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第六章概率初步1.事件类别的判断必然事件、随机事件、不可能事件是概率初步的重要内容,我们在学习中接触的一些规律、事实、定义等,都是必然事件,而一些不正确的语句都是不可能事件或者随机事件.正确理解和区分这些事件是中考的一个热点,此类问题多以选择题和填空题出现.【例】下列事件中,必然事件是()A.掷一枚普通的正方体骰子,骰子停止后朝上的点数是1B.掷一枚普通的正方体骰子,骰子停止后朝上的点数是偶数C.抛掷一枚普通的硬币,掷得的结果不是正面就是反面D.从装有99个红球和1个白球的布袋中随机取出一个球,这个球是红球【标准解答】选C.A.是随机事件,故选项不合题意;B.是随机事件,故选项不合题意;C.是必然事件,故选项符合题意;D.是随机事件,故选项不合题意.故选C.1.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球,其中黄球1个,红球1个,白球2个,“从中任意摸出2个球,它们的颜色相同”这一事件是()A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.确定事件2.下列说法中正确的是()A.“打开电视机,正在播动物世界”是必然事件B.某种彩票的中奖概率为千分之一,说明每买1 000张彩票,一定有一张中奖C.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为三分之一D.想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平,宜采用抽样调查3.下列说法中正确的是()A.“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是随机事件B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件C.“概率为0.0001的事件”是不可能事件D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的一定是5次4.下列事件:在足球赛中,弱队战胜强队;抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;任取两个正整数,其和大于1;长分别为3,5,9厘米的三条线段能围成一个三角形.其中必然事件的个数是()A.1B.2C.3D.45.下列说法属于不可能事件的是()A.四边形的内角和为360B.梯形的对角线不相等C.内错角相等D.存在实数x满足x2+1=02.概率的意义概率是用来刻画随机事件发生的可能性大小的为01之间的常数,概率小则事件发生的可能性小,概率大则事件发生的可能性就大,因此对事件发生的可能性大小常通过概率的大小来反映,但并不是说这一规律在每次试验中一定存在,它是对大量重复试验而言的.这种规律被广泛应用于人们的日常生活和其他领域.【例】下列说法正确的是()A.随机抛掷一枚均匀的硬币,落地后反面一定朝上B.从1,2,3,4,5中随机取一个数,取得奇数的可能性较大C.某彩票中奖率为36%,说明买100张彩票,有36张中奖D.打开电视,中央一台正在播放新闻联播【标准解答】选B.掷一枚硬币的试验中,着地时反面向上的概率为12,则正面向上的概率也为12,不一定就反面朝上,故此选项错误;B.从1,2,3,4,5中随机取一个数,因为奇数多,所以取得奇数的可能性较大,故此选项正确;C.某彩票中奖率为36%,说明买100张彩票,有36张中奖,不一定,概率是针对数据非常多时趋近的一个数,并不能说买100张该种彩票就一定有36张能中奖,故此选项错误;D.必然事件是一定会发生的事件,打开电视,中央一台正在播放新闻联播,很明显不一定能发生,错误,故选B.1.在某校艺体节的乒乓球比赛中,李东同学顺利进入总决赛,且个人技艺高超,有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”,对该同学的说法理解正确的是()A.李东夺冠的可能性较小B.李东和他的对手比赛10局时,他一定会赢8局C.李东夺冠的可能性较大D.李东肯定会赢2.下列说法中正确的是()A.“打开电视,正在播放新闻节目”是必然事件B.“抛一枚硬币,正面朝上的概率为12”表示每抛两次就有一次正面朝上C.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的概率为16”表示随着抛掷次数的增加“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在16附近D.为了了解某种节能灯的使用寿命,选择全面调查3.用频率估计概率一般地,当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时,可以用P(A)=mn的方式得出概率;当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,用大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.