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考点14 空间几何体的内切球、外接球近年来在高考中经常有多面体与球的切与接的问题，充分体现了对学生空间想象能力，运算求解能力和转化思想的考查，题目难度为中等或偏难为了便于学习和掌握此类问题的求解方法,下面结合高考题进行了以下归纳：类型一 求多面体与内切球或外接球的表面积和体积类型二 多面体的内切球或外接球的最值问题【例】一个正方体内接于球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是( )A（1） （3） B(2）(4） C（1） （2） （3） D（2） （3） （4）【答案】C 【思路归纳】解决此类问题，必须多观察几何体，提高空间想象力1一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A8 B6C4 D【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则a38，即a2故该正方体的内切球的半径r1，所以该正方体的内切球的表面积S4r24【解题技巧】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，可作出合适的截面图 2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a 【规律方法】已知几何体的结构特征求其内切球或外接球的表面积与体积，关键是正确分析已知几何体的各项数据，从中推导出其内切球或外接球的半径再代入公式即可3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6，则这个正四棱柱的体积为( )A1 B2C3 D4【答案】B【解析】S表4R26，所以R设正四棱柱底面边长为x，则21R2，所以x1所以V正四棱柱2故选B4已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为( )A B4 C D【答案】D 5已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=，则球的体积与三棱锥体积之比是( )AB2 C3 D4【答案】D【解析】由题意得SO=r为三棱锥的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面积是2rr=r2,所以三棱锥体积是，又球的体积为，则球的体积与三棱锥体积之比是46如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ） Acm3Bcm3Ccm3Dcm3【答案】A【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，球的体积为=，故选A【解题技巧】分清球被正方体上面所截得的圆的半径为R，然后再求出这个圆的圆心到球的对应顶点的距离，最后在球心、圆心、球的顶点所构成的直角三角形中运用勾股定理求球体的半径7已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径 (2R)2(a)2a2Ra（3）与正方体的各棱均相切的球与正方体相连结的点是正方体各棱的中点，应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图（3）所示，易求得球的半径为a1表面积为16的球的内接正方体的体积为( )A8B24CD16【答案】C【解析】设表面积为16的球的半径为r,则4r2=16,解得r=2设内接正方体的棱长为a，则a=2r，所以a=所以内接正方体的体积V=a3=2在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( )A4B C6 D【答案】B【解析】由题意知，底面三角形的内切圆直径为4三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为3面积为的正六边形的六个顶点都在球的球面上，球心到正六边形所在平面的距离为 ，记球的体积为，球的表面积为，则的值是（ ）A B C D 4某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A B C D【答案】A 黄海明珠 烟台黄海游乐城中的海水中一个巨大的球形建筑，高30米，直径218米，由不锈钢网架结构筑成，叫做“黄海明珠”，球内共分六层，主要以游客餐饮娱乐为主
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