资源描述
第三讲直线与圆锥曲线的位置关系考点一轨迹方程问题求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x、y之间的关系F(x，y)0；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；(3)相关点法(代入法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得出要求的轨迹方程；(4)参数法：将动点的坐标(x，y)表示为第三个变量的函数，再消参得所求方程对点训练1已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线(非x轴)相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax21(x1) Bx21(x0) Dx21(x1)解析由题意知，|PM|PN|BM|BN|2，由双曲线的定义可知点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由c3，a1，知b28.所以点P的轨迹方程为x21(x1)故选A.答案A2(2018豫北四校联考)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_解析设A(x，y)，由题意可知D.又|CD|3，229，即(x10)2y236，由于A、B、C三点不共线，点A不能落在x轴上，即y0，点A的轨迹方程为(x10)2y236(y0)答案(x10)2y236(y0)3已知P是圆x2y24上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足，则点M的轨迹方程是_解析设M(x，y)，则D(x,0)，由知P(x,2y)，点P在圆x2y24上，x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21.答案y214已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同于A1、A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为_解析由题设知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x)，联立，解得x0，且|x|0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p. 解(1)设点P(x，y)，因为A(，0)，B(，0)，所以直线PA的斜率为(x)，直线PB的斜率为(x)，又直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为，所以k1(x)，整理得y21(x)，所以点P的轨迹C的方程为y21(x)(2)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，在y轴上的截距为1的直线l的方程为ykx1，联立方程得消去y，得(12k2)x24kx0，解得x10，x2，所以|MN|x1x2|，整理得k4k2200，即(k24)(k25)0，解得k2.所以直线l的方程为2xy10或2xy10.(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|，其中k为弦AB所在直线的斜率对点训练已知双曲线y21的右焦点是抛物线y22px(p0)的焦点，直线ykxm与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，求AOB(O为坐标原点)的面积解由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)因为该点也为抛物线的焦点，所以p4.所以抛物线方程为y28x.又因为直线ykxm与抛物线相交于A，B两点所以将直线方程代入抛物线方程可得(kxm)28x，即k2x2(2km8)xm20，x1x2，x1x2.又因为M(2,2)是线段AB的中点，所以x1x24，且22km，联立解得k2，m2.所以|AB|x1x2|2，O到AB的距离d.SAOB22.考点三直线与圆锥曲线的位置关系1解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后利用根与系数的关系建立方程(组)，解决相关问题2涉及弦的中点坐标时，可以采用“点差法”求解，设出弦端点A、B的坐标，分别代入圆锥曲线方程并作差，变形后可出现弦AB的中点坐标和直线AB的斜率证明(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P，|.于是|2.同理，|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2|.将m代入得k1.所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以该数列的公差为或.求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法对点训练(2018长春第一次质量监测)已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且2b0)，则解得所以椭圆C的方程为1.(2)根据题意可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得消去x，得y2y90，1440.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又，所以y1y2.把代入得y1，y2，并结合可得y1y2，则，即2.因为23，所以2，即0，解得00)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，或k1，因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、定点、定值、最值、范围以及存在性问题都是考查的重点，常与向量、函数、不等式等知识结合解题时，常以直线与圆锥曲线的位置关系为突破口，利用设而不求、整体代换的技巧求解，要注重数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想在解题中的指导作用热点课题16圆锥曲线中的切线问题感悟体验1(2018广东茂名第一次综合测试)从抛物线x24y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，且A，B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为_解析解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，1)，则kAB.因为y1，y2，所以kAB，所以x1x2.由x24y，得y，所以y，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，切线PB的方程为yy2(xx2)，即切线PA的方程为y(xx1)，即x2x1x4y0，切线PB的方程为y(xx2)，即x2x2x4y0.