资源描述
图形的相似一、选择题1.已知 ，下列变形错误的是（ ） A.B.C.D.【答案】B 【解析】 由 得，3a=2b，A. 由 得 ，所以变形正确，故不符合题意；B. 由 得3a=2b，所以变形错误，故符合题意；C. 由 可得 ，所以变形正确，故不符合题意；D.3a=2b变形正确，故不符合题意.故答案为：B.【分析】根据已知比例式可得出3a=2b，再根据比例的基本性质对各选项逐一判断即可。2.如图，已知直线abc，直线m分别交直线a、b、c于点A,B,C，直线n分别交直线a、b、c于点D,E,F,若 , ,则 的值应该（ ）A.等于 B.大于 C.小于 D.不能确定【答案】B 【解析】 ：如图，过点A作ANDF，交BE于点M，交CF于点NabcAD=ME=NF=4（平行线中的平行线段相等）AC=AB+BC=2+4=6设MB=x，CN=3xBE=x+4，CF=3x+4x0故答案为：B【分析】过点A作ANDF，交BE于点M，交CF于点N，根据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根据平行线分线段成比例得出BM和CN的关系，设MB=x，CN=3x，分别表示出BE、CF，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A.（5，1）B.（4，3）C.（3，4）D.（1，5）【答案】C 【解析】 ：以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又A（6，8），端点C的坐标为（3，4）故答案为：C【分析】根据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。4.如图，在ABC中，点D在AB边上，DEBC，与边AC交于点E，连结BE，记ADE，BCE的面积分别为S1 ， S2 ， （ ）A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 【答案】D 【解析】 :如图，过点D作DFAC于点F，过点B作BMAC于点MDFBM，设DF=h1 ， BM=h2 DEBC 若 设 =k0.5（0k0.5）AE=ACk，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2kS1= AEh1= ACkh1 ， S2= CEh2= AC（1-k）h23S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）ACh20k0.5 k2（1-K）3S12S2故答案为：D【分析】过点D作DFAC于点F，过点B作BMAC于点M，可得出DFBM，设DF=h1 ， BM=h2 ， 再根据DEBC，可证得 ，若 ，设 =k0.5（0k0.5），再分别求出3S1和2S2 ， 根据k的取值范围，即可得出答案。5.如图,在ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GEBD,且交AB于点E,GFAC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是( ).A.B.C.D.【答案】D 【解析】 ：GEBD, ,因此A不符合题意；GEBD, GFAC ，,因此B、C不符合题意；由得; ,因此D符合题意；故答案为：D【分析】抓住已知条件：GEBD，GFAC，利用平行线分线段成比例，及中间比代换，对各选项逐一判断即可求解。6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则 等于（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 ：四边形ABCD为平行四边形，EDBC，BC=AD，DEFBCF， = ，设ED=k，则AE=2k，BC=3k， = = 故答案为：A【分析】由平行四边形的性质可得EDBC，BC=AD，根据相似三角形的判定可得DEFBCF，则可得比例式,设ED=k，则根据题意可得AE=2k，BC=3k，所以.7.已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的面积比（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 与 相似，且相似比为 与 的面积比为：1:9故答案为：D【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答。8.如图，已知矩形ABCD中，AB2，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD（ ）A.B.1C.4D.2 【答案】B 【解析】 ：设AD=x，根据折叠的性质的得出AB=AF=2，故DF=x-2, 四边形ABCD是矩形，DC=AB=2,又四边形EFDC与矩形ABCD相似，DCAD=FDDC,DC2=ADFD ,即22=x(x-2)，解得 ：x1= ,x2=（舍去）。故答案为 ：【分析】设AD=x，根据折叠的性质得出AB=AF=2，故DF=x-2,根据矩形的对边相等得出DC=AB=2，根据相似多边形的对应边成比例得出关于x的方程，求解得出答案。9.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 ， 和 ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（ ） A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm【答案】C 【解析】 设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得5：2.5=9：x，解得：x=4.5，故答案为：C.【分析】要制作两个形状相同的三角形框架，其实质就是做两个相似的三角形框架，设另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求解即可得出答案。10. 