2018电大经济数学基础期末复习指导

最新小抄经济数学基础第一部分 微分学一、单项选择题1函数 的定义域是（ 且 ）1lgxy1x02若函数 的定义域是0，1，则函数 的定义域是( )(f )2f ,(3下列各函数对中，（ ， ）中的两个函数相等 f2cossin)(xg4设 ，则 =（ ）xfx15下列函数中为奇函数的是（ ）ly6下列函数中，（ 不是基本初等函数)ln(y7下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的 8. 当 时，下列变量中（ ）是无穷大量x0x219. 已知 ，当（ ）时， 为无穷小量.tan)(f 0)(xf10函数 在 x = 0 处连续，则 k = ( 1)si,fxk11. 函数 在 x = 0 处（右连续 ）,1)(f12曲线 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ） xy 2113. 曲线 在点(0, 0)处的切线方程为（ y = x ）sin14若函数 ，则 =（ ）f)()(xf215若 ，则 （ ）xcocossin16下列函数在指定区间 上单调增加的是（e x）,17下列结论正确的有（ x0是 f (x)的极值点 ）18. 设需求量 q 对价格 p 的函数为 ，则需求弹性为 Ep=（ ） pq2332二、填空题1函数 的定义域是 -5，20,152)(xxf2函数 的定义域是(-5, 2 )ln3若函数 ，则5(2f (f6x4设函数 ， ，则1)ux)()u435设 ，则函数的图形关于 y 轴对称20(xf6已知生产某种产品的成本函数为 C(q) = 80 + 2q，则当产量 q = 50 时，该产品的平均成本为 3.67已知某商品的需求函数为 q = 180 4p，其中 p 为该商品的价格，则该商品的收入函数 R(q) = 45q 0.25q 2最新小抄8. 1.xxsinlim9已知 ，当 时， 为无穷小量 f)(0x)(xf10. 已知 ，若 在 内连续，则 2 .12xaxf f,a11. 函数 的间断点是1()exf012函数 的连续区间是 ， ，)2()1,()2,(),(13曲线 在点 处的切线斜率是y1, ).5y14函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为(0, + )15已知 ，则 = 0fln)()(f16函数 的驻点是3x17需求量 q 对价格 的函数为 ，则需求弹性为p2e1)(pqEp218已知需求函数为 ，其中 p 为价格，则需求弹性 Ep = 320 10三、极限与微分计算题1解 = = = 4lim2x)2(1li2xx )2(limx42解： = 31li1xlix= 21)(2x3解 = 0sinlm1x0)sinli(x x= =2 2 = 4 xxlim104解 =234lisn()x3()lisnx= = 2 3li(1)i()xx5解 2talm)1ta(li21 xx1)tn(lili1xx 316解 = )32)(li65x )2)(li625xx= (65最新小抄7解： (x)= = y)cos2x2cosinl2x= 2cosinlx8解 xf x1si2)(9解 因为 5lnsi2)co(5ln)5coscos2co xxy所以 li(10解 因为 )(ll331xy31ln2ln2所以 xydl3d11解 因为 )(cos5)(sie4in xxinco所以 yx di12解 因为 )(2l)(s132 xxnco3x所以 xyxd)2ls(d213解 (cs)in) xx2ol14解： )5(e)(l3)(2 xyx515解 在方程等号两边对 x 求导，得)e()1ln(2yy0 yxxye1e)1ln(故 )l(xyy16解 对方程两边同时求导，得0ecosxyy)(最新小抄= .)(xyyecos17解：方程两边对 x 求导，得 yxeye1当 时，0x所以， dx0118解 在方程等号两边对 x 求导，得)(e)cos(yy11in)sin()(e yxxy siyy故 xyd)in(e1d四、应用题1设生产某种产品 个单位时的成本函数为： （万元）,x xxC625.01)(求：（1）当 时的总成本、平均成本和边际成本；10（2）当产量 为多少时，平均成本最小？1解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： xxC625.)(， 0165.0)(xC所以， 18.)(2，.6150.)1(C（2）令 ，得 （ 舍去）2.x20x因为 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当 20 时，平均成本最小. x x2某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为（ 为需求量， 为价格）qp10qp2解 （1）成本函数 = 60 +2000C()因为 ，即 ，10q01所以 收入函数 = =( ) = Rq()p102q（2）因为利润函数 = - = -(60 +2000) L()C1最新小抄= 40 - -2000 q102且 =(40 - -2000 =40- 0.2L()q令 = 0，即 40- 0.2 = 0，得 = 200，它是 在其定义域内的唯一驻点q() L()所以， = 200 是利润函数 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大q(3设某工厂生产某产品的固定成本为 50000 元，每生产一个单位产品，成本增加 100 元又已知需求函数 ，其中 为pq420价格， 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3解 （1） C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数 L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得 p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为 p =300 元时，利润最大. （2）最大利润 （元）1025304)3( 4某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4解 （1）由已知 01.401.4(pR利润函数 222 0.1 qCL 则 ，令 ，解出唯一驻点 .q04.q5q因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大， （2）最大利润为（元）12300250.251)( 5某厂每天生产某种产品 件的成本函数为 （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件q986.)(qqC产品平均成本为多少？5. 解 因为 = = （ ） C()3698.= = q)050q52.令 =0，即 =0，得 =140， = -140（舍去）.()2.1=140 是 在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 1C所以 =140 是平均成本函数 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为 140 件. 