2017-2018学年高中数学 全一册学案 湘教版选修2-2.doc

2017-2018学年高中数学 全一册学案 湘教版选修2-241.1问题探索求自由落体的瞬时速度学习目标1理解并掌握平均速度的概念2通过实例的分析，经历平均速度过渡到瞬时速度的过程知识链接1一物体的位移s与时间t满足函数关系st2，则在时间段1,2内的平均速度_.答案3.2质点运动规律st23，则在时间(3,3d)中，相应的平均速度等于_答案6d.预习导引1伽利略通过实验得到的自由落体的下落距离s和时间t有近似的函数关系，其关系是s4.9t2.2瞬时速度(1)在t0时刻的瞬时速度即指在时刻t0d，当d趋于0时，时间段t0，t0d内的平均速度(2)若物体的运动方程为sf(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)在d趋于0时的极限.要点一求平均速度例1已知一物体做自由落体运动，运动的方程为sgt2(位移单位：m，时间单位：s)，求：(1)物体在t0到t0d这段时间内的平均速度.(2)物体在t10 s到t10.1 s这段时间内的平均速度解(1)s(t0d)s(t0)g(t0d)2gtgt0dgd2，在t0到 t0d这段时间内，物体平均速度为v(t0，d)gt0gd.(2)由(1)知：t010 s，d0.1 s，平均速度为10gg0.110.05g(m/s)规律方法物体的运动方程是s(t)，则从tt1到tt2的平均速度是v(t，d).跟踪演练1已知物体运动方程为s(t)2t22t(位移单位：m，时间单位：s)，求：(1)物体在运动前3 s内的平均速度；(2)物体在2 s到3 s内的平均速度解(1)物体在前3 s内的位移为：s(3)s(0)23223024(m)，故前3 s内的平均速度为8(m/s)(2)物体在2 s到3 s内的位移为s(3)s(2)24(22222)12(m)故物体在2 s到3 s这段时间内的平均速度为12(m/s)要点二求瞬时速度例2已知一物体做自由落体运动，sgt2(位移单位：m，时间单位：s，g9.8 m/s2)(1)计算t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段时间内平均速度；(2)求t3 s时的瞬时速度解(1)当t在区间3,3.1时，d3.130.1(s)，s(3.1)s(3)g3.12g322.989(m)，129.89(m/s)同理，当t在区间3,3.01时，229.449(m/s)，当t在区间3,3.001时，329.404 9(m/s)(2)物体在3,3d上的平均速度是：g(6d)当d0时，上式表达式值为3g，即物体在3 s时的瞬时速度为3g29.4(m/s)规律方法平均速度即位移增量与时间增量之比，而瞬时速度为平均速度在d0时的极限值，二者有本质区别跟踪演练2枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0105 m/s2，枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.6103 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度解运动方程为sat2.v(t，d)adat.当d趋于0时，adat的极限为at.a5.0105 m/s2，t1.6103 s，枪弹射出枪口时的瞬时速度为51051.6103 m/s，即800 m/s.1一质点的运动方程是s42t2，则在时间段1,1d内相应的平均速度为()A2d4 B2d4C2d4 D2d4答案D解析v(1，d)2d4.2已知物体位移s与时间t的函数关系为sf(t)下列叙述正确的是()A在时间段t0，t0d内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度B在t11.1，t21.01，t31.001，t41.000 1，这四个时刻的速度都与t1时刻的速度相等C在时间段t0d，t0与t0，t0d(d0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等D以上三种说法都不正确答案C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度3已知sgt2，从3秒到3.1秒的平均速度_.答案3.05g解析3.05g.4如果质点M的运动方程是s2t22，则在时间段2,2d内的平均速度是_答案82d解析v(2，d)82d.1平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”2求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为sf(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：(1)从t到td这段时间内的平均速度为，其中f(td)f(t)称为位移的增量；(2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.一、基础达标1设物体的运动方程sf(t)，在计算从t到td这段时间内的平均速度时，其中时间的增量d()Ad0 Bd0Cd0 Dd0答案D2一物体运动的方程是s2t2，则从2 s到(2d) s这段时间内位移的增量为()A8 B82dC8d2d2 D4d2d2答案C解析s2(2d)22228d2d2.3一物体的运动方程为s3t2，则在时间段2,2.1内相应的平均速度为()A4.11 B4.01 C4.0 D4.1答案D解析4.1.4一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为st2，则t2时，此木块水平方向的瞬时速度为()A2 B1 C. D.答案C解析t(t0)5质点运动规律s2t21，则从t1到t1d时间段内运动距离对时间的变化率为_答案42d解析42d.6已知某个物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：st21.