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专题64 交变电流有效值的计算与“四值”的理解应用一、计算交变电流有效值的方法1利用有效值的定义计算(非正弦式电流)交变电流的有效值是根据电流的热效应(电流通过电阻生热)进行定义的，所以进行有效值计算时，要紧扣电流通过电阻生热(或热功率)注意“三同”：即“相同电阻”，“相同时间”内产生“相同热量”计算时“相同时间”要取周期的整数倍，一般取一个周期2.公式法利用E、U、I计算，只适用于正(余)弦式交变电流3. 多种形式组合的有效值的计算（1）分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量（2）利用两个公式QI2Rt和Qt可分别求得电流有效值和电压有效值（3）若图象部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的(但必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I、U求解【典例1】如图所示为一交变电流随时间变化的图象，此交流电的有效值是()A5 AB5 AC3.5 AD3.5 A【答案】B【典例2】如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B.电阻为R、半径为L、圆心角为45的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度匀速转动(O轴位于磁场边界)则线框内产生的感应电流的有效值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】线框转动的角速度为，进磁场的过程用时周期，出磁场的过程用时周期，进、出磁场时产生的感应电流大小均为I，则转动一周产生的感应电流的有效值I满足：I2RT2RT，解得I，D项正确【典例3】如图所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波式的交变电流与时间的变化关系若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，经过1 min的时间，则() A图甲所示交变电流的有效值为 AB图乙所示交变电流的有效值为 AC两电阻消耗的电功之比为13D两电阻消耗的电功之比为31【答案】AC【跟踪短训】1某交流电的电流随时间变化图像如图所示，则此交变电流的有效值为A l A B 3 A C 10 D 25A【答案】C【解析】据有效值的定义可得：I12RT2+I22RT2=I2RT，代入数据解得：此交变电流的有效值I=10A。故C项正确，ABD三项错误。2如图甲、乙、丙所示的是三个具有相同I0和周期T的交变电流，分别通过三个相同的电阻，下列说法中正确的是A 在相同时间内三个电阻发热量相等B 在相同时间内，甲是丙发热量的2倍C 在相同时间内，甲是乙发热量的12D 在相同时间内，乙发热量最大，甲次之，丙的发热量最小【答案】C3. 如图所示，甲、乙为两种电压的波形，其中图甲所示的电压按正弦规律变化，图乙所示的电压波形是正弦函数图象的一部分下列说法正确的是()A图甲、图乙均表示交变电流B图甲所示电压的瞬时值表达式为u20sin 100t(V)C图乙所示电压的有效值为20 VD图乙所示电压的有效值为10 V【答案】 ABD二、交变电流“四值”的理解及应用物理量含义重要关系适用情况及说明瞬时值交变电流某一时刻的值eEmsin tiImsin t计算线圈某时刻的受力情况峰值最大的瞬时值EmnBSIm讨论电容器的击穿电压有效值跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值EUI(只适用于正弦式交变电流)(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是指有效值(3)保险丝的熔断电流为有效值(4)交流电压表和电流表的读数为有效值平均值某段时间内感应电动势或电流的平均值大小BLn计算通过电路截面的电荷量【典例4】一个矩形线圈的匝数为N，线圈面积为S，在磁感强度为B的匀强磁场中以角速度绕所在平面内垂直磁感线的轴匀速转动，开始时，线圈平面与磁场平行对于它产生的交变电动势，下列说法正确的是()A 