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专题能力训练22坐标系与参数方程(选修44)一、能力突破训练1.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+3cost,y=-2+3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为2sin-4=m(mR).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.2.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=-8+t,y=t2(t为参数),曲线C的参数方程为x=2s2,y=22s(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.3.(2018全国,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.4.已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.5.(2018全国,理22)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,y=1+asint(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.7.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为sin2-cos=0,点M1,2.以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.二、思维提升训练8.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=23sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当点P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.9.已知直线l的参数方程为x=1+2t,y=2t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是=sin1-sin2.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出点P的坐标.10.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin+4=42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.专题能力训练22坐标系与参数方程(选修44)一、能力突破训练1.解 (1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由2sin-4=m,得sin -cos -m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即|1-(-2)+m|2=2,解得m=-322.2.解 直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s),从而点P到直线l的距离d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45.当s=2时,dmin=455.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.3.解 (1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.当cos 0时,l的普通方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的普通方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.4.解 (1)曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=55|4cos +3sin -6|,则|PA|=dsin30=255|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =43.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.5.解 (1)O的普通方程为x2+y2=1.当=2时,l与O交于两点.当2时,记tan =k,则l的方程为y=kx-2,l与O交于两点当且仅当21+k21,解得k1,即4,2或2,34.综上,的取值范围是4,34.(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsint为参数,434.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin +1=0.于是tA+tB=22sin ,tP=2sin .又点P的坐标(x,y)满足x=tPcos,y=-2+tPsin.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2为参数,40.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-32,t1t2=2.又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2.二、思维提升训练8.解 (1)由=23sin ,得2=23sin ,从而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)设P3+12t,32t,又C(0,3),则|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).9.解 (1)由x=1+2t,y=2t,得x-y=1,故直线的极坐标方程为cos -sin =1,即2coscos4-sinsin4=1,即2cos+4=1.=sin1-sin2,=sincos2,cos2=sin ,(cos )2=sin ,即曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)设P(x0,y0),y0=x02,则P到直线l的距离d=|x0-y0-1|2=|x0-x02-1|2=-x0-122-342=x0-122+342.当x0=12时,dmin=328,此时P12,14.当点P的坐标为12,14时,P到直线l的距离最小,最小值为328.10.解 (1)由曲线C1:x=3cos,y=sin(为参数),得x3=cos,y=sin(为参数),两式两边平方相加,得x32+y2=1,即曲线C1的普通方程为x23+y2=1.由曲线C2:sin+4=42,得22(sin +cos )=42,即sin +cos =8,所以x+y-8=0,即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.(2)由(1)知,椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点P(3cos ,sin )到直线x+y-8=0的距离d=|3cos+sin-8|2=2sin+3-82,所以当sin+3=1时,d的最小值为32,此时点P的坐标为32,12.
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