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第七章图形变换7.1图形的平移、对称、旋转与位似学用P77过关演练(30分钟80分)1.下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是(A)【解析】A是轴对称图形不是中心对称图形;B是中心对称图形不是轴对称图形;C和D既是轴对称图形又是中心对称图形.2.小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是(B)A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,-2)D.(-1,-2)【解析】因为棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示,故可知最右边的圆子为坐标原点,分别画出四个选项的图形,可知B项正确.3.(xx四川内江)如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),BAC=90,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若ABC与ABC关于点P成中心对称,则点A的坐标为(A)A.(-4,-5)B.(-5,-4)C.(-3,-4)D.(-4,-3)【解析】点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),BAC=90,AB=AC,ABC是等腰直角三角形,A(4,3),设直线AB解析式为y=kx+b,则3=4k+b,1=2k+b,解得k=1,b=-1,直线AB解析式为y=x-1,令x=0,则y=-1,P(0,-1),又点A与点A关于点P成中心对称,点P为AA的中点,设A(m,n),则m+42=0,3+n2=-1,m=-4,n=-5,点A的坐标为(-4,-5).4.(xx山西)如图,在RtABC中,ACB=90,A=60,AC=6,将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到ABC,此时点A恰好在AB边上,则点B与点B之间的距离为(D)A.12B.6C.62D.63【解析】连接BB,将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到ABC,AC=AC,AB=AB,A=CAB=60,AAC是等边三角形,AAC=60,BAB=180-60-60=60,ACA=BCB=60,BC=BC,BCB是等边三角形,CBB=60,CBA=30,ABB=30,BBA=180-60-30=90,ACB=90,A=60,AC=6,AB=12,AB=AB-AA=AB-AC=6,BB=63.5.(xx辽宁阜新)如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转xx次得到正方形OAxxB2018Cxx,如果点A的坐标为(1,0),那么点Bxx的坐标为(D)A.(1,1)B.(0,2)C.(-2,0)D.(-1,1)【解析】四边形OABC是正方形,且OA=1,B(1,1),连接OB,由勾股定理得OB=2,由旋转得OB=OB1=OB2=OB3=2,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45,依次得到AOB=BOB1=B1OB2=45,B1(0,2),B2(-1,1),B3(-2,0),发现是8次一循环,所以xx8=2522,点Bxx的坐标为(-1,1).6.如图,若ABC内一点P满足PAC=PBA=PCB,则点P为ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocard point)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle,17801855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard,18451922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,EDF=90.若点Q为DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ的值为(D)A.5B.4C.3+2D.2+2【解析】把点Q绕点D顺时针旋转90到点M,连接ME,MQ,MD,则MEDQFD,ME=QF,MD=QD,MED=QFD,MDE=QDF,设QED=QFE=QDF=MDE=,在RtDMQ中,由勾股定理得MQ=2,QED=QDF,EDF=90,EQD=90,QFD+=45,MED+=45,MQD=45,EQM=90-45=45,MQE是等腰直角三角形,由勾股定理得QE=2,又ME=MQ=2,则FQ=2,QE+QF=2+2.7.如图,把ABC沿着BC的方向平移到DEF的位置,它们重叠部分的面积是ABC面积的一半,若BC=3,则ABC移动的距离是3-62.【解析】由平移的性质得ABEH,CHECAB,ECBC2=SEHCSBAC=12SBACSBAC=12,ECBC=22,BC=3,EC=322=62,平移距离BE=BC-EC=3-62.8.(xx湖北随州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,AOC=60,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75,得到四边形OABC,则点B的对应点B的坐标为(6,-6).