(1)t2到t2.1；(2)t2到t2.01；(3)t2到t2.001.则三个时间段内的平均速度分别为_，_，_，估计该物体在t2时的瞬时速度为_答案4.1 m/s4.01 m/s4.001 m/s4 m/s7某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为：s(t)3t3t220，求：(1)开始刹车后1 s内的平均速度；(2)刹车1 s到2 s之间的平均速度；(3)刹车1 s时的瞬时速度解(1)刹车后1 s内平均速度12(m/s)(2)刹车后1 s到2 s内的平均速度为：218(m/s)(3)从t1 s到t(1d)s内平均速度为：378d3d27(m/s)(d0)即t1 s时的瞬时速度为7 m/s.二、能力提升8质点M的运动方程为s2t22，则在时间段2,2t内的平均速度为()A82t B42tC72t D82t答案A解析82t.9自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为hgt2，则从t0到t1时间段内的平均速度为_，在t1到t1t时间段内的平均速度为_，在t1时刻的瞬时速度为_答案gggtg解析g.ggt.当t0时，ggtg.10自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为hgt2，t2时的瞬时速度为19.6，则g_.答案9.8解析2ggt.当t0时，2ggt2g.2g19.6，g9.8.11求函数s2t2t在区间2,2d内的平均速度解s2(2d)2(2d)(2222)9d2d2，平均速度为92d.12甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图、所示问：(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设s为s的增量)?解(1)由题图在(0，t时间段内，甲、乙跑过的路程s甲s乙，故有s甲，所以即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快三、探究与创新13质量为10 kg的物体按照s(t)3t2t4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能解3t25，当t0时，3t2525.即4秒时刻的瞬时速度为25.物质的动能为mv2102523 125(J)41.2问题探索求作抛物线的切线学习目标理解并掌握如何求抛物线的切线知识链接1设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0d时，函数的改变量y为_答案f(x0d)f(x0)2函数yx2在x1处的切线斜率k_.答案2x2(x0)预习导引求曲线上点P处切线斜率的方法设P(u，f(u)是函数yf(x)的曲线上的任一点，则求点P处切线斜率的方法是：(1)在曲线上取不同于P的点Q(ud，f(ud)，计算直线PQ的斜率k(u，d).(2)在所求得的PQ的斜率的表达式k(u，d)中，让d趋于0，如果k(u，d)趋于确定的数值k(u)，则k(u)就是曲线在P处的切线斜率.要点一有关曲线的割线斜率的探索例1点P(3,9)为抛物线yx2上的一点，A1(1,1)，A2(2,4)，A4(4,16)，A5(5,25)为抛物线上另外四点(1)分别求割线PA1，PA2，PA4，PA5的斜率；(2)若A(x0，x)为曲线yx2上异于P的动点，当A逐渐向P趋近时，说明割线斜率的变化情况解(1)kPA14，kPA25，kPA47，kPA58.(2)当A沿曲线趋近于P点时，x0的值趋近于3，不妨设x03d(d0)，当x03时，d0，则kPAx03(3d)36d，当d0时，kPA6，表明随A点无限趋近于P，割线PA的斜率无限趋近于6.规律方法 割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过程，也是d趋于0的过程，这一过程实现了从割线到切线质的飞跃跟踪演练1已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)为函数yx3曲线上两不同点(1)当x11，x22时，求kAB；(2)求当x1x0，x2x0d时，A、B两点连线斜率kAB.解(1)kAB7.(2)kAB3x3x0dd2.要点二有关切线方程的探索例2已知曲线方程为yf(x)x32x，求曲线在点P(1,3)处的切线方程解f(x0d)f(x0)f(1d)f(1)(1d)32(1d)(1321)3d3d2d32d5d3d2d3.则k(1，d)53dd2，当d0时，k(1)5，则切线方程为y35(x1)即5xy20.规律方法 求曲线上点(x0，y0)处切线方程的步骤：(1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程跟踪演练2求yf(x)x21在x1处的切线斜率及切线方程解f(x0d)f(x0)f(1d)f(1)(1d)21(121)d22d，d22(d0)，即在x1处切线斜率为2.f(1)0，切线方程为y2(x1)，即2xy20.要点三求切点坐标例3在曲线y4x2上求一点P使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件：(1)平行于直线yx1；(2)垂直于直线2x16y10；(3)倾斜角为135.解设f(x)4x2且P点坐标为(u，f(u)在曲线上取另一点Q(ud，f(ud)，计算直线PQ的斜率k(u，d)8u4d.在所求得的斜率表达式中让d趋于0，表达式趋于8u，所以P点处切线斜率为8u.(1)因为切线与直线yx1平行，所以8u1.u，f(u).