因为点P(x0，1)同时在切线PA，PB上，所以x2x1x040，x2x2x040，所以x1，x2是方程x22x0x40的两根，所以x1x22x0，所以x0.解法二：设P(x0，1)，则直线AB的方程为x0x4，即yx1.又直线AB的倾斜角为，所以，所以x0.答案2已知一个椭圆的两个焦点分别为F1(5,0)和F2(5,0)，且与直线xy60相切，则该椭圆的长轴长为_解析解法一：设切点为P(x0，y0)，椭圆方程为1(ab0)，则切线为1，即yx，对比xy60，可得解得代入切线方程xy60，可得a2b2360，由c5，得2a.即该椭圆的长轴长为.解法二：设椭圆方程为1(ab0)，椭圆与直线xy60相切于P点，则|PF1|PF2|2a.在直线xy60上任取异于点P的点Q，均有|QF1|QF2|2a，可知点P是直线xy60上到两定点F1，F2的距离之和最小的点若F1(5,0)关于直线xy60对称的点为F1，则F1，P，F2三点在同一直线上，易得F1(6,11)，所以2a|PF1|PF2|PF1|PF2|F1F2|.即该椭圆的长轴长为.答案专题跟踪训练(二十六)一、选择题1在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，则满足tanPABtanPBAm(m为非零常数)的点P的轨迹方程是()Ax21(y0) Bx21Cx21(y0) Dx21解析设P(x，y)，由题意，得m(m0)，化简可得x21(y0)答案C2(2018重庆模拟)设A，P是椭圆y21上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点M，N，则()A0 B1 C. D2解析依题意，将点P特殊化为点(，0)，于是点M，N均与点(，0)重合，于是有2，故选D.答案D3已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式作差并化简变形得，而，x1x22，y1y22，所以a22b2，又a2b2c29，于是a218，b29.故选D.答案D4(2018唐山市高三五校联考)直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为()A2 B. C3 D.解析设直线l与双曲线C：1(a0，b0)的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，则1(a0，b0)，1(a0，b0)，得，即，因为l与OM的斜率的乘积等于1，所以1，双曲线的离心率e ，故选B.答案B5(2018郑州市第三次质量预测)椭圆1的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. B. C. D.解析设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知FMN的周长为L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因为|ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，当直线MN过点E时取等号，所以L4|MN|ME|NE|4，即直线xa过椭圆的右焦点E时，FMN的周长最大，此时SFMN|MN|EF|2，故选C.答案C6(2018福建省高三质检)过抛物线y24x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|2|AF|，则|BF|等于()A2 B3 C4 D5解析设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1,0)，D(1,0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有，所以|AA1|，故|AF|.又，即，亦即，解得|BF|4，故选C.答案C二、填空题7椭圆C：1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率是，则直线PM的斜率为_解析设P(x0，y0)，则1，直线PM的斜率kPM，直线PN的斜率kPN，可得kPMkPN，故kPM3.答案38(2018郑州一模)如图，F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_解析ABF2为等边三角形，|AB|AF2|BF2|，F1AF260.由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a，|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a，|BF2|4a.|AF2|4a，|AF1|6a.在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|AF1|cos60，(2c)2(4a)2(6a)224a6a，整理得c27a2，e.答案9(2018湖南六校联考)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点P(1,0)作直线l与抛物线C交于A、B两点若SABF，且|AF|BF|，则_.解析设直线l的方程为xmy1，将直线方程代入抛物线C：y24x的方程得y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则00，则k0或kb0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程(2)设直线1与y轴交于P点，过点P的直线l与椭圆E交于两个不同点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解(1)由题意，得a2c，bc，则椭圆E的方程为1，联立得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0，得c21，椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M点坐标为.直线1与y轴交于点P(0,2)，|PM|2.当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，由|PM|2|PA|PB|，得.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，.k2，0)，圆O：x2y21.(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值解(1)由题意得F(0,1)，从而抛物线C：x24y.解方程组得yA2，|AF|1.(2)设M(x0，y0)，由y，得切线l：y(xx0)y0，结合x2py0，整理得x0xpypy00.由|ON|1得1，即|py0|，p且y10.|MN|2|OM|21xy12py0y1y14(y1)8，当且仅当y0时等号成立|MN|的最小值为2，此时p.
展开阅读全文