此时的平均成本为qq()= =176 （元 /件）()4051369804.6已知某厂生产 件产品的成本为 （万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？q()2126解 （1） 因为 = = Cq()0= = )552q令 =0，即 ，得 =50， =-50（舍去），()201q1=50 是 在其定义域内的唯一驻点q1C所以， =50 是 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产 50 件产品()最新小抄第二部分 积分学一、单项选择题1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ y = x2 + 3 ）2. 若 = 2，则 k =（1） 0d)(k3下列等式不成立的是（ ） )d(lnx4若 ，则 =（ ）.cxfx2e)(f2e4x5. （ ） dx6. 若 ，则 f (x) =（ ）fx11)( 217. 若 是 的一个原函数，则下列等式成立的是( ) F (d)(aFxfxa8下列定积分中积分值为 0 的是（ ）xd2e19下列无穷积分中收敛的是（ ）110设 (q)=100-4q ，若销售量由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改变量是（350 ）R11下列微分方程中，（ ）是线性微分方程xye212微分方程 的阶是（1）.0)()432y二、填空题1 xde222函数 的原函数是- cos2x + c (c 是任意常数)fsin)(23若 ，则c2)1)(f14若 ，则 =xFf(d)( xdecFx)e(5 0 e12lnx6 02)(x7无穷积分 是收敛的（判别其敛散性）0d18设边际收入函数为 (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为 2 + R q39. 是2 阶微分方程.e)(23yx10微分方程 的通解是 cxy3三、计算题 解 cxxx1os)(dsin1sin2最新小抄2解 cxxx2ln)(d23解 cxsinoscosin4解 = 1)l( xxd1)(2l1)(22= c4ln5解 = = = xxd)e1(3ln023l02)ed(1)(xx 3ln0)e(x566解 ld2lnlnl 11e1 e1e142d2xxe17解 = = = xdln12e)lnd(l2e1x 2e1lx)3(8解 = - = =cos2020sisi20cos49解法一 = xxxd1)1ln(d)1ln(e0e xd)1(e1e= =1 e0l解法二 令 ，则u= uuxdlndl)1ln( e1ee0 ee110解 因为 ， P(2Q用公式 d1)ee2d1cxxy d1)e(eln2lncxx2443由 ， 得 712)1(3cy1c所以，特解为 xy4311解 将方程分离变量： yde32等式两端积分得 cxy1e2将初始条件 代入，得 ， c = 3)1(33e13e61最新小抄所以，特解为： 3e2e3xy12解：方程两端乘以 ，得 1xln2即yl)(两边求积分，得 cxxx2ln)(dlln通解为： cy2由 ，得1x所以，满足初始条件的特解为： xy2ln13解 将原方程分离变量 dcotl两端积分得 lnln y = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14. 解 将原方程化为： ，它是一阶线性微分方程，ln1，xP1)(xQ)(用公式 ()d()deePycdeln1dcxxln1llx lc)(c15解 在微分方程 中，y2xQx2)(,1)(由通解公式 deded cyxx )()(cxx2x16解：因为 ， ，由通解公式得xP1)(sin)()deiedcxy= =sn(llx)dsin(1cx= )ico1cx四、应用题1投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为 =2x + 40(万元/百台). 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及)(C产量为多少时，可使平均成本达到最低.最新小抄1解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为= = 100（万元） d)02(xC642)0(又 = = cx0)( 3x3令 ， 解得 .3612 6xx = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本 (x)=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 (x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量C R的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？2解 因为边际利润=12-0.02x 2 = 10-0.02x )()(RxL令 = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为 500 件时，利润最大.当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为=500 - 525 = - 25 （元）50250 )1.0(d)2.1( x即利润将减少 25 元. 3生产某产品的边际成本为 (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 (x)=100-2x（万元/百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润C R最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？ 3. 解 (x) = (x) - (x) = (100 2x) 8x =100 10x LR令 (x)=0, 得 x = 10（百台）又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大. 又 xd)10(d120120 205(12即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元. 4已知某产品的边际成本为 (万元/百台)， x 为产量(百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本.34C4解：因为总成本函数为= xxd)() c2当 x = 0 时， C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 1832又平均成本函数为 xxA183)(令 ， 解得 x = 3 (百台)0)(2xA该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为(万元/百台) 918)3(5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中 x 为产量，单位：百吨销售 x 百吨时的边际收入为C（万元/百吨），求：xR21)(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？