瞬时值表达式为eNBSsint B 有效值为12NBSC 平均值为12NBS D 频率为2【答案】B【典例4】如图甲所示的电路，已知电阻R1R2R，和R1并联的D是理想二极管(正向电阻可视为零，反向电阻为无穷大)，在A、B之间加一个如图乙所示的交变电压(电压为正值时，UAB0)由此可知() 甲乙A在A、B之间所加的交变电压的周期为2 sB在A、B之间所加的交变电压的瞬时值表达式为u20sin 100t(V)C在A、B之间所加的交变电压的最大值为20 VD加在R2上电压的有效值为20 V【答案】 B【解析】 由题图乙可知交变电压的周期T0.02 s，选项A错误A、B间所加交变电压的瞬时值表达式u20sin 100t(V)，选项B正确在A、B之间所加的交变电压的最大值为20V，有效值为20 V，选项C错误由于电阻R1和R2串联，电压为正值的半个周期电阻R1被二极管短路，R2上电压的有效值为20 V，电压为负值的半个周期，二极管中无电流通过，电阻R1和R2串联，R2上电压的有效值为10 V，根据有效值的定义可得T，解得加在R2上电压的有效值为U5 V，选项D错误【典例5】如图所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈abcd的转速为3000r/min，转轴OO垂直于磁场方向，电路总电阻为R=10，匝数为100匝从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，t1300s时通过电流表的电流为1 A求：(1)写出电动势的瞬时表达式；(2)线圈匀速转一圈电路产生的总热量；(3)如果线圈从图示的位置开始转过180的过程中，通过电阻的电荷量。【答案】(1)e=20cos(100t)V；(2)Q=00.4J；(3)q=410-2C （2）电路产生的总热量 Q=I2Rt又电流有效值 I=Im2=2A t=2=0.02s 解得Q=0.4J （3）因为Em=NBS 通过电阻的电量 q=NR=2NBSR 所以 q=2EmR=410-2C【跟踪短训】1. 某正弦交流发电机产生的电动势波形如图所示，已知该发电机线圈匝数n100匝，线圈面积为S0.1 m2，线圈内阻为r 1 ，用一理想交流电压表接在发电机的两个输出端由此可知()A线圈在匀强磁场中转动的角速度为50 rad/sB线圈所在处的磁感应强度是B1 TC交流电压表的读数为220 VD交变电动势的平均值为200 V【答案】D2. 下列说法正确的是：如图为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴OO匀速转动，线圈的两端经集流环和电刷与电阻R=10连接，t=0时线圈以T=0.02s的周期从图中位置开始转动，转动时理想交流电压表示数为10 V，则（ ）A 电阻R上的电功率为20WB R两端的电压u随时间变化的规律是u=102cos100t(V）C t=0.02s时R两端的电压瞬时值最大D 通过R的电流i随时间t变化的规律是i=2cos50t(A）E. 一个周期内电阻R产生的热量是0.2J【答案】BCE3电阻为1的某矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时，产生的正弦式交流电的i-t图线如图中图线a所示；调整线圈的转速后，该线圈中产生的正弦式交流电的i-t图线如图线b所示。以下关于这两个正弦式交变电流的说法正确的是A 图线a对应的交流电的电流有效值为10AB 图线a对应的交流电的电动势的有效值为52VC 线圈先后两次的转速之比为3：2D 图线b对应的交流电的电动势的最大值为1023V【答案】BC【解析】AB：由图得图线a对应的交流电的电流最大值为10A，即图线a对应的交流电的电流有效值为52A；矩形线圈的电阻为1，则图线a对应的交流电的电动势的有效值E=IR总=152V=52V。故A项错误，B项正确。CD：由图得，线圈两次转动的周期分别为Ta=0.4s、Tb=0.6s，则线圈两次转动的频率之比fa:fb=Tb:Ta=3:2，线圈先后两次的转速之比为3：2，线圈转动的角速度之比为3：2。据Em=NBS，可得Eam:Ebm=3:2。线a对应的交流电的电流最大值为10A，图线a对应的交流电的电动势的最大值Eam=IamR总=101V=10V。