如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE4，过点E作EFBC，分别交BD、CD于G、F两点若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为 （ ）A.3B.C.D.4【答案】C 【解析】 ：取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MONH（如下图）.四边形ABCD是边长为6的正方形，BE=4.AE=DF=2,CF=BE=4.DGFBGE=.GF=2,EF=4.又M、N、K、H、都是中点，MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2,MK=OH=1.KH=MO=3NO=2.在RtMON中，MN= = .故答案为C.【分析】取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MONH（如上图）；由正方形ABCD是边长和BE的长可以得出AE=DF=2,CF=BE=4；再由题得到DGFBGE，利用相似三角形的性质可以求出.GF=2,EF=4；再根据三角形中位线可以得出MO=3，NO=2；利用勾股定理即可得出答案.11.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，BAD60,则OCE的面积是（ ）。A.B.2C.D.4【答案】A 解析 ：菱形ABCD的周长为16，菱形ABCD的边长为4，BAD60,ABD是等边三角形，又O是菱形对角线AC、BD的交点，ACBD，在RtAOD中，AO= ，AC=2A0=4 ，SACD= ODAC= 24 =4 ，又O、E分别是中点，OEAD，COECAD， , ,SCOE= SCAD= 4 = .故答案为：A.【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，ACBD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得ABD是等边三角形；在RtAOD中，根据勾股定理得AO= ，AC=2A0=4 ，根据三角形面积公式得SACD= ODAC=4 ，根据中位线定理得OEAD，由相似三角形性质得 ,从而求出OCE的面积.二、填空题 12.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足PBEDBC，若APD是等腰三角形，则PE的长为数_. 【答案】3或1.2 【解析】 四边形ABCD是矩形，BAD=C=90，CD=AB=6，BD=10，PBEDBC，PBE=DBC，点P在BD上， 如图1，当DP=DA=8时，BP=2，PBEDBC，PE：CD=PB：DB=2：10，PE：6=2：10，PE=1.2；如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，PBEDBC，PE：CD=PB：DB=1：2，PE：6=1：2，PE=3；综上，PE的长为1.2或3，故答案为：1.2或3.【分析】 根据矩形的性质，可得出BAD=C=90，利用勾股定理求出BD的长，根据相似三角形的性质，可得出PBE=DBC，得出点P在BD上，然后分情况讨论：当DP=DA=8时，BP=2；当AP=DP时，此时P为BD中点，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，就可求出PE的长。13.在RtABC中C=90，AD平分CAB,BE平分CBA,AD、BE相交于点F，且AF=4,EF= ,则AC=_【答案】【解析】 ：作EGAF，连接CF，C=90，CAB+CBA=90，又AD平分CAB,BE平分CBA,FAB+FBA=45，AFE=45，在RtEGF中，EF= ,AFE=45，EG=FG=1，又AF=4,AG=3,AE= ，AD平分CAB,BE平分CBA,CF平分ACB,ACF=45，AFE=ACF=45，FAE=CAF，AEFAFC， ,即 ,AC= .故答案为： .【分析】作EGAF，连接CF，根据三角形内角和和角平分线定义得FAB+FBA=45，再由三角形外角性质得AFE=45，在RtEGF中，根据勾股定理得EG=FG=1，结合已知条件得AG=3,在RtAEG中，根据勾股定理得AE= ；由已知得F是三角形角平分线的交点，所以CF平分ACB,ACF=45，根据相似三角形的判定和性质得 ,从而求出AC的长.14.如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DEBC，AD：DB1：2，则ADE与ABC的面积的比为_【答案】1:9 【解析】 【解答】解：AD：DB1：2，AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3，DE/BC，ADEABC， ，则 故答案为：1:9.【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方；由平行可得ADEABC，而且相似比AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3.15.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，EAF=45，则AF的长为_【答案】【解析】 ：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，四边形ABCD是矩形，D=BAD=B=90，AD=BC=4，NF= x，AN=4x，AB=2，AM=BM=1，AE= ，AB=2，BE=1，ME= ，EAF=45，MAE+NAF=45，MAE+AEM=45，MEA=NAF，AMEFNA， ， ，解得：x= AF= 故答案为： 【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，根据矩形的性质得出D=BAD=B=90，AD=BC=4，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NF=x，AN=4x，根据中点定义得出AM=BM=1，根据勾股定理得出BE=1，ME=， 然后判断出AMEFNA，根据相似三角形对应边成比例得出AM FN=MEAN，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，根据勾股定理得出AF的长。