5解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x )(x)()(CxRL令 ，得 x = 7 0)(L由该题实际意义可知， x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为最新小抄=112 64 98 + 49 = - 1 （万元）87287 )14(d)214(xxL即利润将减少 1 万元. 第三部分 线性代数一、单项选择题1设 A 为 矩阵， B 为 矩阵，则下列运算中（ AB ）可以进行.2332设 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（, T11T)()(BA3设 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（秩 秩 秩 ）4设 均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ ）, I5设 是可逆矩阵，且 ，则 （ ）.I1I6设 ， ， 是单位矩阵，则 （ ）)21(A)31(BIT5237设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（ AB = AC， A 可逆，则 B = C ）成立.8设 是 阶可逆矩阵， 是不为 0 的常数，则 （ ） nk()k119设 ，则 r(A) =（ 2 ）3142010设线性方程组 的增广矩阵通过初等行变换化为 ，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个bAX 00124361数为（ 1 ）11线性方程组 解的情况是（无解）0121x12若线性方程组的增广矩阵为 ，则当 （ ）时线性方程组无解02A1213 线性方程组 只有零解，则 （可能无解）.XXb()14设线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则该线性方程组（无解）15设线性方程组 有唯一解，则相应的齐次方程组 （只有零解）O二、填空题1两个矩阵 既可相加又可相乘的充分必要条件是 与 是同阶矩阵BA, B2计算矩阵乘积 = 41023213若矩阵 A = ， B = ，则 ATB=264134设 为 矩阵， 为 矩阵，若 AB 与 BA 都可进行运算，则 有关系式mnstmnst,tns,5设 ，当 0 时， 是对称矩阵.1320aa6当 时，矩阵 可逆A37设 为两个已知矩阵，且 可逆，则方程 的解B, BI XBAABI1)(最新小抄8设 为 阶可逆矩阵，则 (A)= Anrn9若矩阵 A = ，则 r(A) =23024110若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则线性方程组 AX = b 无解11若线性方程组 有非零解，则 -1021x12设齐次线性方程组 ，且秩( A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n r1nmX13齐次线性方程组 的系数矩阵为 则此方程组的一般解为 (其中 是自A02134231x43,x由未知量) 14线性方程组 的增广矩阵 化成阶梯形矩阵后为Xb 10024dA则当 时，方程组 有无穷多解.d1A15若线性方程组 有唯一解，则 只有 0 解 ()0X三、计算题1设矩阵 ， ，求 1342A3012BBAI)(T2设矩阵 ， ， ，计算 20212416CCAT3设矩阵 A = ，求 124361A4设矩阵 A = ，求逆矩阵 015设矩阵 A = ， B = ，计算( AB)-121142366设矩阵 A = ， B = ，计算( BA)-102237解矩阵方程 143X8解矩阵方程 . 02519设线性方程组最新小抄baxx3210讨论当 a， b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.05221312x11求下列线性方程组的一般解：0352412xx12求下列线性方程组的一般解：12642321xx13设齐次线性方程组0835321xx问取何值时方程组有非零解，并求一般解.14当 取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.1542312x15已知线性方程组 的增广矩阵经初等行变换化为bAX30016A问 取何值时，方程组 有解？当方程组有解时，求方程组 的一般解.bbAX三、计算题1解 因为 = T2AI10T13420= =2442103所以 = = BAI)2(T1031035最新小抄2解： =CBAT2012416= = 4603解 因为 ( A I )= 112310227430702741 70212103所以 A-1 = 072314解 因为( A I ) = 1208301401241421302421所以 A-1= 213425解 因为 AB = = 04361(AB I ) = 2012 10所以 ( AB)-1= 12最新小抄6解 因为 BA= = 2103012435(BA I )= 10452011253所以 ( BA)-1= 537解 因为 10421042323即 4321所以， X = = 28解：因为 10531301325即 1所以， X = = = 15320132504089解 因为 2112baba30所以当 且 时，方程组无解；1a3b当 时，方程组有唯一解；当 且 时，方程组有无穷多解. 10解 因为210512230A最新小抄3012所以 r(A) = 2， r( ) = 3. 又因为 r(A) r( )，所以方程组无解. 11解 因为系数矩阵1021351220 012所以一般解为 （其中 ， 是自由未知量） 432x3x412解 因为增广矩阵180942161425A 00194所以一般解为 （其中 是自由未知量） 1932x3x13解 因为系数矩阵A = 61028352501所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为（其中 是自由未知量） 321x314解 因为增广矩阵26105014A26所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：是自由未知量 2615321x(x315解：当 =3 时， ，方程组有解. )(Ar最新小抄当 =3 时， 00310316A一般解为 ， 其中 , 为自由未知量. 4321xx34x四、证明题 四、证明题1试证：设 A， B， AB 均为 n 阶对称矩阵，则 AB =BA1证 因为 AT = A， BT = B，( AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA2试证：设 是 n 阶矩阵，若 = 0，则 321)(AII2证 因为 )(2I= = = 3A所以 1(AI3已知矩阵 ，且 ，试证 是可逆矩阵，并求 )(2IB2B1B3. 证 因为 ，且 ，即)(41IA2，)()(412II得 ，所以 是可逆矩阵，且 .BB14. 设 阶矩阵 满足 ， ，证明 是对称矩阵.nAI2TAI4. 证 因为= =所以 是对称矩阵.5设 A， B 均为 n 阶对称矩阵，则 AB BA 也是对称矩阵5证 因为 ，且BTT，T)()(ATB所以 AB BA 是对称矩阵