ） 、 （ ） 、 （ ） 。A. 有限性、确定性、有效性108. 所谓计算是指根据已知数量通过（ ）求得未知数。计算是一种重要的数学方法，任何一门科学所采用的定量分析都离不开计算。C. 数学方法109.算术与代数的解题方法基本思想的区别:算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是（ ） ，而代数方法的关键之处是（ ） 。C. 列算式、列方程110. 算法大致可以分为（ ）和（ ）两大类。B. 多项式算法、指数型算法111.代数解题方法的基本思想是，首先依据问题的条件组成内含（ ）的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。C. 已知数和未知数112.计算工具的发展:经历了（ ） ；手摇计算机、对数计算尺等机械式计算工具；电动式计算机；机电式计算机；。集成电路计算机、大规模集成电路计算机几个主要阶段。B. 古代的计算工具113.算法是由一组（ ）组成的一个过程。一个算法实质上就是解决一类问题的一个处方。B. 有限规则114.在计算机时代， （ ）已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。A. 计算方法115. 鸽笼原理可叙述为：若 n+1只鸽子飞进.n个笼子里，则至少有一个笼子里至少飞进（ ）只鸽子。B. 2116. 数学学科的新发展分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其（ ） 。B. 结构与原先一样117.英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别以（ ）为背景用无穷小量方法建立了微积分。D. 物理学和几何学118.数学建模是指根据具体问题，在一定假设下使（ ） ，建立起适合该问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行检验的全过程。A. 问题化简119.数学建模的基本步骤：弄清实际问题、 （ ） 、建模、求解、检验。A. 化简问题120.已知某物体在运动过程中，其路程函数 S(t)是二次函数，当时间 t=0、1、2 时，S(t)的值分别是 0、3、8。求路程函数。A. 121.数学模型具有（抽象性） 、 （准确性） 、 （ ） 、 （ ）特性。C. 演绎性、预测性122. 数学模型可以分为三类：(1)概念型数学模型；(2)（ ） ；(3)结构型数学模型。D. 方法型数学模型123.在建立数学模型的过程中， （ ）这一环节是很重要的。B. 数学抽象124.数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的（ ）进行分类。D. 外部特征或外部联系125. 数学教育效益，是指通过一定时间的教学后，学生在数学学习方面能获得的发展和进步。数学教育效益既包括学生获取（ ）的效益，也包括学生掌握（ ）以及提高学习能力的效益。C. 数学知识、数学实验步骤126.一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行（ ） 、 （ ）的划分。A. 不重复、无遗漏127.菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：（ ）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。A. 组邻边相等128.所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的（ ）的思想方法。C. 较小集合129.所谓本质分类，即根据事物的（ ）进行分类。A. 本质特征或内部联系130.数学思想方法，是指现实世界的（ ）反映到人们的意识之中，经过（ ）而产生的结果。数学思想方法是对数学事实和理论经过概括后产生的本质认识。B. 空间形式和数量关系、思维活动131.匀速直线运动的数学模型是（ ） 。A. 一次函数132.特殊化的作用在于，当研究的对象比较复杂时，通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象有个初步了，且它的作用还在于，事物的（ ）存在于（ ）之中B. 共性、个性二、填空题1所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形，见形思数，数形结合考虑问题）的一种思想方法。2古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用，以（九章算术 ）为典范。3不完全归纳法是根据（对某类事物中的部分.对象的分析） ，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。4公理化的三条逻辑上的要求是（独立性、无矛盾性、完备性） 。5 九章算术系统地总结了先秦和东汉初年我国的数学成就，经过历代名家补充、修改、增订而逐步形成，现传世的九章算术是三国时期魏晋数学家（刘徽）注释的版本。6 几何原本是一本极具生命力的经典著作，全书共十三卷 475个命题，包括 5个（公设） 、5个（公理） 。7数学思想方法教学主要有（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。8化隐为显原则是数学思想方法教学原则之一，它的含义就是把隐藏在数学知识背后的（数学思想方法）显示出来，使之明朗化，以达到教学目的。9在数学学科中人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学，如代数、几何、方程、微积分等。但是确定数学无法定量地揭示（随机现象） ，它的这种局限性迫使数学家们建立一种专门分析（随机现象）的数学工具。这个数学工具就是（概率理论和数理统计） 。10 小学生的思维特点是（具体形象思维） 。11三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。12演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。13 （数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。14分类方法具有三个要素：（被划分的对象、划分后所得的类的概念、划分的标准） 。15数学研究的对象可以分为两类：一类是（研究数量关系的） ，另一类是（研究空间形式的） 。16所谓社会科学数学化就是指（数学向社会科学渗透） ，也就是运用（数学方法）来揭示社会现象的一般规律。17在古代的（游戏和赌博）活动中就有概率思想的雏形，但是作为一门学科则产生于 17世纪中期前后，它的起源与一个所谓的点数问题有关。18在数学中建立公理体系最早的是（几何学） ，而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里得的（几何原本 ） 。19 九章算术是世界上最早系统地叙述（分数）运算的著作，它关于（负数）的论述也是世界上最早的。20数学知识与数学思想（方法）是数学教学的两条主线， （数学知识）是一条明线，它被写在教材中；（数学思想）则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中。21推动数学发展的原因主要有两个：（1）（实践的需要，（2）理论的需要）数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。