综上图线b对应的交流电的电动势的最大值Ebm=2310V=203V。故C项正确，D项错误。课后作业1将如图所示规律变化的电压加在一阻值为5的电阻上，lmin内产生的热量为A 300J B 240J C 180J D 150J【答案】D2如图所示，已知交流电源的电动势为e=2202sin100t(V)，电阻R2200，则电路中交流电流表和电压表的示数分别为()A 0.12A，2202V B 0.1 A，2202V C 0.12A，220 V D 0.1 A，220 V【答案】D【解析】由表达式可知Em=2202V，则交流电源电压的有效值U=E=Em2=22022V=220V，由欧姆定律可知,电路中电流I=UR=2202200A=0.1A，故A、B、C错误，D正确；故选D。3将正弦交流电经过整流器处理后，得到的电流波形刚好去掉了半周，如图所示，它的有效值是()A 2 A B 2A C 22A D 1 A【答案】D【解析】该交变电流通过定值电阻R后，在一个周期内产生的热量为Q=12(Im2)2RT=I2RT。解得I=1 A，选项D正确。4如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦式交变电流的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去，则现在电灯上电压的有效值为()A Um B Um2 C Um3 D Um2【答案】D5如图是一交变电流的i-t图像，其中曲线部分按正弦规律变化，则该交变电流的有效值为A 2A B 22A C 23A D 4A【答案】C【解析】有效值是根据电流的热效应来规定的。根据Im2RT2+Im22RT2=I2RT，解得：I=23A，故C正确，ABD错误。6如图所示电路,电阻R1与电阻R2的阻值都为R,理想二极管D (正向电阻可看作零,反向电阻可看作无穷大)与R1并联,在A、B间加一正弦交流电压u=20sin(100t)V,则加在R2上的电压有效值为（ ）A 52V B 55V C 102V D 510V【答案】B7如图所示，甲图为正弦式交流电，乙图正值部分按正弦规律变化，负值部分电流恒定，丙图为方波式交流电，三个图中的I0和周期T相同.三种交流电的有效值之比为( )A 2:3:2 B 2:3:2C 3:2:2 D 2:2:3【答案】A【解析】甲图中交流电的有效值为I1=22I0；对乙图：(22I0)2RT2+I02RT2=I22RT，解得I2=32I0；对丙图有效值为I3=I0：则三种交流电的有效值之比为：I1:I2:I3=22:32:1=2:3:2，故选A. 8如图甲、乙丙所示的交变电流，分别通过三个相同电阻。下列说法中正确的是（ ）A 交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的B 交流电表所测得的值为最大值C 在相同时间内，三个电阻产生热量的关系是Q甲=Q丙=12Q乙D 在相同时间内，三个电阻产生热量的关系是Q乙Q甲Q丙【答案】AC【解析】A交变电流的有效值是根据交流电和直流电电流的热效应等效来规定的，故A正确；B交流电表所测得的值为有效值，故B错误；C甲的有效值为：I=I02，由Q=I2Rt可知t时间内甲的发热量为：Q1= I02Rt2；乙前后半个周期电流大小相等，故其发热量为：Q2= I02Rt；丙只有一半时间有电流，故其发热量为：Q3= 12I02Rt。故可知在相同时间内，甲、丙发热量相等，是乙发热量的1/2，故C正确，D错误。故选：AC.9有一个交流电U = 311 sin314t 伏，则下列说法中错误的是（ ）A 这个交流电的频率是50赫兹B 它可以使“220V，100W”的灯泡正常发光C 用交流电压表测量电压时，读数为311伏D 使用这个交流电的用电器，每通过一库仑的电量时，电流做功220焦耳【答案】C10如图所示，电阻为r的矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴以某一角速度匀速转动t=0时，线圈平面与磁场垂直，各电表均为理想交流电表，则（ ）A t=0时，线圈中的感应电动势最大B 1 s内电路中的电流方向改变了2次C 滑片P向下滑动时，电压表的读数不变D 线圈匀速转动的角速度变大时，电流表的读数也变大【答案】D【解析】 t=0时，线圈位于中性面，此时感应电动势为零，A错误；交流电的频率为f=2，1s内电流方向改变2f，即，B错误；滑片P向下滑动时，电阻增大，电流减小，电源内阻分压减小，所以电压表读数变大，C错误；线圈匀速转动的角速度变大时，电动势的最大值Em=NBS增大，电流表的读数变大，D正确。