【例】研究问题:一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量?操作方法:先从盒中摸出8个球,画上记号放回盒中,再进行摸球试验,摸球试验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,放回盒中,再继续.活动结果:摸球试验活动一共做了50次,统计结果如下表:推测计算:由上述的摸球试验可推算:(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少?(2)盒中有红球多少个?【标准解答】(1)由题意可知,50次摸球试验活动中,出现红球20次,黄球30次,红球所占百分比为2050=40%,黄球所占百分比为3050=60%,答:红球占40%,黄球占60%.(2)由题意可知,50次摸球试验活动中,出现有记号的球4次,总球数为5048=100个,红球数为10040%=40.答:盒中红球有40个.1.一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右,则盒子中黑珠子可能有颗.2.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的n个小球,其中5个黑球,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,之后把它放回袋中,搅匀后,再继续摸出一球.以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表:摸球试验次数1001 0005 00010 00050 000100 000摸出黑球次数464872 5065 00824 99650 007根据列表,可以估计出n的值是.3.色盲是伴X染色体隐性先天遗传病,患者中男性远多于女性,从男性体检信息库中随机抽取体检表,统计结果如下表:根据上表,估计在男性中,男性患色盲的概率为(结果精确到0.01).4.一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有数字3,4,5,x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球,并计算摸出的这2个小球上数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀,进行重复试验.试验数据如下表解答下列问题:(1)如果试验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为8”的概率是.(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13,那么x的值可以取7吗?请用列表法或画树状图法说明理由;如果x的值不可以取7,请写出一个符合要求的x值.4.求概率的关键及基本方法(1)关键:明确事件发生的所有可能情况;明确符合条件的情况.(2)基本方法:当等可能事件发生的结果是有限的,且数量较少时,常常将其所有的结果列出计算概率.【例1】一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球,其中4个是黄球,2个是白球.从该盒子中任意摸出一个球,摸到黄球的概率是()A.12B.13C.23D.25【标准解答】选C.盒子中装有6个大小相同的乒乓球,其中4个是黄球,摸到黄球的概率是46=23,故选C.【例2】如图是一个可以自由转动的转盘,转盘分为6个大小相同的扇形,指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形),指针指向阴影区域的概率是()A.23B.13C.12D.14【标准解答】选C.根据阴影区域的面积占总面积的二分之一,可得指针指向阴影区域的概率为12,故选C.1.如图,在方格纸中,随机选择标有序号中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是()A.15B.25C.35D.452.甲、乙两布袋都装有红、白两种小球,两袋球总数相同,两种小球仅颜色不同,甲袋中,红球个数是白球个数的2倍,乙袋中,红球个数是白球个数的3倍,将乙袋中的球全部倒入甲袋,随机从甲袋中摸出一个球,摸出红球的概率是()A.512B.712C.1724D.253.一个不透明的布袋中,放有3个白球,5个红球,它们除颜色外完全相同,从中随机摸取1个,摸到红球的概率是()A.58B.15C.38D.134.小球在如图所示的地板上自由滚动,并随机地停留在某块方砖上,每一块方砖除颜色外完全相同,它最终停留在黑色方砖上的概率是.5.从-1,0,2,0.3,13,这六个数中任意抽取一个,抽到无理数的概率为.6.事件A发生的概率为120,大量反复做这种试验,事件A平均每100次发生的次数是.7.