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3.2.4二面角及其度量学习目标1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤知识点一直线与平面所成的角1直线与平面所成的角2最小角定理知识点二二面角及理解1二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的，.(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l.如图，A，B，二面角也可以记作AlB，也可记作2l.(3)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角l的平面角，如图所示由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角(5)二面角的范围是0，1802用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角l的面，内，并沿，延伸的方向，作向量n1l，n2l，则n1，n2等于该二面角的平面角(2)如图，设m1，m2，则角m1，m2与该二面角大小相等或互补1直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互余()2二面角的大小范围是.()3二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小()题型一求直线与平面的夹角例1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，方法一取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，则，(0，a,0)，(0,0，a)0，0，则MC1AB，MC1AA1.又ABAA1A，MC1平面ABB1A1.C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角由于，02a2，|a，|a，cos，.，0，180，30，又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.方法二(0，a,0)，(0,0，a)，.设侧面ABB1A1的法向量为n(，y，z)，n0且n0.ay0且az0.yz0.故n(，0,0)cos，n，|cos，n|.又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.反思感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算跟踪训练1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点，求BD与平面ADMN所成的角.解如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设BC1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)则N(1,0,1)，(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)，设平面ADMN的法向量为n(x，y，z)，则由得取x1，则z1，n(1,0，1)，cos，n，sin|cos，n|.又090，30.题型二求二面角例2在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角解方法一如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PAABa，ACb，连接BD与AC，交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，D(b，a,0)，P(0,0，a)，E，O，(b,0,0)0，0.EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角cos，.平面EAC与平面ABCD的夹角为45.方法二建系如方法一，PA平面ABCD，(0,0，a)为平面ABCD的法向量，(b,0,0)设平面AEC的法向量为m(x，y，z)由得x0，yz.取m(0,1,1)，cosm，.又平面EAC与平面ABCD所成角的平面角为锐角，平面EAC与平面ABCD的夹角为45.反思感悟(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角跟踪训练2若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求锐二面角A-PB-C的余弦值解如图所示建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，故(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1,1)，设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，则y，故m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则z1，故n(0，1，1)，cosm，n.锐二面角APBC的余弦值为.题型三空间角中的探索性问题例3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.(1)求证：ABPD；(2)若BPC90，PB，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值(1)证明因为ABCD为矩形，所以ABAD；又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，故ABPD.(2)解过点P作POAD于点O.则PO平面ABCD，过点O作OMBC于点M，连接PM.则PMBC，因为BPC90，PB，PC2，所以BC，PM，设ABt，则在RtPOM中，PO，所以VPABCDt，所以当t2，即t时，VPABCD最大为.如图，此时POAB，且PO，OA，OM两两垂直，以OA，OM，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P，D，C，B.所以，.设平面PCD的法向量为m(x1，y1，z1)，则即令x11，则m(1,0，2)，|m|；同理设平面PBC的法向量n(x2，y2，z2)，即令y21，则n(0,1,1)，|n|，设平面PBC与平面DPC的夹角为，显然为锐角，所以cos .即平面PBC与平面DPC夹角的余弦值为.反思感悟利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理跟踪训练3如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，且ABAC，点M是CC1的中点，点N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足.(1)证明：PNAM；(2)当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角最大值的正切值(1)证明以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则P(，0,1)，N，M，从而，0110，所以PNAM.(2)解过点P作PEAB于E，连接EN，则PE平面ABC，则PNE为所求角，所以tan，因为当点E是AB的中点时，ENmin.所以(tan)max2，此时，.利用向量求二面角典例如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.(1)证明：平面ABEFEFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角(1)证明由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角C-BE-F的平面角，CEF60，从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m.故二面角E-BC-A的余弦值为.素养评析试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台第(1)问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题1已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30B60C120D150答案A解析设l与所成的角为，则sin|cosm，n|.30.2正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为()A.B.C.D.