故选D。11如图1所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图2中曲线a，b所示，则（ ）A 两次t=0时刻线圈平面均与磁场方向平行B 曲线a、b对应的线圈转速之比为3:2C 曲线a表示的交变电动势频率为50HzD 曲线b表示的交变电动势有效值为10V【答案】B12线圈ABCD的面积是0.03m2,共100匝,线圈电阻为2,外接纯电阻R为8,线圈处于如图所示匀强磁场中,磁感应强度为5T。自t=0时刻起,线圈由中性面开始绕垂直于磁场方向的转轴逆时针匀速转动,角速度为103rad/s。下列说法正确的是（ ）A t=0.05s时,线圈中的电流方向为ABCDAB t=0.05s时,电流表的示数为2.5AC t=0.05s时,线圈中的电流大小为2.5AD t=0.05s时,穿过线圈的磁通量为340Wb【答案】C【解析】t=0.05s时，线圈转过的角度为t=6,由楞次定律可知，此时线圈中的电流方向为ADCBA，选项A错误；交流电的最大值：Em=NBS=10051030.03V=50V，交流电的有效值E=Em2=252V，电流的有效值I=ER+r=2528+2A=2.52A，则t=0.05s时,电流表的示数为2.52A，选项B错误；t=0.05s时,线圈中电动势的瞬时值为e=Emsint=50sin6V=25V，此时线圈中的电流大小I=eR+r=258+2A=2.5A，选项C正确；t=0.05s时,穿过线圈的磁通量为=BScost=50.03cos6Wb=3340Wb，选项D错误；故选C.13图甲为交流发电机构造示意图，当线圈沿逆时针方向匀速转动时，产生的电动势随时间变化的规律如图乙所示。若线圈的电阻为2，外接灯泡的电阻为10，则A 电流方向每秒钟改变50次 B 交流电压表的示数为6VC 灯泡的电功率为2.5W D 在t=0.01s时刻，穿过线圈的磁通量为零【答案】C14如图所示，有一矩形线圈面积为S，匝数为N，总电阻为r，外电阻为R，接触电阻不计.线圈绕垂直于磁感线的轴OO以角速度w匀速转动，匀强磁场的磁感应强度为B则()A 当线圈平面与磁感线平行时，线圈中电流为零B 电流有效值I=2NBSwR+rC 电动势的最大值为2NBSwD 外力做功的平均功率P=N2B2S2w22(R+r)【答案】D15如图所示，单匝矩形线圈在匀强磁场中绕OO轴匀速转动，磁场方向与转轴垂直，磁场的磁感应强度为B。线圈的电阻为r，长为l1，宽为l2，转动角速度为。线圈两端外接阻值为R的电阻和一个理想交流电流表。（1）请推导证明：线圈转至图示位置时，线圈中的感应电动势为EB l1 l2；（2）从图示位置开始计时，请写出线圈中感应电动势e随时间t变化的表达式； （3）电流表的读数是多少？【答案】（1）Bl1l2 （2）e=Bl2l2cos(t) （3）I=22Bl1l2R+r 【解析】（1）在图示位置电动势有最大值 Em = 2Bl1v由 v=l22 联立以上两式解得 Em = Bl1l2 （2）感应电动势 e=Bl2l2cos(t) （3）根据全电路欧姆定律，电流的最大值 Im=EmR+r电流表读数为有效值I，根据 Im=2I解得I=22Bl1l2R+r16小华想利用山涧中的水来发电给果园的小屋照明，他设计了一台发电机如图所示，已知矩形线圈匝数N=100匝，面积S=0.05m2，匀强磁场的磁感应强度B25T，线圈与输电线的总电阻r=2，当线圈以周期T=0.05s匀速旋转时，灯泡恰好正常发光。求：（1）线圈中感应电动势的峰值Em（2）从图中位置转过90o的过程中线圈的平均感应电动势E（3）若灯泡的额定电流为I=2A，则灯泡的额定功率P【答案】(1) Em=402V (2) E=802V或36V （3）P=72W （3）电动势的有效值为：E=Em2V 根据欧姆定律可得：U=E-Ir 功率为：P=UI 代入数据解得：P=72W
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