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第13课时定积分的简单应用基础达标(水平一)1.由曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积等于().A.-11 (x-x3)dxB.201 (x-x3)dxC.-11 (x3-x)dxD.2-10 (x-x3)dx【解析】如图,x轴下方与上方的面积相等.故选B.【答案】B2.与定积分032 |sin x|dx相等的是().A.032sinxdxB.032 sin xdxC. 0sin xdx-32 sin xdxD. 0sin xdx+32 sin xdx【解析】结合图象(图略),利用定积分的几何意义可知选C.【答案】C3.曲线y=sin x(0x)与直线y=12围成的封闭图形的面积是().A.3B.2-3C.2-3D.3-3【解析】由sin x=12及0x,得x=6或x=56,所以曲线y=sin x(0x)与直线y=12围成的封闭图形的面积是S=656 sin xdx-1256-6=-cosx656-3=-cos56+cos6-3=3-3.【答案】D4.已知曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为().A.1B.12C.22D.13【解析】S=01x-x2)dx=23x32-x3310=13.【答案】D5.一物体在力F(x)=3x2-2x+5(力单位:N,位移单位:m)作用力下,沿与力F(x)相同的方向由x=5 m直线运动到x=10 m处所做的功是.【解析】W=510 F(x)dx=510 (3x2-2x+5)dx=(x3-x2+5x)105=(1000-100+50)-(125-25+25)=825 J.【答案】825 J6.曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为.【解析】由xy=1得y=1x.由y=1x=3,解得xB=13,由xy=1,y=x,解得xC=1,由y=3,y=x,得xD=3.所以根据积分的几何意义知所求面积为1313-1xdx+13 (3-x)dx=(3x-ln x)131+3x-12x213=4+ln13=4-ln 3.【答案】4-ln 37.有一动点P,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2,求:(1)当t=5时,点P距出发点的位置;(2)当t=0到t=5时,点P经过的路程.【解析】(1)s=05 (8t-2t2)dt=4t2-23t305=503.(2)当v(t)=8t-2t20,即当0t4时,点P向x轴正方向运动;当t4时,点P向x轴负方向运动.因此所求路程应为s2=04 (8t-2t2)dt+45 -(8t-2t2)dt=4t2-23t304+23t3-4t245=26.拓展提升(水平二)8.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t的函数,若已知产量的变化率为a=36t,那么从3小时到6小时期间内的产量为().A. 12B.3-322C.6+32D.6-32【解析】36 36tdt=6t36=6-32,故选D.【答案】D9.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域内的A处与C处各有一个通信基站,其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影部分,该正方形区域内无其他信号来源且这两个基站工作正常,若在该正方形区域内随机选择一个地点,则该地点无信号的概率为().A.2e2B.1-2e2C.1eD.1-1e【解析】由题意得S阴影=201 (e-ex)dx=2(ex-ex)01=2,故所求概率P=1-S阴影S正方形=1-2e2,故选B.【答案】B10.如图,一水渠的横截面为等腰梯形,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【解析】建立如图所示平面直角坐标系.过点B作BEx轴于点E,BAE=45,BE=2,AE=2,又OE=5,A(3,0),B(5,2).设抛物线的方程为x2=2py(p0),代入点B的坐标,得p=254,故抛物线的方程为y=225x2,从而图中阴影部分的面积为205 225x2dx-1222=83.又易知等腰梯形ABCD的面积为6+1022=16,原始的最大流量与当前的最大流量的比值为1616-83=65.【答案】6511.如图所示,设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1,S2.(1)当S1=S2时,求点P的坐标;(2)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和S1+S2的最小值.【解析】(1)由题意,设点P的坐标为(t,t2)(0t2),直线OP的方程为y=tx,所以S1=0t (tx-x2)dx=16t3,S2=t2 (x2-tx)dx=83-2t+16t3.又S1=S2,解得t=43,故点P的坐标为43,169.(2)由题意知,S=S1+S2=16t3+83-2t+16t3=13t3-2t+83,S=t2-2,令S=0,解得t=2或-2(舍去),当0t2时,S0;当2t0.故当t=2时,S1+S2有最小值为83-423,此时点P的坐标为(2,2).
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