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选修4-5不等式选讲(建议用时:30分钟)1.(1)已知函数f(x)=|x-2|+|x+a|-3的定义域为R,求实数a的取值范围.(2)若正实数m,n满足m+n=2,求2m+1n的取值范围.【解析】(1)由题意知|x-2|+|x+a|-30恒成立.因为|x-2|+|x+a|(x-2)-(x+a)|=|a+2|,所以|a+2|3,解得a-5或a1. (2)因为m+n=2(m0,n0),所以2m+1n=m+n22m+1n=122nm+mn+312(22+3),即2m+1n的取值范围为2+32,+.2.已知函数f(x)=|x-a|+12a(a0).(1)若不等式f(x)-f(x+m)1恒成立,求实数m的最大值.(2)当a12时,函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)-f(x+m)=|x-a|+12a-|x+m-a|+12a=|x-a|-|x+m-a|(x-a)-(x+m-a)|=|m|,所以|m|1,即m的最大值为1.(2)g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+12a,即g(x)=-3x+a+12a+1,xa-x+12a-a+1,ax123x+12a-a-1,x12,所以g(x)在-,12上减函数,在12,+上是增函数,所以g(x)min=g12=312+12a-a-1=12+12a-a,由题意得12+12a-a0,解得-12a0,或a1,又a12,所以a的取值范围是a|-12a03.已知函数f(x)=x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)求不等式g(x)3的解集.(2)若x2-2,2,x1-2,2,使得不等式f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)g(x)3,即|x+1|+|x-1|3,此不等式等价于x-1-(x+1)-(x-1)3或-1x1(x+1)-(x-1)3或x1x+1+x-13,解得x-32或x32,所以g(x)3的解集为x|x-32或x32.(2)因为x2-2,2,x1-2,2,使得f(x1)g(x2)成立,所以f(x)ming(x)min(x-2,2).又g(x)min=2,所以f(x)min2(x-2,2).当-a2-2,即a4时,f(x)min=f(-2)=4-2a+4=8-2a2,解得a3,所以a4;当-a22,即a-4时,f(x)min=f(2)=4+2a+4=8+2a2,解得a-3,所以a-4;当-2-a22,即-4a4时,f(x)min=f-a2=a24-a22+42,解得a22或a-22,所以-4a-22或22a4.综上所述,实数a的取值范围为(-,-2222,+).4.已知函数f(x)=|x-1|-a(aR).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值.(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.【解析】(1)因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a3,解得a-3,即amax=-3.(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|,当a=-1时,g(x)=3|x-1|0,03,所以a=-1不符合题意,当a-1时,g(x)=(x-1)+2(x+a),x-a(x-1)-2(x+a),1x-a-(x-1)-2(x+a),x1,即g(x)=3x-1+2a,x-a-x-1-2a,1x-a-3x+1-2a,x-1时,同法可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2,综上所述,a=2或-4.(建议用时:30分钟)1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|,若f(x)3的解集为C.(1)求解集C.(2)已知非零实数a,b,c满足1a2+14b2+1c2=2,求证:a2+4b2+9c2252.【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x-2|3,即x2,x-1+x-23,即0x1或1x2或2x3,即解集C=x|0x3.(2)因为1a2+14b2+1c2=2,由柯西不等式得a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)1a2+14b2+1c212a1a+2b12b+3c1c2252,当且仅当a1a=2b12b=3c1c时取等号,即a2=4b2=3c2=52时取等号.2.已知函数f(x)=5-|x+1|-|x-2|.(1)在给出的平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象.(2)记函数y=f(x)的最大值为M,是否存在正数a,b,使2a+b=M,且1a+2b=3,若存在,求出a,b的值,若不存在,说明理由.【解析】(1)由于f(x)=5-|x+1|-|x-2|=2x+4,x2.作图如下:(2)由图象可知,当-1x2,f(x)max=2,即得M=2.假设存在正数a,b,使2a+b=2,且1a+2b=3,因为1a+2b=1a+2ba+b2=2+b2a+2ab2+2b2a2ab4,当且仅当2a+b=2b2a=2aba,b0a=12b=1时,取等号,所以1a+2b的最小值为4,与1a+2b=3相矛盾,故不存在正数a,b,使2a+b=2,且1a+2b=3成立.3.已知a2+b2+c2=1,且a,b,cR+.(1)1a2+1b2+1c2的最小值.(2)证明:1+a2+1+b2+1+c223.【解析】(1)由柯西不等式,得1a2+1b2+1c2(a2+b2+c2)1aa+1bb+1cc2=9,当且仅当a=b=c=33时,取等号.所以1a2+1b2+1c2的最小值为9.(2)由xyx2+y22,得1+a22331+a2+23322=a22+76.同理得1+b2233b22+76,1+c2233c22+76.三式相加得233(1+a2+1+b2+1+c2)a2+b2+c22+72=4,所以1+a2+1+b2+1+c223,当且仅当a=b=c=33时,取等号.4.已知函数f(x)=|x+1|.(1)解关于x的不等式f(x)-x2+10.(2)若函数g(x)=f(x-1)+f(x+m),当且仅当0x1时,g(x)取得最小值,求x(-1,2)时,函数g(x)的值域.【解析】(1)|x+1|-x2+10|x+1|x2-1,x-1x+1x2-1-1x2,xx2-1 ,所以,不等式的解集为x|-1x2.(2)g(x)=|x|+|x+m+1|=|-x|+|x+m+1|-x+x+m+1|=|m+1|,当且仅当(-x)(x+m+1)0时取等号,所以1+m+1=0,得m=-2,所以g(x)=|x|+|x-1|,故当x(-1,2)时,g(x)=-2x+1,-1x01,0x12x-1,1x2,所以g(x)在x(-1,2)时的值域为1,3).
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