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18.2.1矩形(第2课时)学习目标1.经历探索矩形判定定理的过程,掌握矩形的判定定理.(重点)2.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题,发展学生的演绎推理能力.(重点、难点)一、合作探究1.什么叫做平行四边形?什么叫做矩形?2.矩形有哪些性质?3.矩形与平行四边形有什么共同之处?有什么不同之处?4.归纳矩形的判定方法(学生进行)(1)定义:是平行四边形,并且有一个角是.(2)对角线的关系:是平行四边形,并且.(3)角的关系:是四边形,并且有个角是直角.二、自主学习【例1】下列各句判定矩形的说法是否正确?(1)有一个角是直角的四边形是矩形;()(2)四个角都相等的四边形是矩形;()(3)对角线相等的四边形是矩形;()(4)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.()【例2】已知ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AOB是等边三角形,AB=4 cm,求这个平行四边形的面积.分析:首先根据AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理计算边长,从而得到面积值.解:四边形ABCD是AO=,BO=.AO=BO,AC=BD.ABCD是(的平行四边形是矩形).在RtABC中,AB=4 cm,AC=,BC=(cm).S=83.三、跟踪练习1.判断题:(1)有四个角是直角的四边形是矩形;()(2)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;()(3)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;()(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;()(5)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形.()2.已知:如图ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且OAD=ODA.求证:四边形ABCD是矩形.3、已知:如图,ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.四、变式演练1.如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,B=90,AD=24 cm,BC=26 cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1 cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3 cm/s的速度运动.点P,Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?2.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DGAC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面积.五、达标检测1.已知下列命题中:(1)矩形是轴对称图形,且有两条对称轴;(2)两条对角线相等的四边形是矩形;(3)有两个角相等的平行四边形是矩形;(4)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形,其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AD,BD,BC,CA的中点,若四边形EFGH是矩形,则四边形ABCD需满足的条件是()A.ABDCB.AC=BDC.ACBDD.AB=DC3.如图,四边形ABCD中,AC=8,BD=6,且ACBD,连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,下列说法不正确的是()A.四边形EFGH是矩形B.四边形EFGH的周长是7C.四边形EFGH的面积是12D.四边形ABCD的面积是484.如图所示,ABC绕AC的中点O顺时针旋转180得CDA,添加一个条件,使四边形ABCD为矩形.5.若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形,则原四边形必须满足的条件是.6.用两张对边平行的纸条交叉重叠放在一起,则四边形ABCD为;两张纸条互相垂直时,四边形ABCD为.7.如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.(1)求点D,E的坐标;(2)F为坐标系内一点,且以C,D,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则点F的坐标为(直接写出所有的结果);(3)点P是y轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从点A向下运动.设点P运动的时间为t秒.求当t为多少时,PCD是以CD为腰的等腰三角形?8.如图,在四边形ABCD中,ADBC,点E,F在边BC上,DEAB,AFDC,且AEDF.(1)AD与BC有何数量关系?请说明理由.(2)当四边形ABCD满足条件时,四边形AEFD是矩形(说明理由).9.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且ABC+ADC=180.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若DFAC,ADFFDC=32,则BDF的度数是多少?参考答案一、合作探究1.由两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;有一个角是直角的平行四边形叫矩形,2.矩形四个角都是直角;矩形的对角线相等;并且具有平行四边形的所有性质.3.矩形是特殊的平行四边形,一般的平行四边形不具有矩形的性质.4.(1)直角(2)对角线相等(3)三个二、自主学习略三、跟踪练习略四、变式演练1.解:(1)设经过t s,四边形PQCD为平行四边形,即PD=CQ,所以24-t=3t,解得t=6;(2)设经过ts,四边形PQBA为矩形,即AP=BQ,所以t=26-3t,解得t=132.2.分析:(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分;(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC,然后根据矩形面积公式求得.(1)证明:四边形ABCD是矩形,OA=OB=OC=OD.AE=BF=CG=DH,AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,四边形EFGH是矩形;(2)解:G是OC的中点,OGAC,CD=OD.F是BO中点,OF=2 cm,BO=4 cm.四边形ABCD是矩形,DO=BO=4 cm,DC=4 cm,DB=8 cm,CB=DB2-DC2=43 cm,S矩形ABCD=443=163(cm2).五、达标检测1.C2.A3.B4.B=905.对角线互相垂直6.平行四边形;矩形7.解:(1)依题意可知,折痕CD是四边形BCED的对称轴,在RtCOE中,CE=BC=AO=10,OC=AB=8,OE=6,E(0,6).AE=10-6=4.在RtDAE中,AE2+AD2=DE2,又DE=BD,AD2+42=(8-AD)2,AD=3.D(3,10).(2)(11,4),(-5,16),(5,-10);(3)由(1)可知BD=5,所以CD=BC2+BD2=102+52=55,当PD=CD=55时,AP=PD2-AD2=125-9=116=229,t=229,当PC=CD=55时,OP=PC2-OC2=125-64=61.AP=AO-AP=10-61或AP=AO+OP=10+61,t=10-61或10+61.8.(1)AD=13BC.理由如下:ADBC,ABDE,AFDC,AEDF,四边形ABED、四边形AEFD和四边形AFCD都是平行四边形.AD=BE=EF=FC,AD=13BC.(2)AB=CD.理由如下:四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,DE=AB,AF=DC.AB=DC,DE=AF,又四边形AEFD是平行四边形,四边形AEFD是矩形.9.(1)证明:AO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形,ABC=ADC,ABC+ADC=180,ABC=ADC=90,四边形ABCD是矩形;(2)解:ADC=90,ADFFDC=32,FDC=36,DFAC,DCO=90-36=54,四边形ABCD是矩形,CO=OD,ODC=DCO=54,BDF=ODC-FDC=18.
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