16.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AGGF，AC ，则AB的长为_【答案】2 【解析】 ：设AB=CD=2x，则AE=BE=CG=DG=x，AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2 ， AGGF，AGD+CGF=90，在矩形ABCD中，D=FCG=90，AGD+DAG=90，CGF=DAG，ADGGCF， ，即DGCG=ADCF，DG=CG=x，CF= AD， ,解得x1=1,x2=-1（舍去），则AB=2x=2故答案为：2.【分析】由AGGF，及D=FCG=90，可证明ADGGCF，则 ，而CG=DG，CF= AD，则CG2= ，只需要得到另一个CG与AD的数量关系：由AC 和勾股定理可知AD2=BC2=AC2-CD2=6-(2CG)2 ， 构造方程即可解答.17.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=15，AC= 20，点D在边AC上，AD=5，DEBC于点E，连结AE，则ABE的面积等于_【答案】78 【解析】 :在RtABC中，BAC=90，AB=15，AC= 20，BC=25ABC的面积=ABAC=1520=150CD=AC-AD=20-5-15DEBC，DEC=BAC=90C=CCDECBA即CE:20=15：25解之：CE=12BE=BC-CE=13SABE：SABC=BE:BC=13：25SABE：150=13：25解之：SABE=78故答案为：78【分析】根据题意，利用勾股定理求出BC的长，就可求出ABC的面积，再证明CDECBA，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出CE的长，从而求出BE的长，然后根据SABE：SABC=BE:BC，建立方程，求出ABE的面积即可。18.如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线BD延长线上一点，BD4，DE1，BAE45，则AB长为 _【答案】【解析】 ：连接AO交BD于O，作BMAE于M，交AC于NBAE=45，BMA=90，MAB=MBA=45，AM=BM，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOE=90，设AM=BM=b，ME=a，E=E，AOE=BME=90，AOEBME， = ， = ，a2+ab=15 又a2+b2=25 53得到：2a2+5ab3b2=0，（a+3b）（2ab）=0，b=2a代入得到a= ，b=2 ，AB= AM=2 故答案为2 【分析】连接AO交BD于O，作BMAE于M，交AC于N根据三角形的内角和判断出MAB=MBA=45，根据等边对等角得出AM=BM，根据菱形的性质得出ACBD，AOE=90，设AM=BM=b，ME=a，然后判断出AOEBME，根据相似三角形对应边成比例得出 O E E M = A E B E，从而得出关于a,b的方程，a2+ab=15 ，根据勾股定理得出a2+b2=25 ，53得到：2a2+5ab3b2=0，求解得出，a,b的值，根据等腰直角三角形边之间的关系由AB=AM得出答案。19.边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点,P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动,过P做PFDE,当运动时间为_秒时，以点P、F、E为顶点的三角形与AED相似【答案】1或 【解析】 四边形ABCD是正方形，PFDE，A=DFP=ADC=90，ADE+EDP=EDP+DPF=90，ADE=FPD，ADEFPD.（ 1 ）如图1，当DPE=90时，易得FPDFEP，则ADEFEP，此时四边形AEPD是矩形，DP=AE=1，t=1，即当t=1时，ADEFEP；（ 2 ）如图2，当DP=EP时，易得FPEFPD，则FEPADE，此时四边形AEHD是矩形，DH=AE=1，HP=x-1，HE=AD=2，PE2=HE2+HP2=PD2 ， ，解得： ；综上所述，当 或 时，以点P、F、E为顶点的三角形与AED相似.故答案为：1或 .【分析】由题意知，不论点P运动到何处，易证得ADEFPD，所以只需FEP与三角形FPD相似或全等即可。由题意可分两种情况：（1）当DPE=90时，易得ADEFEP，可得比例式求解；（2）当DP=EP时，易得FPEFPD，则FEPADE，于是可得比例式求解。三、解答题 20.如图，点D在ABC的边AB上，ACD=B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长【答案】解：ACD=B，A=A，ADCACB， = ，即 = ，解得，AC=2 【解析】【分析】ACD=B，而A是公共角，所以根据有两个角相等的两个三角形相似可得ADCACB，所以可得比例式,即,解得AC=2.21.如图，ABC中，点D在边AB上，满足ACD=ABC，若AC= ，AD=1，求DB的长【答案】解：ACD=ABC，又A=A，ABCACD ， ，AC= ，AD=1， ，AB=3，BD= ABAD=31=2 【解析】【分析】根据已知条件易证得ABCACD ，由相似三角形的性质可得比例式,将已知的线段代入即可求解。22.如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DEAG，于点E，BFAG于点F，设 。