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课时规范练39直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.(2018天津河西区质检三,5)设m是直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若m,m,则B.若m,m,则C.若,m,则mD.若,m,则m2.(2018重庆八中八模,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段BC1上任意一点,则下列结论正确的是()A.AD1DMB.AC1DMC.AMB1CD.A1MB1C3.(2018福建罗源一中模拟,12)设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点,且AB=2,EF=1,给出下列四个命题:三棱锥D1-B1EF的体积为定值;异面直线D1B1与EF所成的角为45;D1B1平面B1EF;直线D1B1与AC1不垂直.其中正确的命题为()A.B.C.D.4.(2018全国1,文10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.835.(2018吉林四平一模,14)ABCD是正方形,P为平面ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB,平面PBC,平面PCD,平面PAD,平面ABCD这五个平面中,互相垂直的平面有对.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:AEDA1;(2)在线段AA1上求一点G,使得AE平面DFG.7.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ADBC,ABAC,AB=AC=2,点E在AD上,且AE=2ED.(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF平面PAC;(2)若PBC的面积是梯形ABCD面积的,求点E到平面PBC的距离.综合提升组8.(2018云南昆明检测,10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则()A.MNC1D1B.MNBC1C.MN平面ACD1D.MN平面ACC19.(2018吉林梅河口二模,16)在四面体ABCD中,DA平面ABC,ABAC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱BC上一点,且平面ADE平面BCD,则DE=.10.已知正四棱锥P-ABCD内接于半径为的球O中(且球心O在该棱锥内部),底面ABCD的边长为2,求点A到平面PBC的距离.11.如图,在RtABC中,ACB=90,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将BDE折起至FDE,且CEF=60.(1)求四棱锥F-ADEC的体积;(2)求证:平面ADF平面ACF.12.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)如果E是PA的中点,求证:PC平面BDE.(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE?证明你的结论.创新应用组13.如图所示,平面ABCD平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.(1)证明:AE平面BDF;(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PMBE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.课时规范练39直线、平面垂直的判定与性质1.B在A中,m,m,则与相交或平行,故A错误;在B中,m,m,则由面面垂直的判定定理得,故B正确;在C中,m,则m与相交,平行或m,故C错误;在D中,m,则m或m,故D错误,故选B.2.C由题得B1CBC1,B1CAB,因为AB,BC1平面ABM,且ABBC1=B,所以B1C平面ABM,所以AMB1C.故选C.3.A由题意得,如图所示,中,三棱锥的体积为VD1-B1EF=VB1-D1EF=13SD1EFB1C1=1312EF22=23,所以体积为定值;中,在正方体中,EFC1D1,所以异面直线D1B1与EF所成的角就是直线D1B1与C1D1所成的角,即B1D1C1=45,所以这是正确的;中,由可知,直线D1B1与EF不垂直,所以D1B1面B1EF不成立,所以是错误的;B1D1平面AA1C1C,又AC1平面AA1C1C,可知D1B1与AC1垂直,所以不正确.故选A.4.C在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面BCC1B1,连接BC1,则AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,AC1B=30,所以在RtABC1中,BC1=ABtanAC1B=23,又BC=2,所以在RtBCC1中,CC1=(23)2-22=22,所以该长方体体积V=BCCC1AB=82.5.5因为PA平面ABCD,所以平面PAD平面ABCD,平面PAB平面ABCD.又因为AD平面PAB,所以平面PAD平面PAB,同理可得平面PBC平面PAB,平面PAD平面PCD,故互相垂直的平面有5对.故填5.6.(1)证明 连接AD1,BC1(图略).由正方体的性质可知,DA1AD1,DA1AB,又ABAD1=A,DA1平面ABC1D1.AE平面ABC1D1,AEDA1.