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锐角三角函数及其应用 22锐角三角函数及其应用限时:30分钟夯实基础1.计算:cos245+sin245=()A.12B.1C.14D.222.xx柳州 如图K22-1,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,则sinB=ACAB=()图K22-1A.35B.45C.37D.343.在RtABC中,C=90,sinA=35,BC=6,则AB等于()A.4B.6C.8D.104.xx贵阳 如图K22-2,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tanBAC的值为()A.12B.1C.33D.3图K22-25.如图K22-3,在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D为边AC的中点,DEBC于点E,连接BD,则tanDBC的值为()图K22-3A.13B.2-1C.2-3D.146.如图K22-4,长4 m的楼梯AB的倾斜角ABD=60.为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角ACD=45,则调整后的楼梯AC的长为()图K22-4A.23 mB.26 mC.(23-2)mD.(26-2)m7.如图K22-5,为了测量楼的高度,从楼的顶部A看地面上的一点B,俯角为30.已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30 m,那么楼的高度AC为m(结果保留根号).图K22-58.如图K22-6,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接BE,则tanEBC=.图K22-69.xx自贡 如图K22-7,在ABC中,BC=12,tanA=34,B=30.求AC和AB的长.图K22-7能力提升10.xx陕西 如图K22-8,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()图K22-8A.432B.22C.832D.3211.如图K22-9是以ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰在半圆上,过点C作CDAB,交AB于点D.若cosACD=35,BC=4,则AC的长为()图K22-9A.1B.203C.3D.16312.已知ABC中,AB=10,AC=27,B=30,则ABC的面积等于.13.如图K22-10,已知四边形ABCD中,ABC=90,ADC=90,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若A=60,求BC的长;(2)若sinA=45,求AD的长.图K22-1014.xx贵阳 如图K22-11,在RtABC中,以下是小亮探究asinA与bsinB之间关系的方法:sinA=ac,sinB=bc,c=asinA,c=bsinB.asinA=bsinB.根据你掌握的三角函数知识,在图的锐角三角形ABC中,探究asinA,bsinB,csinC之间的关系,并写出探究过程.图K22-11拓展练习15.xx嘉兴 如图K22-12,滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB,P为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为PDE,F为PD的中点,AC=2.8 m,PD=2 m,CF=1 m,DPE=20.当点P位于初始位置P0时,点D与C重合(图).根据生活经验,当太阳光线与PE垂直时,遮阳效果最佳.(1)上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为65(图),为使遮阳效果最佳,点P需从P0上调多少距离?(结果精确到0.1 m)(2)中午12:00时,太阳光线与地面垂直(图),为使遮阳效果最佳,点P在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin700.94,cos700.34,tan702.75,21.41,31.73)图K22-12参考答案1.B2.A解析 由勾股定理,得AB=AC2+BC2=32+42=5.根据正弦的定义,得sinB=ACAB=35.3.D4.B5.A6.B7.1038.139.解:如图所示,过点C作CDAB,交AB于点D.在RtBCD中,B=30,BC=12,sinB=CDBC=CD12=12.CD=6.cosB=BDBC=BD12=32,BD=63.在RtACD中,tanA=34,CD=6,tanA=CDAD=6AD=34,AD=8.AC=AD2+CD2=82+62=10,AB=AD+BD=8+63.综上所述,AC的长为10,AB的长为8+63.10.C解析 BE平分ABD,ABC=60,ABE=EBD=30.ADBC,BDA=90.DE=12BE.BAD=90-60=30,BAD=ABE=30.AE=BE=2DE.AE=23AD.在RtACD中,sinC=ADAC,AD=ACsinC=822=42.AE=2342=832.故选C.11.D12.153或103解析 分两种情况求解:(1)如图所示,作ADBC于点D.AB=10,B=30,AD=12AB=1210=5,BD=AB2-AD2=102-52=53.又AC=27,CD=AC2-AD2=(27)2-52=3.BC=BD+CD=53+3=63.ABC的面积为12BCAD=12635=153.(2)如图所示,作ADBC于点D.AB=10,B=30,AD=12AB=1210=5,BD=AB2-AD2=102-52=53.又AC=27,CD=AC2-AD2=(27)2-52=3.BC=BD-CD=53-3=43.ABC的面积为12BCAD=12435=103.综上所述,ABC的面积等于153或103.13.解:(1)在RtABE中,ABE=90,A=60,AB=6,tanA=BEAB,BE=6tan60=63.在RtCDE中,CDE=90,E=90-60=30,CD=4,CE=2CD=8.BC=BE-CE=63-8.(2)在RtABE中,ABE=90,sinA=45,BEAE=45.设BE=4x,则AE=5x.AB=3x=6.x=2.BE=8,AE=10.在RtCDE中,CDE=90,CD=4,tanE=CDED,而在RtABE中,tanE=34,CDED=34.ED=43CD=163.AD=AE-ED=143.14.解:asinA=bsinB=csinC.理由如下:过点A作ADBC.在RtABD中,sinB=ADc,即AD=csinB.在RtADC中,sinC=ADb,即AD=bsinC.csinB=bsinC,即bsinB=csinC.同理可得asinA=csinC,则asinA=bsinB=csinC.15.解:(1)如图,当点P位于初始位置P0时,CP0=2 m.如图,10:00时,太阳光线与地面的夹角为65,点P上调至P1处,1=90,CAB=90,AP1E=115.CP1E=65.DP1E=20,CP1F=45.CF=P1F=1 m,C=CP1F=45.CP1F为等腰直角三角形.CP1=2 m.P0P1=CP0-CP1=2-20.6(m).即点P需从P0上调0.6 m.(2)如图,中午12:00时,太阳光线与P2E,地面都垂直,点P上调至P2处,P2EAB.CAB=90,CP2E=90.DP2E=20,CP2F=CP2E-DP2E=70.CF=P2F=1 m,CP2F为等腰三角形.过点F作FGCP2于点G.GP2=P2Fcos70=10.34=0.34(m).CP2=2GP2=0.68(m).P1P2=CP1-CP2=2-0.680.7(m),即点P在(1)的基础上还需上调0.7 m.
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