即P(，)(2)因为切线与直线2x16y10垂直，所以8u()1，8u1.u1，f(u)4，即P(1,4)(3)因为切线倾斜角为135，所以8utan 1351，u，f(u)，即P(，)规律方法解答此类题目，切点横坐标是关键信息，因为切线斜率与之密切相关同时应注意解析几何知识的应用，特别是直线平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识跟踪演练3在抛物线yx2上求一点P，使点P到直线y4x5的距离最小解设P点坐标为(u，f(u)，在抛物线上另取一点Q(ud，f(ud)直线PQ的斜率k(u，d)2ud，在所求得的斜率表达式中让d趋于0，表达式趋于2u, 所求过P点处切线斜率为2u，当过P点的切线与直线y4x5平行时，P点到直线y4x5的距离最小，所以2u4，u2.P点在抛物线yx2上，f(u)4，所求P点坐标为(2,4).1一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A处时()A运动方向指向圆心OB运动方向所在直线与OA垂直C速度与在圆周其他点处相同D不确定答案B2若已知函数f(x)2x21的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1d,1y)，则等于()A1 B2d C42d D4d答案C解析42d.3过曲线y2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为_答案1解析由平均变化率的几何意义知，k1.4已知函数f(x)x2x的图象上一点(1，2)及邻近一点(1d，2y)，则_.解析yf(1d)f(1)(1d)2(1d)(2)d23d.d3.答案d31求曲线yf(x)上一点(x0，y0)处切线斜率的步骤(1)作差求函数值增量y，即f(x0d)f(x0)(2)化简，用x0与d表示化简结果(3)令d0，求的极限即所求切线的斜率2过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线“在点(u，v)处的切线方程”和“过点(u，v)的切线方程”前者以点(u，v)为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点3曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃一、基础达标1已知曲线y2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A2 B4C66d2d2 D6答案B2已知曲线yx22上的一点P(1，)，则过点P的切线的倾斜角为()A30 B45C135 D165答案B3如果曲线y2x2x10的一条切线与直线y5x3平行，则切点坐标为()A(1，8) B(1,13)C(1,12)或(1,8) D(1,7)或(1，1)答案B4曲线y在点P(3,1)处的切线斜率为()A B0 C. D1答案C解析.当x0时，.5若曲线yx21在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为_答案(1,2)6曲线yx22在点P(1,3)处的切线方程为_答案2xy10解析x2，当x0时，x22.所以曲线yx22在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y32(x1)即为2xy10.7抛物线yx2在点P处的切线与直线2xy40平行，求点P的坐标及切线方程解设点P(x0，y0)，d2x0，d0时，d2x02x0.抛物线在点P处的切线的斜率为2x0，由于切线平行于2xy40，2x02，x01，即P点坐标为(1,1)，切线方程为y12(x1)，即为2xy10.二、能力提升8曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2 ByxCyx2 Dyx2答案A解析，当x0时，1.曲线y在点(1，1)处的切线的斜率为1，切线方程为y11(x1)，即yx2.9曲线f(x)x23x在点A(2,10)处的切线的斜率为_答案7解析x7，当x0时，x77，所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.10曲线f(x)x23x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为_答案(2,10)解析设A点坐标为(x0，x3x0)，则x(2x03)，当x0时，x(2x03)2x03，2x037，x02.x3x010.A点坐标为(2,10)11已知抛物线yx21，求过点P(0,0)的曲线的切线方程解设抛物线过点P的切线的切点为Q(x0，x1)则x2x0.x0时，x2x02x0.2x0，x01或x01.即切点为(1,2)或(1,2)所以，过P(0,0)的切线方程为y2x或y2x.即2xy0或2xy0.三、探究与创新12直线l：yxa(a0)和曲线C：yx3x21相切，求切点的坐标及a的值解设切点A(x0，y0)，3x2x0(3x01)dd23x2x0(d0)故曲线上点A处切线斜率为3x2x0，3x2x01，x01或x0，代入C的方程得或代入直线l，当时，a0(舍去)，当时，a，即切点坐标为(，)，a.41.3导数的概念和几何意义学习目标1理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点上的导数的方法2理解导数的几何意义知识链接曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线与导数的关系答函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)在x0处有切线，但它不可导即若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的导数f(x0)不存在，但有切线，则切线与x轴垂直若f(x0)存在，且f(x0)0，则切线与x轴正向夹角为锐角；f(x0)0)，求f(1)解，当d0时，故f(1).要点三求函数的导函数例3求函数f(x)的导函数f(x)，并求f(2)解.