如图,正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的,假设可以在正方形内部随意取点,那么这个点取在阴影部分的概率为.8.某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示.(1)求这些队员的平均年龄.(2)下周的一场校际足球友谊赛中,该校男子足球队将会有11名队员作为首发队员出场,不考虑其他因素,请你求出其中某位队员首发出场的概率.跟踪训练答案解析1.事件类别的判断【跟踪训练】1.【解析】选C.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球,其中黄球1个,红球1个,白球2个,从中任意摸出2个球,有红黄、红白、黄白、白白4种可能,从中任意摸出2个球,它们的颜色相同可能发生,也可能不发生,所以这一事件是随机事件.故选C.2.【解析】选D.A为不确定事件;B为不确定事件,有可能中奖,也有可能不中奖;C的概率为二分之一;D因为数据较多,如果采取普查会耗时耗力,因此易采用抽样调查.3.【解析】选B,A、“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是必然事件,选项错误;B、“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件,选项正确;C、“概率为0.000 1的事件”是随机事件,选项错误;D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的次数可能是5次,选项错误.4.【解析】选A.根据在一定条件下一定发生的事情是必然事件.由于:在足球赛中,弱队战胜强队是随机事件,故不合题意;抛掷1枚硬币,硬币落地时正面朝上是随机事件,故不合题意;任取两个正整数,其和大于1是必然事件,故符合题意;长为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形是不可能事件,故不合题意.因此必然事件有1个.故选A.5.【解析】选D.A、是必然事件,故选项不合题意;B、是随机事件,故选项不合题意;C、是随机事件,故选项不合题意;D、不可能事件,故选项符合题意.2.概率的意义【跟踪训练】1.【解析】选C.根据题意,有人预测李东夺冠的可能性是80%,结合概率的意义,A.李东夺冠的可能性较大,故本选项错误;B.李东和他的对手比赛10局时,他可能赢8局,故本选项错误;C.李东夺冠的可能性较大,故本选项正确;D.李东可能会赢,故本选项错误.故选C.2.【解析】选C.用排除法.“打开电视,正在播放新闻节目”不是必然事件,是随机事件,故A错;“抛一枚硬币,正面朝上的概率为12”表示有12的机会是正面朝上的,不能确定每抛两次就有一次正面朝上,故B错;为了了解某种节能灯的使用寿命,选择全面调查,是错误的,因为这种调查具有破坏性,故D错,所以选C.3.用频率估计概率【跟踪训练】1.【解析】设黑珠子有n颗,由题意可得,66+n=0.3,解得n=14.故估计盒子中黑珠子大约有14颗.答案:142.【解析】随着摸球次数的增加,摸出黑球的频率在0.5左右,所以摸出黑球的概率为0.5,所以n=50.5=10.答案:103.【解析】根据统计表可知:色盲患者的频率大约在0.070左右,所以估计在男性中,男性患色盲的概率为0.07.答案:0.074.【解析】(1)利用图表得出:试验次数越多,频率越接近实际概率,所以出现“和为8”的概率是0.33.(2)当x=7时,两个小球上数字之和为9的概率是:212=16.x的值不可以取7.当x=5时,两个小球上数字之和为9的概率是13.4.求概率的关键及基本方法【跟踪训练】1.【解析】选C.共有5种情况,其中能与图中阴影部分构成轴对称图形的有三种,所以概率为35.2.【解析】选C.设甲袋中白球个数为x个,那么红球个数为2x个,乙袋中白球个数为y个,那么红球个数为3y个,则根据题意,得3x=4y,球的总数为(3x+4y)个,红球总数为(2x+3y)个,随机从甲袋中摸出一个球,摸出红球的概率是2x+3y3x+4y=243y+3y4y+4y=1724,故应选C.3.【解析】选A.由概率的定义,易知:P(红球)=53+5=58.4.【解析】一共有9块,黑色的有4块,所以最终停留在黑色方砖上的概率是49.答案:495.【解析】共有六个数字,无理数有2个,所以抽到无理数的概率P(无理数)=26=13.答案:136.【解析】100120=5(次).答案:5次7.【解析】S正方形=12(32)2=18,S阴影=41231=6,这个点取在阴影部分的概率为:618=13.答案:138.【解析】(1)该校男子足球队队员的平均年龄是:(132+146+158+163+172+181)22=33022=15(岁).故这些队员的平均年龄是15岁.(2)该校男子足球队一共有22名队员,将会有11名队员作为首发队员出场,不考虑其他因素,其中某位队员首发出场的概率为:1122=12.
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