22、匀速直线运动的数学模型是（一次函数）23、反例反驳的理论依据是形式逻辑的（矛盾律）24、19 世纪在公理法方面取得了突破性进展，在这个基础上，抽象的公理法进一步向形式化方向发展。25、化归方法的基本原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。26学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段） 。27面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者（找出反例说明此猜想为假） ，并且进一步修正或否定此猜想。28变量数学产生的数学基础是（解析几何） ，标志是（微积分） 。29化归方法是将（待解决的问题）转化为已知问题。.30公理方法是从尽可能少的初始概念和公理出发，应用严格的（逻辑推理） ，使一门数学构建成为演绎系统的一种方法31数学猜想具有两个明显的特点：（科学性）与（推测性） 。32. 在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得（几何原本）33分类必须遵循的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分） 。34深层类比又称实质性类比，它是通过（对被比较对象的处于相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析）而得到的类比。35概括通常包括两种：经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识（由对个体特性的认识上升为对个体所属种的特性）的认识。36算法大致可以分为（多项式算法和指数型算法）两大类。37反驳反例是用（一个反例）否定（猜想）的一种思维形式。38类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是（联想-类比-猜测） 。39归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是（猜测-归纳-特例） 。40传统数学教学只注重（形式化的）的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。41所谓统一性，就是（部分与部分、部分与整体）之间的协调。42中国九章算术 （以算为主）的算法体系和古希腊几何原本 （逻辑演绎）的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。43所谓数学模型方法是（利用数学模型解决问题的一般数学方法） 。44所谓特殊化是指在研究问题时， （从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。45算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解） 。46数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。47随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果） 。48在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则） 。49特殊化方法是指在研究问题中， （从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。50分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分） 。51数学模型可以分为三类：（ 概念型、方法型、结构型） 。52强抽象就是指，通过（把一些新的特征加入到某一概念中）而形成新概念的抽象过程。53菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：（一组邻边相等） ，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。54 几何原本所开创的（公理化方法）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。55所谓类比，是指（由一类事物所具有的某种属性可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法） ；常称这种方法为类比法，也称类比推理。56猜想具有两个显著特点：（一是具有一定的科学性，二是具有一定的推测性） 。57数学模型具有（抽象性、准确性和演绎性、预测性）特性。58化归方法是指， （数学家们把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法） 。59在计算机时代， （计算方法 ）已成为与理.论方法、实验方法并列的第三种科学方法。60算法具有下列特点：（有限性、确定性、有效性） 。61化归方法的三个要素是：（化归对象、化归目标、化归途径） 。62根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。63一个概括过程包括（比较、区分、扩张、分析等几个主要环节）等几个主要环节。64古代数学大致可以分为两种不同的类型：一种是（崇尚逻辑推理） ，以几何原本为代表；一种是（长于计算和实际应用） ，以九种算术为典范。65 九章算术思想方法的特点主要有（开放的归纳体系、算法化的内容、模型化的方法） 。66初等代数的特点是（用字母符号来表示各种数，研究的对象主要是代数式的计算和方程的求解） 。67、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（两边相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。68、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。69、在化归过程中，应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）70、所谓特殊化是指在研究问题过程中（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。71、数学从研究对象大致可以分成两大类，（数量关系、空间形式）72等腰三角形概念的抽象过程，就是把一个新的特征： 两边相等 加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化73类比法是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 的一种推理方法74。面对一个问愿，经过认真的观察和思考，过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面人手；演绎证明此猜想为真；或者 寻找反例说明此猜想为假并且进一步修正成否定此猜想 75数学的研究对象大致可以分成两类 研究数量关系， 研究空间形式 。76。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象， 不重复无遗漏 进行的划分。三、判断题1提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。（ ）2一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。 （ ）3数学中的许多问题都无法归结为寻找具体算法的问题。 （ ）4计算是随着计算机的发明而被人们广泛应用的方法。 （ ）5反例在否定一个命题时它并不具有特殊的威力。 （ ）6在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。 （ ）7分类可使知识条理化、系统化。 （ ）8既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。 （ ）9对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。 （ ）10完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。 （ ）11数学模型方法是近代才产生的。 （ ）12在小学数学教学中，本教材所涉及到的数学思想方法并不多见。 （ ）13所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想。 （ ）14数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标 （ ）15.新颁发的数学课程标准中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的.新的理念。 （ ）16法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。 （ ）17由类比法推得的结论必然正确。 （ ）18计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。 （ ） 19贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。 （ ）20数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。 （ ）21如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。 （ ）22在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。 （ ）23 九章算术不包括代数、几何内容。 （ ）24特殊化是研究共性中的个性的一种方法。 （ ）25数学模型方法应用面很窄。 （ ） 26有时特殊情况能与一般情况等价。 （ ）27演绎的根本特点就是当它的前提为真时，结论必然为真。 （ ）28抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。 （ ）29抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。 （ ）30古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。 （ ）31完全归纳法的一般推理形式是：S nn AA、， 由 于， 21321具有性质 P，因此推断集合 S中的每一个对象都具有性质 P。 （ ）32 九章算术是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，它关于负数的论述也是世界上最早的。 （ ）33算术反映的是物体集合之间的函数关系。 （ ）34 几何原本是欧几里得独立创作的。 （ ）35.九章算术系统地总结了先秦和东汉初年我国的数学成就。 （ ）36.丢番图在其著作算术中用了许多符号，它标志着文字代数开始向简写代数转变，丢番图的算术是数学史上的里程碑。 （ ）37解析几何的产生主要归功于笛卡儿和费尔马。 （ ）38英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别以几何学和物理学为背景用无穷小量方法建立了微积分。 （ ）39随机现象就是杂乱无章的现象，无论是个别还是整体，其随机现象都没有规律性。 （） 40数学学科的新发展分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其结构与原先的一样。 （）41我国中小学数学成绩举世公认， “高分必然产生高创造力” ，我国中学生的科学测试成绩名列前茅。 （）42我国数学课程标准指出，数学知识就是“数与形以及演绎的知识” 。 （）.43在数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线，而且是两条明线。 （） 44数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。（） 45数学公理化方法在其他学科也能起到作用，所以它是万能的。 （）46数学模型具有预测性、准确性和演绎性，但不包括抽象性。 （）47猜想具有两个显著的特点：一定的科学性和一定的推测性。 （）48表层类比和深层类比其涵义是一样的。 （）49数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”最后由欧拉用一笔画方法解决了其无解。 （） 50分类方法具有两要素：母项与子项。 （）51算法具有无限性、不确定性与有效性。 （）52理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法。 （）53最早使用数学模型方法的当数中国古人。 （）54化归方法是一种发现问题的方法。 （）55类比猜想的主要步骤是：猜测 联想类比。 （）56尽管中西方对数学的贡献不同，但在数学思想方面是一致的。 （ ）57不可公度性的发现引发了第二次数学危机。（）58中学生只需理解数学思想方法就能运用自如了，不需经历多次孕育阶段。 （）59、抽象得到的新概念与表达原来的对象的概念之间一定有种属关系（否）60、即没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识（是）61、在解决数学解时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果（是）62、数学思想方法教学隶属于教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则，就可实现数学思想方法的教学目标（否）63抽象和概括是两种完全不同的方法 否64没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识是65数学模型方法是物理学、工程学的专利，在生物学、经济学、军事学等领域投有应用否66在解决敷学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能奏效是四、简答题1第一次数学危机最终如何解决了？ p83（p245）答：为了克服无理数悖论引发的危机，古希腊数学家发展了几何学中的比例论，它等价于无理数理论。当然，从理论上彻底解决这一危机还是靠现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限。第一次数学危机的结果是使数学逐渐走上了演绎科学的道路，为数学的公理化奠定了基础。2何谓化归方法？它遵循哪三个原则？p102-105答：所谓“化归” ，可以理解为转化和归结的意思。化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。它主要遵循：1、简单化原则；2、熟悉化原则；3、和谐化原则。3什么是公理方法和公理体系？p95-96答：公理方法就是从初始概念和公理出发，按照一定的规定（逻辑规则）定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。由初始概念、公理、定义、逻辑规则、定理等构成的演绎体系叫做公理体系。公理方法是构成公理体系的方法，公理体系是由公理方法得到的数学理论体系。