当d0时，趋于.即f(x).f(2)1.规律方法求某一点x0处的导数值f(x0)，可先求出导函数f(x)，再赋值求解f(x0)跟踪演练3求函数f(x)x的导函数f(x)及f(1)解1，当d0时，11，f(x)1，f(1)10.要点四利用导数求切线方程例4已知曲线C：yx2，(1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程，(2)求过点(1,0)且与曲线C相切的直线的方程解(1)2xd.当d0时，2xd2x，f(x)2x，f(1)2，曲线yx2在(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点(1,0)不在曲线yx2上设过点(1,0)与曲线C相切的直线其切点为(x0，x)，则切点处的斜率为2x0.切线方程为yx2x0(xx0) (*)又因为此切线过点(1,0)x2x0(1x0)，解得x00或x02，代入(*)式得过点(1,0)与曲线 C：yx2相切的直线方程为y0或4xy40.规律方法本题主要考查了导数的几何意义以及直线方程的知识，若求某点处的切线方程，此点即为切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，不论点是否在曲线上，均需设出切点跟踪演练4求曲线f(x)在点(2，1)处的切线的方程解由于点(2，1)恰好在曲线f(x)上，所以曲线在点(2，1)处的切线的斜率就等于函数f(x)在点(2，1)处的导数而f(2) ，故曲线在点(2，1)处的切线方程为y1(x2)，整理得x2y40.1f(x)在xx0处可导，则 ()A与x0、h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0、h均无关答案B2若f(x0)f(x0d)2x0dd2，下列选项正确的是()Af(x)2 Bf(x)2x0Cf(x0)2x0 Df(x0)d2x0答案C3已知函数yf(x)图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB) Bf(xA)kA，即f(xB)f(xA)3已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y2x2在x2时的导数，由导数定义可求y4x，f(2)8.答案C4已知函数f(x)在x1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为()Af(x)(x1)23(x1) Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2 Df(x)x1答案A解析分别求四个选项的导函数分别为f(x)2(x1)3；f(x)2；f(x)4(x1)；f(x)1.5抛物线yx2x2上点(1,4)处的切线的斜率是_，该切线方程为_答案33xy10解析y(1d)2(1d)2(1212)3dd2，故y|x1li (3d)3.切线的方程为y43(x1)，即3xy10.6若曲线yx21的一条切线平行于直线y4x3，则这条切线方程为_答案4xy50解析f(x) (2xd)2x.设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f(x0)4，即2x04，x02，代入曲线方程得y03，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y34(x2)，即4xy50.7求曲线yx3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积解f(3) (d29d27)27，曲线在点(3,27)处的切线方程为y2727(x3)，即27xy540.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，54)切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S25454.二、能力提升8曲线yx33x2在点(1,2)处的切线方程为()Ay3x1 By3x5Cy3x5 Dy2x答案A解析x23.x0时，x233.f(1)3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3.所以切线方程为y23(x1)，即y3x1.9函数yf(x)图象在M(1，f(1)处的切线方程为yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析由已知切点在切线上f(1)12.切线的斜率f(1).f(1)f(1)3.10若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程为xy10，则a，b的值分别为_，_.答案11解析点(0，b)在切线xy10上，b10，b1.又ax，f(0)a1.11已知曲线yx31，求过点P(1,2)的曲线的切线方程解设切点为A(x0，y0)，则y0x1.x23x0x3x.f(x0)3x，切线的斜率为k3x.点(1,2)在切线上，2(x1)3x(1x0)x01或x0.当x01时，切线方程为3xy10，当x0时，切线方程为3x4y50.所以，所求切线方程为3xy10或3x4y50.12求抛物线yx2的过点P(，6)的切线方程解由已知得，2xd，当d0时，2xd2x，即y2x，设此切线过抛物线上的点(x0，x)，又因为此切线过点(，6)和点(x0，x)，其斜率应满足2x0，由此x0应满足x5x060.解得x02或3.即切线过抛物线yx2上的点(2,4)，(3,9)所以切线方程分别为y44(x2)，y96(x3)化简得4xy40,6xy90，此即是所求的切线方程三、探究与创新13求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程解设切点为P(a，b)，函数yx33x25的导数为y3x26x.