(2)解 所求点G即为点A1,证明如下:由(1)可知AEDA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DFAH,DFEH,AHEH=H,可得DF平面AHE.AE平面AHE,DFAE.又DFA1D=D,AE平面DFA1,即AE平面DFG.7.(1)证明 ABAC,AB=AC,ACB=45.底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ADBC,ACD=45,AD=CD,BC=2AC=2AD.AE=2ED,CF=2FB,AE=BF=23AD,四边形ABFE是平行四边形,ABEF.又ABAC,ACEF.PA底面ABCD,PAEF.PAAC=A,EF平面PAC.EF平面PEF,平面PEF平面PAC.(2)解 PA底面ABCD,且AB=AC,PB=PC,取BC的中点G,连接AG,则AGBC,AG=CD=1.设PA=x,连接PG,则PG=x2+1,PBC的面积是梯形ABCD面积的43倍,122PG=4312(1+2)1,即PG=2,求得x=3,ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,AD平面PBC,点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,VA-PBC=VP-ABC,SPBC=2SABC,点E到平面PBC的距离为12PA=32.8.D对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点,所以点N平面CDD1C1,点M平面CDD1C1,所以直线MN是平面CDD1C1的交线,又因为直线C1D1在平面CDD1C1内,故直线MN与直线C1D1不可能平行,故选项A错;对于选项B,正方体中易知NBNC1,因为点M是BC1的中点,所以直线MN与直线BC1不垂直.故选项B不对;对于选项C,假设MN平面ACD1,可得MNCD1.因为N是BC1的中点,所以MC=MD1.这与MCMD1矛盾.故假设不成立.所以选项C不对;对于选项D,分别取B1C1,C1D1的中点P、Q,连接PM、QN、PQ.因为点M是BC1的中点,所以PMCC1且PM=12CC1.同理QNCC1且QN=12CC1.所以PMQN且PM=QN,所以四边形PQNM为平行四边形.所以PQMN.在正方体中,CC1PQ,PQAC.因为ACCC1=C,AC平面ACC1,CC1平面ACC1,所以PQ平面ACC1.因为PQMN,所以MN平面ACC1.故选D.9.135过A作AHDE,因为平面ADE平面BCD,且平面ADE平面BCD=DE,AH平面BCD,AHBC,又ADBC,BC平面ADE,BCAE,AE=345,AD=1,DE=135.10.解 如图所示,连接AC与BD交于O,显然球心O在正棱锥P-ABCD的高PO上,因为球O的半径为54,所以OD=OP=54,又因为底面ABCD的边长为2,所以BD=2+2=2,OD=12BD=1,在OOD中,由勾股定理得OO=OD2-OD2=(54)2-12=34,所以OP=OP+OO=54+34=2,设点A到平面PBC的距离为h,则由VA-PBC=VP-ABC,可得:13122(5)2-(22)2h=1312(2)22,解得h=43.11.(1)解 D,E分别是AB,BC边的中点,DE12AC,DEBC,DE=1.依题意,DEEF,BE=EF=2,EFEC=E,DE平面CEF,DE平面ACED,平面ACED平面CEF.作FMEC于M,则FM平面ACED,CEF=60,FM=3,梯形ACED的面积S=12(AC+ED)EC=12(1+2)2=3.四棱锥F-ADEC的体积V=13Sh=1333=3.(2)证明 (法一)如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQAC,NQDE,四边形DEQN是平行四边形,DNEQ.EC=EF,CEF=60,CEF是等边三角形,EQFC,又DE平面CEF,DEEQ,ACEQ,FCAC=C,EQ平面ACF,DN平面ACF,又DN平面ADF,平面ADF平面ACF.(法二)连接BF,EC=EF,CEF=60,CEF是边长为2等边三角形.BE=EF,EBF=12CEF=30,BFC=90,BFFC.DE平面BCF,DEAC,AC平面BCF.BF平面BCF,ACBF,又FCAC=C,BF平面ACF,又BF平面ADF,平面ADF平面ACF.12.(1)解 PA底面ABCD,PA为此四棱锥底面上的高.V四棱锥P-ABCD=13S正方形ABCDPA=13122=23.(2)证明 连接AC交BD于点O,连接OE.四边形ABCD是正方形,AO=OC.又AE=EP,OEPC.又PC平面BDE,OE平面BDE,PC平面BDE.(3)解 不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE.证明如下:四边形ABCD是正方形,BDAC.PA底面ABCD,PABD.又PAAC=A,BD平面PAC.CE平面PAC,BDCE.13.(1)证明 连接AC交BD于点O,连接OF.四边形ABCD是矩形,O为AC的中点.又F为EC的中点,OFAE.又OF平面BDF,AE平面BDF,AE平面BDF.(2)解 当点P为AE的中点时,有PMBE,证明如下:取BE的中点H,连接DP,PH,CH.P为AE的中点,H为BE的中点,PHAB.又ABCD,PHCD,P,H,C,D四点共面.平面ABCD平面BCE,且平面ABCD平面BCE=BC,CDBC,CD平面ABCD,CD平面BCE.又BE平面BCE,CDBE,BC=CE,且H为BE的中点,CHBE.又CHCD=C,且CH,CD平面DPHC,BE平面DPHC.又PM平面DPHC,PMBE.
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