4什么是类比猜想？并举一个例子说明。p77答：人类运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方.法称为类比猜想。例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母代替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。5数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。p200答：数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级地沿着螺旋式方向上升的。如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小。6简述几何原本思想方法特点。p3答：答：（1）封闭的演绎体系： 因为在几何原本中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过 的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上 对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。（2）抽象化的内容 ：它所探讨的是概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。（3）公理化的方法。 7什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。p121答：一个算法必须在有限步内终止。例如，十进制小数的除法的算法。若取数 4.5和 3作为初始数据，计算结果为 1.5.但对于初始数据 20和 3，计算过程为：过程为 无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。可见，十进小数除法对于 20和 3这组数不符合算法的有限性这个特点。8我国数学教育存在哪些问题？试举例子说明。p178-181答：我国数学教育存在的问题主要有：第一，数学教学重结果，轻过程；重解题训练，轻智力、情感开发；不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下。第二，重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力。例如，有道著名的测试题：“有一条船上，有 75头牛，32 头羊，问船长几岁？”学生把 75和 32两个数相加，得到 107，认为这不会是船长的年龄，相乘、相除又不合适，选择相减得出 43岁。美国著名数学教育家认为“这是我们把学生越教越笨的典型例子。 ”第三，学生课业负担过重。9简述公理化方法发展。p96-100答：公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。第一个具体的公理体系就是欧几里得的几何原本 。非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。希尔伯特的几何基础开创了形式化的公理体系的先河，现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，现代科学也尽量采用形式公理法作为研究和表述手段。10简述概括与抽象的关系。p65答：概括方法与抽象方法是不同的。抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而.形成关于这类事物的普遍概念。尽管有差别，但是又互相联系、密不可分。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是抽象思维过程中所必需的一个环节。11简述培养数学猜想能力的途径。p88-93答：引导学生面对问题，认真观察和思考，通过归纳或者类比提出猜想，演绎证明猜想为真，或者寻找反例说明猜想为假，有助于激发学生的创新精神。数学猜想能力培养途径：用猜想学习新知识；用猜想探究数学规律；用猜想帮助解题。12微积分产生可以归结为哪四类情况？p19答：1、已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度；反过来，已知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离；2、求曲线切线的斜率和方程；3、求函数的最大值和最小值；4、求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面围成的物体的重心。13常量数学应用的局限性是什么？p16答：初等数学都是以不变的数量（即常量）和固定的图形为其研究对象，运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。可是对于那些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。14为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系？p3答：因为在几何原本中，除了推导时所需要的逻辑规则外， 每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过 的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此几何原 本是一个封闭的演绎体系。另外， 几何原本的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是 封闭的。所以， 几何原本是一个封闭的演绎体系。15为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？p134答：因为在中国古算书九章算术中就已经系统地使用了数学模型。 九章算术将 246个题目归结为九类，即九类不同的数学模型，故名为“九章” 。它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术” （即算法）转化为数学模型。其中有些章就是专门讨论某种数学模型的应用，如“勾股” “方程”等。16简述表层类比，并用举例说明。p75-76答：表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似所进行的类比。这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结论上的类比。17 几何原本贯彻哪两条逻辑要求？p97答：几何原本贯穿了两条逻辑要求：第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；初始概念必须是直接可以理解的，因而无需加以定义。第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规则；同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。18简述数学抽象的特征。p61答：数学抽象具有以下特征：（1）数学抽象具有无物质性；（2）数学抽象具有层次性；（3）数学抽象过程要凭借分析或直觉；（4）数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。19简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。p199答：由于数学思想方法往