故切线的斜率ky|xa3a26a3，得a1，代入yx33x25得，b3，即P(1，3)故所求直线方程为y33(x1)，即3xy60.42导数的运算42.1几个幂函数的导数42.2一些初等函数的导数表学习目标1理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法2掌握常见函数的导数公式3灵活运用公式求某些函数的导数知识链接在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数yf(x)的导数？答(1)计算，并化简；(2)观察当x趋近于0时，趋近于哪个定值；(3)趋近于的定值就是函数yf(x)的导数预习导引常见基本初等函数的导数公式：(1)(c)0(c为常数函数)；(2)(x)x1(0)；(3)(ex)ex；(4)(ax)ax(ln_a)(a0，a1)；(5)(ln x)(x0)；(6)(logax)(a0，a1，x0)；(7)(sin x)cos_x；(8)(cos x)sin x；(9)(tan x)；(10)(cot x).要点一 幂函数的导数例1求下列函数的导数：(1)yx2 011；(2)y；(3)y.解(1)y(x2 011)2 011x2 01112 011x2 010.(2)y(x3)3x313x4.(3)y.规律方法对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y可以写成yx4，y等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误跟踪演练1求曲线y在点P(27，)处的切线斜率解y，y|x27，故所求切线的斜率k.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)ysin ；(2)y5x；(3)y；(4)y；(5)ylog3x.解(1)y0；(2)y(5x)5xln 5；(3)y(x3)3x4；(4)y；(5)y(log3x).规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式跟踪演练2求下列函数的导数：(1)yx8；(2)yx；(3)yx；(4) .解(1)y8x7；(2)yxln xln 2；(3)yx，y；(4) y.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3(1)求过曲线ysin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程解ysin x，ycos x，曲线在点P处的切线斜率是：cos.过点P且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于1是解题的关键跟踪演练3已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则y|xx02x0，又PQ的斜率为k1，而切线平行于PQ，k2x01，即x0，所以切点为M.所求的切线方程为yx，即4x4y10.1已知f(x)x2，则f(3)()A0 B2x C6 D9答案C解析f(x)x2，f(x)2x，f(3)6.2函数f(x)，则f(3)等于()A. B0 C. D.答案A解析f(x)()，f(3).3设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C. D.答案A解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l.4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.S1e2.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化一、基础达标1下列结论中正确的个数为()yln 2，则y；y，则y|x3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.A0 B1 C2 D3答案D解析yln 2为常数，所以y0.错正确2过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为()A. B.或C. D.答案B解析y4，x，故选B.3已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()A1条 B2条 C3条 D不确定答案B解析f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则3x1，得x0，即在点和点处有斜率为1的切线5曲线y在点M(3,3)处的切线方程是_答案xy60解析y，y|x31，过点(3,3)的斜率为1的切线方程为：y3(x3)即xy60.6若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a_.答案64解析曲线在点处的切线斜率，切线方程为令x0得；令y0得x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S3a18，a64.7求下列函数的导数：(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1)y.(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).二、能力提升8已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()A. B Ce De答案D解析yex，设切点为(x0，y0)，则ex0ex0x0，x01，ke.9曲线yln x在xa处的切线倾斜角为，则a_.