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第9课时直线与抛物线的位置关系基础达标(水平一 )1.直线l经过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线交于A、B两点,O为原点,则OAOB的值为().A.12B.20C.-12D.-20【解析】焦点为(2,0),设直线l方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+2,y2=8x,得y2-8my-16=0,y1y2=-16,x1x2=y128y228=164(y1y2)2=4,OAOB=x1x2+y1y2=-12.【答案】C2.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是().A.2B.4C.43D.8【解析】由抛物线的定义知AF=AK,又KAF=60,所以AFK是正三角形.联立方程组y2=4x,y=3(x-1),消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13.由题意得A(3,23),所以AKF的边长为4,面积为12423=43.【答案】C3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦,若|AB|=4,则AB的中点的纵坐标是().A.1B.2C.58D.158【解析】如图所示,设AB的中点为P(x0,y0),分别过A,P,B三点作准线l的垂线,垂足分别为A,Q,B,由题意得|AA|+|BB|=|AB|=4,|PQ|=|AA|+|BB|2=2,又|PQ|=y0+18,y0+18=2,y0=158.【答案】D4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是().A.-12,12B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】由题意知,抛物线准线方程为x=-2,点Q(-2,0),设直线l:y=k(x+2),由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即直线l与抛物线的交点为(0,0),当k0时,0,-1k0或00)的准线为l,过点M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A,与抛物线的一个交点为B,若AM=MB,则p=.【解析】由题知准线l为x=-p2(p0),过点M且斜率为3的直线为y=3(x-1),则点A-p2,3-p2-1,设B(x,y),由AM=MB可知M为AB的中点,又M(1,0),所以-p2+x=2,3-p2-1+y=0,即x=2+p2,y=3p2+1,代入y2=2px,得p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).【答案】27.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB的面积为10时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由y2=-x,y=k(x+1)消去x得ky2+y-k=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-1k.A,B两点均在抛物线y2=-x上,y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2.又kOAkOB=y1x1y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1,OAOB.(2)设直线与x轴交于点N,显然k0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).SOAB=SOAN+SOBN=12|ON|y1|+12|ON|y2|=12|ON|y1-y2|=121(y1+y2)2-4y1y2=12-1k2+4.=10,10=121k2+4,解得k=16.拓展提升(水平二)8.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是().A.2B.3C.1728D.10【解析】设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2).又点F14,0,直线AB与x轴的交点M(m,0),不妨设y10,由x=ty+m,y2=xy2-ty-m=0,所以y1y2=-m,又OAOB=2,所以x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2,所以SABO+SAFO=122(y1-y2)+1214y1=98y1+2y1298y12y1=3,当且仅当98y1=2y1y1=43时取“=”.所以ABO与AFO面积之和的最小值是3.【答案】B9.已知抛物线y2=8x,点Q是圆C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一点,记抛物线上任意一点P到直线x=-2的距离为d,则|PQ|+d的最小值为().A.5B.4C.3D.2【解析】由题意知,抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),连接PF(如图),则d=|PF|.将圆C化为(x+1)2+(y-4)2=4,圆心为C(-1,4),半径为r=2,则|PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有|PQ|+|PF|FQ|(当且仅当F,P,Q三点共线时取得等号).而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离,显然当F,Q,C三点共线时,|FQ|取得最小值,且为|CF|-r=(-1-2)2+(4-0)2-2=3,故选C.【答案】C10.已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为.【解析】当直线AB的斜率不存在时,|AB|=42;当直线AB的斜率k存在时,设点A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标为(2,t),则k=y1-y2y12-y224=4y1+y2=2t,直线AB的方程为y-t=2t(x-2),将y-t=2t(x-2)与y2=4x联立,得y2-2ty+2t2-8=0,y1+y2=2t,y1y2=2t2-8,|AB|2=1+t24(y1-y2)2=-(t2-2)2+3636,|AB|6,当且仅当t=2时,等号成立.综上所述,|AB|max=6.【答案】611.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A,B两点.(1)若p=2,求线段AF的中点N的轨迹方程;(2)若直线AB的斜率为2,当焦点为F12,0时,求OAB的面积;(3)若M是抛物线C准线上的点,求证:直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.【解析】(1)焦点F(1,0),设点A(x0,y0),N(x,y),则由题意x=x0+12,y=y02,即x0=2x-1,y0=2y,故所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.(2) y2=2x,F12,0,直线AB:y=2x-12=2x-1,由y2=2x,y=2x-1,得y2-y-1=0,|AB|=1+1k2|y1-y2|=52,设d为原点O到直线AB的距离,d=15=55,SOAB=12d|AB|=54.(3)显然直线MA,MB,MF的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3.点A,B,M的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),M-p2,m.设直线AB:y=kx-p2,代入抛物线方程,得y2-2pky-p2=0,所以y1y2=-p2.又y12=2px1,y22=2px2,所以x1+p2=y122p+p2=12p(y12+p2),x2+p2=y222p+p2=p42py12+p2=p2y12(y12+p2),所以k1+k2=y1-mx1+p2+y2-mx2+p2=2p2(y1-m)p(y12+p2)+2y12-p2y1-mp(y12+p2)=-2mp.而2k3=20-mp2-p2=-2mp,故k1+k2=2k3,所以直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.
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