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24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积知能演练提升能力提升1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为2的“等边扇形”的面积为()A.B.1C.2D.232.如图,在正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为()A.aB.2aC.12aD.3a3.如图,四边形OABC为菱形,点A,B在以O为圆心的弧上,若OA=2,1=2,则扇形ODE的面积为()A.43B.53C.2D.34.如图,水平地面上有一面积为30 cm2的扇形OAB,半径OA=6 cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为()A.20 cmB.24 cmC.10 cmD.30 cm5.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,2 m长为半径的扇形区域(阴影部分)内种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是()A.6 m2B.5 m2C.4 m2D.3 m26.如图,ABC是正三角形,曲线CDE叫做“正三角形的渐开线”,其中CD,DE,EF的圆心依次按A,B,C循环,它们依次相连接,若AB=1,则曲线CDEF的长是.7.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB是一段圆弧,AC,BD是线段,且AC,BD分别与圆弧AmB相切于点A,B,线段AB=180 m,ABD=150.(1)画出圆弧AmB的圆心O;(2)求A到B这段弧形公路的长.8.如图,等腰直角三角形ABC的斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D,E,求图中阴影部分的面积.9.如图,AB为O的直径,CDAB,OFAC,垂足分别为E,F.(1)请写出三条与BC有关的正确结论;(2)当D=30,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.创新应用10.图是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.图是车棚顶部截面的示意图,AB所在圆的圆心为O.车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留)参考答案能力提升1.C使用扇形的面积公式S=12lR可求出其面积,即S=1222=2.2.A由题意得,树叶形图案的周长为两条圆心角为90的弧长之和,所以其周长为l=290a180=a.3.A连接OB.因为OA=OB=OC=AB=BC,所以AOB+BOC=120.又因为1=2,所以DOE=120.所以扇形ODE的面积为1204360=43.4.C点O移动的距离即扇形OAB所对应的弧长,先运用扇形的面积公式S扇形=nR2360求出扇形的圆心角n=300,再由弧长公式l=nR180,得l=10 cm.5.A6.4关键是确定圆心角和半径.因为ABC是边长为1的正三角形,所以CD,DE,EF的圆心角都为120,对应的半径分别为1,2,3.因此CD=23,DE=43,EF=63=2.所以曲线CDEF的长是23+43+2=4.7.解 (1)如图,过点A作AOAC,过点B作BOBD,AO与BO相交于点O,O即为圆心.(2)因为AO,BO都是圆弧AmB的半径,O是其所在圆的圆心,所以OBA=OAB=150-90=60.所以AOB为等边三角形,即AO=BO=AB=180 m.所以AB=60180180=60(m),即A到B这段弧形公路的长为60 m.8.解 (方法1)由题意知,2AC2=AB2=42,AC=22.连接OC,OE(如图),则OC=OB,OCOB,OEBC.OE=BE=EC=12AC=2.B=45,EOB=45.S阴影=2(SOBE-S扇形OEF)=2-2.(方法2)如图,由对称性知,S阴影=14(S正方形-SO),由方法1知AC=BC=22,圆的半径为2,S阴影=14(22)2-(2)2=2-2.9.解 (1)答案不唯一,只要合理均可.例如:BC=BD;OFBC;BCD=A;BC2=CE2+BE2;ABC是直角三角形;BCD是等腰三角形.(2)连接OC,则OC=OA=OB.D=30,A=D=30.AOC=120.AB为O的直径,ACB=90.在RtABC中,BC=1,AB=2,AC=3.OFAC,AF=CF.OA=OB,OF是ABC的中位线.OF=12BC=12.SAOC=12ACOF=12312=34,S扇形AOC=13OA2=3.S阴影=S扇形AOC-SAOC=3-34.创新应用10.分析 车棚的顶棚的展开图是矩形,顶棚的横截面是弓形,求出弓形的弧长,即得到了展开图的宽.解 连接OB,过点O作OEAB,垂足为E,并延长交AB于F,如图.由垂径定理,知E是AB的中点,F是AB的中点,从而EF是弓形的高.故AE=12AB=23 m,EF=2 m.设半径为R m,则OE=(R-2)m.在RtAOE中,由勾股定理,得R2=(R-2)2+(23)2.解得R=4(m).在RtAEO中,AO=2OE,故OAE=30,AOE=60,AOB=120.所以AB的长为1204180=83(m).即帆布的面积为8360=160(m2).
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