【解析】作BHx轴于H点,连接OB,OB,如图,四边形OABC为菱形,AOC=180-C=60,OB平分AOC,AOB=30,菱形OABC绕原点O顺时针旋转75至第四象限OABC的位置,BOB=75,OB=OB=23,AOB=BOB-AOB=45,OBH为等腰直角三角形,OH=BH=22OB=6,点B的坐标为(6,-6).9.如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B(0,-2),C(1,0).点P(0,2)绕点A旋转180得到点P1,点P1绕点B旋转180得到点P2,点P2绕点C旋转180得到点P3,点P3绕点A旋转180得到点P4,按此作法进行下去,则点Pxx的坐标为(2,-4).【解析】由题意依次作出各点,如图,得P1(-2,0),P2(2,-4),P3(0,4),P4(-2,-2),P5(2,-2),P6(0,2),发现点P6与点P重合,即6次一个循环,xx6=3362,点Pxx与点P2重合,即点Pxx的坐标为(2,-4).10.(9分)如图,在小正方形组成的网格中,ABC和DEF的顶点都在格点上,根据图形解答下列问题:(1)将ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的A1B1C1;(2)将DEF绕D点逆时针旋转90,画出旋转后的DE1F1.解:(1)如图所示,A1B1C1即为所求.(2)如图所示,DE1F1即为所求.11.(10分)ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.(1)作ABC关于点C成中心对称的A1B1C;(2)将A1B1C向右平移4个单位,作出平移后的A2B2C2;(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标.(不写解答过程,直接写出结果)解:(1)如图,A1B1C为所作.(2)如图,A2B2C2为所作.(3)P点坐标为83,0.12.(12分)如图,将ABC沿着射线BC方向平移至ABC,使点A落在ACB的外角平分线CD上,连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状,并说明理由;(2)在ABC中,B=90,AB=8,cos BAC=45,求CB的长.解:(1)四边形ACCA是菱形,理由:由平移的性质可得AA=CC,且AACC,四边形ACCA是平行四边形,由AACC得AAC=ACB,由题意得CD平分ACB,ACA=ACB,ACA=AAC,AA=AC,平行四边形ACCA是菱形.(2)在RtABC中,B=90,AB=8,cos BAC=ABAC=45,AC=10,BC=AC2-AB2=102-82=6,由平移的性质可得BC=BC=6,由(1)得四边形ACCA是菱形,AC=CC=10,CB=CC-BC=10-6=4.13.(10分)(xx山东莱芜)已知ABC中,AB=AC,BAC=90,D,E分别是AB,AC的中点,将ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度(00)个单位后,ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=3x的图象上,则m的值为0.5或4.【解析】设平移后的三角形为ABC,其中A(-1+m,-1),B(-1+m,3),C(-3+m,-3),AB的中点坐标为(-1+m,1),AC的中点坐标为(-2+m,-2),BC的中点坐标为(-2+m,0),当AB的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=1(-1+m),解得m=4;当AC的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=-2(-2+m),解得m=0.5;当BC的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=0(-2+m),方程无解.综上,m的值为0.5或4.5.如图,在平面直角坐标系中,ABC各顶点的坐标分别为(-2,-2),(-4,-1),(-4,-4).(1)作出ABC关于原点成中心对称的A1B1C1;(2)作出点A关于x轴的对称点A.若把A向右平移a个单位后落在A1B1C1的内部(不包括顶点和边界),求a的取值范围.解:(1)A1B1C1如图.(2)点A如图所示,a的取值范围是4a6.6.如图,在平面直角坐标系中,RtABC的三个顶点都在格点上,点A,B,C的坐标分别为A(-1,3),B(-3,1),C(-1,1).请解答下列问题:(1)画出ABC关于y轴对称的A1B1C1,并写出点B1的坐标;(2)画出A1B1C1绕点C1顺时针旋转90后得到的A2B2C1,并求出点A1走过的路径长.解:(1)A1B1C1如图,B1点坐标为(3,1).(2)A2B2C1如图,点A1走过的路径长为1422=.7.如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕AP交MN于点E;延长PF交AB于点G.求证:(1)AFGAFP;(2)APG为等边三角形.解:(1)由折叠可得M,N分别为AD,BC的中点,DCMNAB,F为PG的中点,即PF=GF,由折叠可得PFA=D=AFG=90,在AFP和AFG中,PF=GF,AFP=AFG,AF=AF,AFPAFG(SAS).(2)AFPAFG,AP=AG,AFPG,2=3,又由折叠可得1=2,1=2=3=30,2+3=60,即PAG=60,APG为等边三角形.
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