答案C解析建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1，1)，(1,0，1)110，110.AC1A1B，AC1A1D，又A1BA1DA1，AC1平面A1BD.是平面A1BD的法向量cos，.直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为.3已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_答案45或135解析设二面角的平面角为，cosm，n，45或135.4正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为_答案解析作AO底面BCD，垂足为O，O为BCD的中心，设正四面体的棱长为a，则OBa，ABO为所求角，cosABO.5已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_答案解析(1,2,0)，(1,0,3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由n0，n0知令x2，则y1，z.平面ABC的法向量为n.平面xOy的法向量为(0,0,3)所以所求锐二面角的余弦值cos.1线面角可以利用定义在直角三角形中解决2线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为，则sin|cosa，n|.3二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于()A.B.C.D以上均错答案B解析直线l与平面所成的角范围是.2直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为，直线l1，l2所成的角为，则()ABCcos|cos|Dcos|cos|答案D解析或，且，因而cos|cos|.3已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是()A.B.C.D.答案A解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设AA12AB2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)，设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y2，x2，所以n(2，2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin|cosn，|.4.已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则AB1与ED1所成角的余弦值为()A.B.CD答案A解析A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(0，2,2)，(0,1,2)，|2，|，0242，cos，AB1与ED1所成角的余弦值为.5在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为()A.B.C.D.答案A解析设菱形对角线AC与BD交于O点，则BOD为二面角BACD的平面角，由余弦定理可得cosBOD.6A，B是二面角l的棱l上两点，P是平面上一点，PBl于B，PA与l成45角，PA与平面成30角，则二面角l的大小是()A30B60C45D75答案C解析如图，作PO于O，连接AO，BO，则PAO为PA与平面所成角，PBO为二面角l的平面角，由PAO30，PAB45，取PA2a，则POa，PBa，sinPBO，PBO45.二、填空题7平面的一个法向量n1(1,0,1)，平面的一个法向量n2(3,1,3)，则与所成的角是_答案90解析由于n1n2(1,0,1)(3,1,3)0，所以n1n2，故，与所成的角是90.8若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是_答案60或120解析设二面角大小为，由题意可知|cos|，所以cos，所以60或120.9在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_答案30解析建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的法向量为n(0,0,1)，所以cos，n，所以n120，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30.10在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是_.答案解析在正三棱柱ABCA1B1C1中，取AC的中点O，连接OB，OBAC，则OB平面ACC1A1，BC1O就是BC1与平面AC1所成的角OB，BC1，sinBC1O，BC1O.三、解答题11二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，求该二面角的大小解由题意知，0，0，|2|2|2|2222624282268cos，(2)2.cos，又，0，180，120，二面角的大小为60.12.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDDC，E是PC的中点求EB与平面ABCD夹角的余弦值解取CD的中点M，则EMPD，又PD平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面ABCD上的射影为BM，MBE为BE与平面ABCD的夹角如图建立空间直角坐标系Dyxz，设PDDC1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，M，E，cos，EB与平面ABCD夹角的余弦值为.13.如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角D-A1C-E的正弦值(1)证明连接AC1，交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以DFBC1，又因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由AA1ACCBAB，可设AB2a，则AA1ACCBa，所以ACBC，又由直棱柱知CC1平面ABC，所以以点C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz如图则C(0,0,0)，A1(a，0, a)，D，E，( a,0, a)，.设平面A1CD的法向量为n(x，y，z)，则n0且n0，可解得yxz，令x1，得平面A1CD的法向量为n(1，1，1)，同理可得平面A1CE的法向量为m(2,1，2)，则cosn，m，又因为n，m0，180，所以sinn，m，所以二面角D-A1C-E的正弦值为.14.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A.B.C.D.答案D解析如图所示，连接BD，ACBDO，连接OF.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD.所以B，F，C，D.结合图形可知，且为平面BOF的法向量，由，可求得平面BCF的法向量n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.15直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，求AA1与平面AED夹角的正弦值.解建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设CA2a，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，E(a，a,1)，G.从而，(0，2a,1)，由GEBD，得0，得a1.(2,0，1)，(1,1,0)设n(x，y，z)为平面AED的法向量，则即即令x1，则y1，z2，即n(1，1,2)，又(0,0,2)，设AA1与平面AED的夹角为，sin|cos，n|.AA1与平面AED夹角的正弦值为.
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