答案1解析y，y|xa1，a1.10点P是曲线yex上任意一点，则点P到直线yx的最小距离为_答案解析根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.11已知f(x)cos x，g(x)x，求适合f(x)g(x)0的x的值解f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1,1，sin x1，x2k，kZ.12已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线，对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y|xx02x01，所以x0，所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.三、探究与创新13设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，试求f2 014(x)解f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为4，f2 014(x)f2(x)sin x.42.3导数的运算法则学习目标1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四则运算求简单函数的导数3了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则4能求简单的复合函数的导数(仅限于形如f(axb)的导数)知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们已经会求f(x)5和g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则预习导引1导数的运算法则(1)(cf(x)cf(x)；(2)(f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(f(x)g(x)f(x)g(x)；(4)(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(5)()(f(x)0)；(6)()(f(x)0)2一般地，若yf(u)，ug(x)，则yxfuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的积.要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) yx32x3； (2)y(x21)(x1)；(3)y3xlg x.解(1)y(x3)(2x)33x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1，y(x3)(x2)x3x22x1.(3)函数y3xlg x是函数f(x)3x与函数g(x)lg x的差由导数公式表分别得出f(x)3xln 3，g(x)，利用函数差的求导法则可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 3.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y54x3；(2)y3x2xcos x；(3)yexln x；(4)ylg x.解(1)y12x2；(2)y(3x2xcos x)6xcos xxsin x；(3)yexln x；(4)y.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)yln(x2)；(2)ysin4cos4；解(1)yln u，ux2yxyuux(ln u)(x2)1.(2)ysin4cos4 22sin2cos2 1sin21cos x，ysin x.规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤跟踪演练2求下列函数的导数：(1)ye2x1；(2)y(2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一y(2)2x44，yx(4)4141.法二令u2，则yxyuux2(2)(2)2(2)1.要点三导数的应用例3求过点(1，1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x0)3x2故切线方程为yy0(3x2)(xx0)(x0，y0)在曲线上，y0x2x0又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)即xy20或5x4y10.规律方法(1，1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解跟踪演练3已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t3 s时物体的瞬时速度解s(t)2t22t22t2，s(t)24t，s(3)12，即物体在t3 s时的瞬时速度为 m/s.1下列结论不正确的是()A若y3，则y0B若f(x)3x1，则f(1)3C若yx，则y1D若ysin xcos x，则ycos xsin x答案D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解D项，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.2函数y的导数是()A. B.C. D.答案C解析y.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案A解析y，ky|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.4直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_.答案ln 21解析设切点为(x0，y0)， y，x02，y0ln 2，ln 22b，bln 21.求函数的导数要准确