（1）求证：AE=BF； （2）连接BE，DF，设EDF= ，EBF= 求证： （3）设线段AG与对角线BD交于点H，AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2 ， 求 的最大值 【答案】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以BAF+EAD=90，又因为DEAG，所以EAD+ADE=90，所以ADE=BAF，又因为BFAG，所以DEA=AFB=90，又因为AD=AB所以RtDAERtABF，所以AE=BF（2）易知RtBFGRtDEA，所以 在RtDEF和RtBEF中，tan= ，tan= 所以ktan= = = = =tan所以 （3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，所以ABG的面积等于 k因为ABD的面积等于 又因为 =k，所以S1= 所以S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= 因为0k1，所以当k= ，即点G为BC中点时， 有最大值 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义，可证得ADE=BAF，ADE=BAF及AD=AB，利用全等三角形的判定，可证得RtDAERtABF，从而可证得结论。（2）根据已知易证RtBFGRtDEA，得出对应边成比例，再在RtDEF和RtBEF中，根据锐角三角函数的定义，分别表示出tan、tan，从而可推出tan=tan。（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，分别表示出ABG、ABD的面积，再根据 =k,求出S1及S2 ， 再求出S1与S2之比与k的函数解析式，求出顶点坐标，然后根据k的取值范围，即可求解。23.如图，以 的直角边 为直径作 交斜边 于点 ，过圆心 作 ，交 于点 ，连接 .（1）判断 与 的位置关系并说明理由； （2）求证： ； （3）若 ， ，求 的长. 【答案】（1）解：DE是圆O的切线证明：连接ODOEAC1=3，2=AOA=OD1=A2=3在BOE和DOE中OE=OD，2=3，OE=OEBOEDOE（SAS）ODE=OBE=90ODDEDE是圆O的切线（2）解：证明：连接BDAB是直径BDC=ADB=ABC=90OEAC，O是AB的中点OE是ABC的中位线AC=2OEBDC=ABC，C=CABCBDC BC2=2CDOEBC=2DE，（2DE）2=2CDOE （3）解： 设：BD=4x，CD=3x在BDC中， ，BC=2DE=5（4x）2+（3x）2=25解之：x=1，x=-1（舍去）BD=4ABD=CAD=BDtanABD= 【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明2=3，再证明BOEDOE，可证出ODDE，即可得证。（2）连接BD，证明OE是ABC的中位线，得出AC=2OE，再证明ABCBDC，得出BC2=ACCD，结合BC=2DE，AC=2OE，即可求证结论。（3）根据三角函数的定义，BD=4x，CD=3x，先求出BC的长，再根据勾股定理求出x的值，就可得出BD的长，再根据ABD=C，利用锐角三角函数的定义得出AD=BDtanABD，即可解答。24.如果三角形的两个内角 与 满足 90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若ABC是“准互余三角形”，C90，A60，则B_； （2）如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC5，若AD是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由 （3）如图，在四边形ABCD中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且ABC是“准互余三角形”求对角线AC的长 【答案】（1）15（2）解：存在，如图，连结AE，在RtABC中，B+BAC=90，AD是BAC的平分线，BAC=2BAD，B+2BAD=90，ABD是“准互余三角形”，又ABE也是“准互余三角形”，B+2BAE=90，B+BAE+EAC=90，EAC=B,又C=C,CAECBA， ,即CA2=CBCE，AC4，BC5，CE= .BE=BC-CE=5- = .（3）解：如图，将BCD沿BC翻折得到BCF,CD12，CF=CD=12，BCF=BCD,CBD=CBF,又BDCD，ABD=2BCD，CBD+BCD=90，2CBD+2BCD=180，即ABD+CBD+CBF=180，A、B、F三点共线，在RtAFC中，CAB+ACF=90，即CAB+ACB+BCF=90，CAB+2ACB90，ABC是“准互余三角形”,2CAB+ACB=90，CAB=BCF，F=F,FCBFAC， ,即FC2=FAFB,设BF=x，AB=7,FA=x+7,x（x+7）=122,解得：x1=9，x2=-16（舍去）AF=7+9=16.在RtAFC中，AC= = =20. 【解析】 （1）解：ABC是“准互余三角形”，C90，A60，2B+A=90，2B+60=90，B=15.故答案为：15【分析】（1）根据“准互余三角形”，的定义，结合题意得2B+A=90，代入数值即可求出B度数.（2）存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得B+2BAD=90，根据“准互余三角形”，定义即可得ABD是“准互余三角形”；根据ABE是“准互余三角形”，以及直角三角形两内角互余可得EAC=B,根据相似三角形判定“AA”可得CAECBA，再由相似三角形性质得 ,由此求出CE= .从而得BE长.（3）如图，将BCD沿BC翻折得到BCF,根据翻折性质、直角三角形性质、“准互余三角形”定义可得到FCBFAC，再由相似三角形性质可得 ,设BF=x，代入数值即可求出x值，从而求出AF值，在RtAFC中，根据勾股定理即可求得AC长.
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